Écriture fractionnaire

On a toujours $b \times \frac{a}{b} = a$ , par exemple :
5 $\frac{22}{5}$ = 22
Dans l'écriture $a : b$ , $a$ est le dividende, et $b$ le diviseur. Par exemple dans l'écriture $2 : 9$ , le dividende est $2$ et le diviseur est $9$ .
Dans l'écriture $\frac{a}{b}$ , $a$ est le numérateur (emprunté au latin numerator : celui qui compte , $b$ le dénominateur (emprunté au latin denominator : celui qui nomme , parce que ce terme dénomme, détermine les unités considérées). Par exemple dans la fraction $\frac{14}{9}$ , le numérateur est $14$ et le dénominateur est $9$ .
La fraction est un quotient, c'est-à-dire le résultat d'une division, c'est-à-dire un nombre .

Définition [Numérateur]

C'est la partie de la fraction qui compte combien cette fraction contient de parties de l'unité.

Définition [Dénominateur]

C'est la partie d'une fraction qui indique en combien de parties égales l'unité est divisée.

Écriture fractionnaire → I Définitions et représentations → I-1 Numérateur et dénominateur

I Définitions et représentations
- I-1 Numérateur et dénominateur
- I-2 Quelques idées
II Écritures fractionnaires différentes d'un même nombre
III Prendre la fraction d'une quantité
- III-1 Point méthode pour prendre la fraction d'une quantité
IV Comparer des nombres en écriture fractionnaire
V Calcul de quotients et priorité
VI Addition et soustraction en écriture fractionnaire

Première idée

On se donne la fraction

\frac{3}{2}

, que l'on peut considérer comme étant

3 \times \frac{1}{2}

.
On se donne le segment unité :

Comme le dénominateur est

2

, on partage l'unité en

2

parties égales :

et donc on prend

3

parties de ce partage :

on a bien la distance

\frac{3}{2}

Deuxième idée

On se donne la fraction

\frac{3}{2}

, que l'on peut considérer comme étant la moitié de 3. On se donne le segment unité :

Comme le numérateur est 3, on prend 3 fois cette longueur :

On divise cette longueur en 2

et on peut placer notre nombre :

Troisième idée

La fraction

\frac{3}{2}

est le nombre qui vaut est

0

car la division tombe juste (poser la division pour vérifier). Il est alors aisé de placer ce nombre sur un axe gradué.

Remarque

Dans toutes les méthodes utilisées ci-dessus, la distance de 0 à

\frac{3}{2}

est bien toujours la même (attention au changement dans le choix de l'unité quand même !)

Écriture fractionnaire → I Définitions et représentations → I-2 Quelques idées

I Définitions et représentations
- I-1 Numérateur et dénominateur
- I-2 Quelques idées
II Écritures fractionnaires différentes d'un même nombre
III Prendre la fraction d'une quantité
- III-1 Point méthode pour prendre la fraction d'une quantité
IV Comparer des nombres en écriture fractionnaire
V Calcul de quotients et priorité
VI Addition et soustraction en écriture fractionnaire

II-1 Une première approche

II-2 Théorème et exercices

II-3 Prolongements intéressants

Écriture fractionnaire → II Écritures fractionnaires différentes d'un même nombre

I Définitions et représentations
- I-1 Numérateur et dénominateur
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II Écritures fractionnaires différentes d'un même nombre
III Prendre la fraction d'une quantité
- III-1 Point méthode pour prendre la fraction d'une quantité
IV Comparer des nombres en écriture fractionnaire
V Calcul de quotients et priorité
VI Addition et soustraction en écriture fractionnaire

Voici une illustration :

On remarque que les deux rectangles sont superposables, et que les surfaces colorées aussi.
Or dans le premier cas on a coloré les 2 tiers du rectangle, alors que dans le deuxième cas, on a coloré les 6 neuvièmes.
On peut en déduire que les fractions

\frac{2}{3}

et

\frac{6}{9}

sont égales.

On note :

\frac{2}{3} = \frac{6}{9}

. Un même nombre (un quotient est un nombre) peut donc s'écrire de plusieurs manières différentes.
On remarque aussi que :

\frac{2}{3} = 0,666 66667

et

\frac{6}{9} = 0,666 66667

Les deux quotients sont bien les mêmes !

Écriture fractionnaire → II Écritures fractionnaires différentes d'un même nombre → II-1 Une première approche

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III Prendre la fraction d'une quantité
- III-1 Point méthode pour prendre la fraction d'une quantité
IV Comparer des nombres en écriture fractionnaire
V Calcul de quotients et priorité
VI Addition et soustraction en écriture fractionnaire

Théorème [Fractions égales]

Un quotient

\frac{a}{b}

ne change pas lorsque l'on multiplie (ou que l'on divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. Soit

a

,

b \neq 0

, et

k \neq 0

des nombres, on a :

\begin{matrix} \frac{a}{b} & = & \frac{a \times k}{b \times k} \\ \frac{a}{b} & = & \frac{a \div k}{b \div k} \end{matrix}

Exemple [Simplifier les fractions ]

En utilisant la règle ci-dessus, et en écrivant les différentes étapes, simplifier la fraction :

\frac{65}{26}

. On peut simplifier de deux manières différentes :

\frac{65}{26} = \frac{5 \times 13}{2 \times 13} = \frac{5}{2}

ou

\frac{65}{26} = \frac{65 \div 13}{26 \div 13} = \frac{5}{2}

Exemple [Trouver un décimal ]

On donne les fractions suivantes :

\frac{81}{5}

. On demande de l'écrire sous la forme d'une fraction décimale (fraction dont le dénominateur est 10,100, 1000, ...) pour en déduire l'écriture décimale. On peut écrire :

\frac{81}{5} = \frac{81 \times 2}{5 \times 2} = \frac{162}{10} = 16, 2

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VI Addition et soustraction en écriture fractionnaire

Premier prolongement

On se donne une fraction

\frac{9}{16}

. On peut écrire

\frac{9}{16} = \frac{9 \div 2}{16 \div 2} = \frac{4, 5}{8}

. Ces écritures représentent le même nombre. Par contre, quand le numérateur ou le dénominateur ne sont pas des entiers, on ne parle plus de fraction , mais d'écriture fractionnaire.

Deuxième prolongement

On se donne la fraction

\frac{8}{14}

, on peut écrire

\frac{8}{14} = \frac{8 \times 10}{14 \times 10} = \frac{80}{140}

. C'est bien cela que l'on a utilisé pour apprendre à faire des divisions avec des décimaux ! On vient de passer d'une écriture fractionnaire à une fraction.

Décimaux vers fractions

Tous les nombres décimaux (a fortiori les nombres entiers) admettent toujours une (et donc plusieurs) écriture fractionnaire. Par exemple :

75, 5 = \frac{755}{10} =

.

Remarque

Il est important de remarquer que la réciproque est fausse. Il existe des fractions qui n'ont pas d'écriture décimale, par exemple :

$\frac{22}{18}$

est une fraction, mais n'est pas un nombre décimal, car si on effectue la division, elle ne s'arrête pas.

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VI Addition et soustraction en écriture fractionnaire

III-1 Point méthode pour prendre la fraction d'une quantité

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VI Addition et soustraction en écriture fractionnaire

Théorème [Multiplication d'un nombre décimal par une fraction]

Pour multiplier un nombre décimal

a

par une fraction

\frac{b}{c}

(avec

c \neq 0

), c'est-à-dire pour calculer

a \times \frac{b}{c}

ou

\frac{b}{c} \times a

, puisque la multiplication est commutative, on peut utiliser l'une ou l'autre des méthodes ci-dessous :

Méthode 1 On calcule, si on le peut, le quotient $b \div c$ puis on multiplie par $a$ le résultat, ce que l'on peut aussi écrire : $a \times \frac{b}{c} = a \times (b \div c)$ .
Méthode 2 On calcule le produit $a \times b$ , puis on divise par $c$ , ce que l'on peut aussi écrire : $a \times \frac{b}{c} = (a \times b) \div c$ .
Méthode 3 On calcule le quotient $a \div c$ , puis on multiplie le résultat par $b$ , ce que l'on peut écrire : $a \times \frac{b}{c} = (a \div c) \times b$ .

Exemple

On se propose d'effectuer différents calculs avec les trois méthodes décrites :
Première méthode :

a \times \frac{b}{c} = a \times (b \div c)

$A$	=	$660 \times \frac{4}{5}$
$A$	=	$660 \times 0.8$
$A$	=	$528$

Deuxième méthode :

a \times \frac{b}{c} = (a \times b) \div c

$A$	=	$660 \times \frac{4}{5}$
$A$	=	$\frac{660 \times 4}{5}$
$A$	=	$\frac{2640}{5}$
$A$	=	$528$

Troisième méthode :

a \times \frac{b}{c} = (a \div c) \times b

$A$	=	$660 \times \frac{4}{5}$
$A$	=	$\frac{660}{5} \times 4$
$A$	=	$132 \times 4$
$A$	=	$528$

Remarque

La première méthode n'est pas toujours pertinente.
La deuxième méthode peut faire manipuler des nombres importants.
La troisième méthode semble souvent rapide pour les calculs qui peuvent se faire de tête.

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V Calcul de quotients et priorité
VI Addition et soustraction en écriture fractionnaire

Théorème [Comparer des écritures fractionnaires de même dénominateur]

Si deux nombres en écriture fractionnaire ont le même dénominateur, alors le plus petit est celui qui a le plus petit numérateur.

Exemple [ ]

On a

\frac{2}{13} < \frac{3}{13}

qui peut aussi s'écrire

\frac{3}{13} > \frac{2}{13}

.
De même on a :

\frac{14}{0, 8} > \frac{5}{0, 8}

que l'on peut aussi écrire

\frac{5}{0, 8} < \frac{14}{0, 8}

.

Théorème [Comparer des écritures fractionnaires de même numérateur]

Si deux nombres en écriture fractionnaire ont le même numérateur, alors le plus petit est celui qui a le plus grand dénominateur.

Exemple [ ]

On a

\frac{9}{20} < \frac{9}{6}

qui peut aussi s'écrire

\frac{9}{6} > \frac{9}{20}

.
De même on a :

\frac{1, 4}{7} > \frac{1, 4}{20}

que l'on peut aussi écrire

\frac{1, 4}{20} < \frac{1, 4}{7}

.

Théorème [Comparer quand les dénominateurs sont différents]

Pour comparer deux nombres en écriture fractionnaire de dénominateurs différents, on peut commencer par les écrire avec le même dénominateur.

Exemple [ ]

On veut comparer les fractions suivantes :

\frac{22}{3}

et

\frac{6}{9}

. On a

\frac{22}{3} = \frac{66}{9}

, donc cela revient à comparer

\frac{6}{9}

et

\frac{66}{9}

comme 66>6 alors

\frac{66}{9} > \frac{6}{9}

et donc finalement

\frac{22}{3} > \frac{6}{9}

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IV Comparer des nombres en écriture fractionnaire
V Calcul de quotients et priorité
VI Addition et soustraction en écriture fractionnaire

On calcule une expression de la forme :

$a + \frac{b}{c}$

$\frac{a}{b + c}$

$\frac{a + c}{b}$

comme le montrent les exemples suivants.

\begin{matrix} A & = & 46 + \frac{40}{10} \\ A & = & 46 + 4 \\ A & = & 50 \end{matrix}

\begin{matrix} B & = & \frac{46}{40 + 10} \\ B & = & \frac{46}{50} \\ B & = & 0, 92 \end{matrix}

\begin{matrix} C & = & \frac{46 + 10}{40} \\ C & = & \frac{56}{40} \\ C & = & 1, 4 \end{matrix}

Ceci afin de respecter les priorités des opérations entre elles. On peut d'ailleurs écrire (ce que l'on ferait pour une calculette) :

$A = 46 + 40 \div 10$ , $B = 46 \div (40 + 10)$ et $C = (46 + 10) \div 40$

ce qui fait bien apparaître les priorités.

Remarque

On applique les mêmes schémas de calcul avec la soustraction au lieu de l'addition.

Cependant, on souhaiterait ne plus passer par les décimaux pour faire les calculs...

Écriture fractionnaire → V Calcul de quotients et priorité

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IV Comparer des nombres en écriture fractionnaire
V Calcul de quotients et priorité
VI Addition et soustraction en écriture fractionnaire

Théorème [Addition, soustraction en écriture fractionnaire]

Pour additionner (ou pour soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur :

on additionne (ou on soustrait) les deux numérateurs ;
on garde le dénominateur commun.

Autrement dit, si

a

,

b

et

d

sont des nombres (

d

non nul), on a :

$\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d}$

$\frac{a}{d} - \frac{b}{d} = \frac{a - b}{d}$

Exemple [ ]

\begin{matrix} A & = & \frac{10, 5}{20} + \frac{10}{20} \\ A & = & \frac{10, 5 + 10}{20} \\ A & = & \frac{20, 5}{20} \end{matrix}

et le résultat simplifié est :

Remarque

Si les dénominateurs sont différents, on commence par écrire les deux nombres avec un même dénominateur.

Exemple [ ]

\begin{matrix} B & = & \frac{880}{231} - \frac{21}{21} \\ B & = & \frac{880}{231} - \frac{21 \times 11}{21 \times 11} \\ B & = & \frac{880}{231} - \frac{231}{231} \\ B & = & \frac{880 - 231}{231} \\ B & = & \frac{649}{231} \end{matrix}

et le résultat simplifié vaut :

Écriture fractionnaire → VI Addition et soustraction en écriture fractionnaire