OEF- Funció derivada
--- Introducció ---
Aquest mòdul agrupa de moment 50 exercicis
sobre el concepte de derivada d'una funció en un punt, el càlcul de derivades i
unes primeres aplicacions.
Aproximació afí 1
Una funció
de corba representativa
és tal que:
i
Quina és l'aproximació afí de
a ?
Aproximació afí 2
Troba un valor aproximat de
sabent que:
i
Aproximació afí 3
Sigui la funció
definida a per
.
Determinar per aproximació afí, un valor aproximat de
.
- Trobar l'expressió de
- Després calculeu
i
- Deduir un valor aproximat de
Aproximació afí 4
Sigui la funció
definida a per
.
Determinar per aproximació afí, un valor aproximat de
.
- Trobar l'expressió de
- Després calculeu
i
- Deduir un valor aproximat de
Aproximació afí 5
Sigui la funció
definida a per
.
Determinar per aproximació afí, un valor aproximat de
.
- Trobar l'expressió de
- Després calculeu
i
- Deduir un valor aproximat de
Derivada producte o inversa 1
Sigui
la funció definida a
per:
Marqueu la o les respostes correctes:
Derivada producte o inversa 2
Calcular
per
Derivada producte o inversa 3
Calcular
per
Derivada producte o inversa 4
Calcular
per
Derivada producte o inversa 5
Calcular
per
Derivada d'un quocient 1
Sigui
la funció definida a
per:
Marqueu les respostes correctes:
Derivada d'un quocient 2
En quins casos podem utilitzar la fórmula
?
Derivada d'un quocient 3
Calcular
per
Derivada d'un quocient 4
Calcular
per
Derivada d'un quocient 5
Sigui la funció
definida a
per:
- Calcular
|
| |
|
|
- Verificar que per a qualsevol
,
Determinar els reals
i
|
| - Calcular
a partir d'aquesta nova expressió de
=
+
|
| |
|
|
Derivada de suma o producte per un real 1
Calcular
per
Derivada de suma o producte per un real 2
Calcular
per
Derivada de suma o producte per un real 3
Calcular
per
Derivada de suma o producte per un real 4
Calcular
per
Derivada de suma o producte per un real 5
Calcular
per
Optimització 1
El con més gran |
Es construeix un con dins d'una esfera de centre O i de radi R, com es mostra a la figura. Volem determinar la distància
de manera que el con tingui un volum màxim. - Anomenem
.
Donar l'expressió algebraica de
que representa el volum del con en funció de
i de R :
=
- Determinar l'altura
en funció de R per la qual el volum del con és màxim:
=
En un disc de radi R, es talla un sector circular de
radians.
En unir les dues vores rectes del sector angular restant, es construeix un con. Volem determinar quin valor de
fa màxim el volum del con: - Anomenem
l'altura del con.
Donar l'expressió algebraica de
que representa el volum del con en funció de
i de R:
=
- Calcular l'altura
per la qual el volum del con és màxim:
=
- Expressar
, radi de la base del con corresponent a l'altura
=
- Expressa que la circumferència del sector angular ha de coincidir amb la circumferència de la base del con, per donar un valor exacte de
=
Posar "pi" per
i "sqrt(a)" per
. |
|
Optimització 2
Una caixa de joieria té forma de paral·lelepípede rectangle de base quadrada i un volum de L ( dm3).
El material utilitzat per construir les bases costa € per metre quadrat i l'utilitzat per construir la superfície lateral costa € per metre quadrat.
- Expressar el cost
en funció del costat
(en dm) de la base quadrada:
- Deduir la mida de la caixa de manera que el cost sigui mínim.
| Costat de la base:
dm |
| Altura de la caixa:
dm |
Optimització 3
El pla està dotat d'un sistema de referència ortonormal
.
Considerem una recta
no paral·lela als eixos i de pendent negativa que passa pel punt
, talla l'eix d'abscisses a
i l'eix d'ordenades a
.
Determinar l'equació explícita
per tal que el triangle
tingui una àrea mínima.
Optimització 4
Considerem un quadrat
de costat .
Anomenem
el punt mitjà de [AB] i
el de [AD].
Un punt
es desplaça pel segment [AI], anomenem
.
Sigui
el punt de [BC] tal que el triangle
sigui rectangle en
.
- Determinar en funció de
l'àrea del triangle
- Quin és el valor de
que fa aquesta àrea mínima?
=
Nota: observa que els triangles
i
són semblants!
Optimització 5
El parc d'atraccions Totoland ha obert aquest any i ha rebut un total de visitants amb un preu de l'entrada de €.
Un estudi de mercat ha demostrat que si el preu de l'entrada augmenta €, el nombre de visitants disminuirà un 10 %, i que si el preu baixa €, el nombre de visitants augmentarà un 10 %.
Se suposa que l'estudi de mercat s'estén a qualsevol augment o disminució del preu de l'entrada.
Volem determinar quin ha de ser el preu de l'entrada l'any que ve per tal d'aconseguir el màxim d'ingressos:
- Expressar els ingressos
obtinguts en funció del preu
de l'entrada:
=
- Deduir el preu
corresponent al màxim d'aquests ingressos:
=
Derivada d'una funció elemental 1
Calcular
per
i
Posar "sqrt(a)" per
.
Derivada d'una funció elemental 2
Calcular
per
i
Posar "sqrt(a)" per
.
Derivada d'una funció elemental 3
Calcular
per
i
Posar "sqrt(a)" per
.
Derivada d'una funció elemental 4
Calcular
per
i
Posar "sqrt(a)" per
.
Derivada d'una funció elemental 5
Calcular
per
i
Posar "sqrt(a)" per
.
Derivada d'una funció en un punt 1
Sigui la funció
definida a , per :
.
Es vol calcular la derivada de
en el punt d'abscissa
, utilitzant la definició.
- Calcular
=
- Expressar
en funció de
- Calcular
en funció de h:
- Deduir el valor de la derivada de
en
Derivada d'una funció en un punt 2
Sigui la funció
definida a , per :
.
Es vol calcular la derivada de
en el punt d'abscissa
, utilitzant la definició.
- Calcular
=
- Expressar
en funció de
- Calcular
en funció de h:
- Deduir el valor de la derivada de
en
Derivada d'una funció en un punt 3
Sigui la funció
definida a , per :
.
Es vol calcular la derivada de
en el punt d'abscissa
, utilitzant la definició.
- Calcular
=
- Expressar
en funció de
- Calcular
en funció de h:
- Deduir el valor de la derivada de
en
- Completar: La tangent a la corba que representa
al punt d'abscissa
és la recta
que passa per A(;
)
i que té pendent
Derivada d'una funció en un punt 4
Sigui la funció
definida a , per :
.
Es vol calcular la derivada de
en el punt d'abscissa
, utilitzant la definició.
- Calcular
=
- Expressar
en funció de
- Calcular
en funció de h:
- Deduir el valor de la derivada de
en
- Completar: La tangent a la corba que representa
al punt d'abscissa
és la recta
que passa per A(;
)
i que té pendent
Derivada d'una funció en un punt 5
S'ha traçat la gràfica d'una funció
i algunes de les seves tangents.
Llegir gràficament: -
=
-
=
-
=
S'ha traçat la gràfica d'una funció
.
Desplaceu el punt A sobre la corba i llegiu gràficament els valors de
per completar la següent taula: Donar els valors decimals amb 2 decimals o fraccions irreductibles.
| |
Nombre de solucions i enquadrament 1
Considerem la funció
definida a
per :
Es coneixen
i
amb .
Es vol determinar sense calculadora el nombre de solucions de l'equació:
- Completar le taula de variació de
| |
| |
| |
| |
| |
| sg
| | |
| 0 |
| 0 |
| |
|
|
| |
|
| ? |
| ? |
|
|
- Sigui
l'arrel no nul·la de
.
Quin és el signe de
?
Enquadra
entre dos enters consecutius:
<
<
- Deduir una raonada de
- Deduir el nombre de solucions de l'equació
Nombre de solucions i enquadrament 2
Considerem la funció
definida a
per :
Es coneixen
i
amb .
Es vol determinar sense calculadora el nombre de solucions de l'equació:
- Completar la taula de variació de
| |
| |
| |
| |
| |
| sg
| | |
| 0 |
| 0 |
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
- Deduir el nombre de solucions de
Nombre de solucions i enquadrament 3
Considerem la funció
definida a
per :
Es coneixen
i
amb .
Es vol determinar sense calculadora el nombre de solucions de l'equació:
- Completar la taula de variació de
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| sg
| | |
| 0 |
| 0 |
| 0 |
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Deduir el nombre de solucions de
Nombre de solucions i enquadrament 4
Considerem la funció
definida a
per :
Es coneixen
i
amb .
Es vol determinar sense calculadora el nombre de solucions de l'equació:
- Completar les dues primeres línies de la taula de variació de
- Es coneixen
i
, amb
els dos valors de
que anul·len la derivada
.
Enquadrar
i
entre dos enters consecutius:
- Deduir els signes de
i
i completar la darrera línia de la taula de variació.
- Deduir el nombre de solucions de
Nombre de solucions i enquadrament 5
Considerem la funció
definida a
per :
Es coneixen
i
amb .
Es vol enquadrar
a l'interval [;]:
- Calcular
=
i
=
- Completar la taula de variació de
| |
| |
| |
| |
| |
| sg
| | |
| 0 |
| 0 |
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
- Deduir l'enquadrament buscat:
Signe de la derivada i variació 1
Considerem una funció
definida a [ ; ], de la que coneixem la taula de variació:
Quin és el signe de
a [;]:
a [;]:
Signe de la derivada i variació 2
Completar la taula de variació d'una funció
derivable a
sabent que:
i
Signe de la derivada i variació 3
Completar la taula de variació d'una funció
derivable a
sabent que:
i ,
Signe de la derivada i variació 4
| Tenim les corbes que representen 4 funcions (en roig) i les de les seves derivades (en blau). Associeu la corba de cada funció, amb la de la seva derivada. |
Signe de la derivada i variació 5
Considerem que la part visible de la gràfica respecta le taula de variació de
. Marqueu les proposicions correctes:
|
|
Equació de la tangent 1
Una funció
de corba representativa
és tal que:
i
Escriu l'equació de la tangent
a
al punt
d'abscissa :
Equació de la tangent 2
Sigui la funció
, de corba representativa
, definida a per:
. Escriu l'equació de la tangent
a
al punt
d'abscissa :
Equació de la tangent 3
Sigui la funció
definida a
per :
Quants punts hi ha a
on la tangent té de pendent ?
Hi ha de
on la tangent té de pendent .
Indiqueu l'abscissa d'aquest punt:
Indiqueu les abscisses
i
d'aquests punts amb
Equació de la tangent 4
Sigui la funció
definida a
per
i
la seva representació gràfica.
Determinar les coordenades dels punts següents:
- A, punt en què
té una tangent horitzontal:
=(
,
)
- B, punt en què
té una tangent paral·lela a la recta d'equació
=(
,
)
Equació de la tangent 5
Sigui la funció
, de corba representativa
, definida a
per:
. Es tracta de determinar l'equació d'una recta
de pendent que sigui tangent a
en dos punts diferents.
- Quina és l'equació de
?
- Quines són les abscisses
i
amb
d'aquests punts de tangència?
=
=
The most recent version
- Description: autopositionnement Premiere S: Fonctions dérivées. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
- Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, , dérivation dérivée tangente variation approximation affine