Transformations du plan --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 6 exercices sur les configurations et les transformations du plan au lycée.

Isométries

Sur un cercle 1

Dans le plan, soit un cercle de centre et de rayon , et un point extérieur à .
Un point décrit le cercle .
Le point est le projeté orthogonal du point sur la droite .

.

Il s'agit d'
Il s'agit d'un de centre .

Donner une égalité vectorielle caractérisant ce centre.

=
avec .

Déterminer le rayon de ce cercle en fonction du rayon de et de la distance .

R=

Sur un cercle 2

Dans le plan, soit un cercle de centre et de rayon , et un point extérieur à .
Un point décrit le cercle .
Le point est le projeté orthogonal du point sur la droite .

.

Il s'agit d'
Il s'agit d'un de centre .

Donner une égalité vectorielle caractérisant ce centre.

=
avec .

Déterminer le rayon de ce cercle en fonction du rayon de et de la distance .

R=

Lieu et triangles isométriques

Soit M un point du demi cercle de centre et de diamètre contenant le point . Soit le projeté orthogonal de sur [AB] et le point de la demi-droite tel que .

Déterminer le lieu du point lorsque parcourt le demi-cercle .

Pour déterminer ce lieu, nommer un triangle isométrique au triangle Les triangles et sont isométriques puisque: Compléter le raisonnement suivant:>/li>

  • est rectangle en donc les angles et sont
  • et sont perpendiculaires donc les angles et sont
  • Donc les angles et sont
  • Or les côtés et sont égaux ainsi que les côtés et
  • C'est le deuxième cas d'isométrie!
On en déduit que l'angle vaut degrés. Le triangle est rectangle en .
On peut donc déterminer le lieu de Il s'agit d'un cercle.
Plus précisément, il s'agit
du cercle de diamètre

Quadrilatères

Avec des triangles rectangles

est un triangle rectangle en .
M est un point mobile sur et est le point de tel que le triangle est rectangle en .
Les points sont les milieux des côtés du triangle et le point est le pied de la hauteur issue de .

  1. Quel est le lieu du point tel que le triangle est rectangle en ?:
  2. Quel est le lieu du point , milieu du segment ?
  3. Déterminer le centre et le rapport de l'homothétie qui envoie sur , rapport:
On construit le point symétrique de par rapport à .
Les points et sont les milieux des segments et .
Le point appartient maintenant au segment tel que le triangle est rectangle en .

Quel est le nouveau lieu du point , milieu du segment ?

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