DOC Théorèmes d'incidence et sections de cube

Sommaire

Ce document rédigé pour les étudiants de la licence scientifique générale (L3 pour des futurs professeurs des écoles à l'université Paris-Sud) accompagne une partie du cours de géométrie basé sur l'ouvrage de Daniel Perrin : Mathématiques d'école : nombres, mesures et géométrie publié par Editions Cassini (402 p. ISBN 978-2-84225-158-1) . On y fait référence par ME.

ME exercice 187, 185 renvoie à l'exercice 187 de la nouvelle édition, 185 de la première. De même pour les pages ou les propositions.
ME VI.1. renvoie à la partie 1 du chapitre 6.

Théorèmes d'incidence

Cette partie s'appuie sur [ME.VIII.1 et 2], l'illustre et l'applique systématiquement aux sections de cube.

Propriétés fondamentales , Quelques clés pour comprendre les figures
Positions relatives de deux droites
Positions relatives d'une droite et d'un plan
Positions relatives de deux plans
Droites parallèles et plan
Droite perpendiculaire à un plan
Intersection de plans
- Théorème des plans parallèles
- Théorème du toit

Section d'un cube par un plan

Cette partie traite en détail du problème de la section d'un cube par un plan et renvoie à des exercices interactifs.

Problème
Exemples où $(MN)$ est parallèle à une arête du cube.
Exemples où $(MN)$ non parallèle à une arête du cube.

Volume de pyramides

Cette partie établit les formules du volume d'une pyramide et d'un tronc de pyramide en vue de calculer le volume d'une portion de cube obtenue après section par un plan.

Volume d'un tétraèdre
Volume d'un tronc de pyramide , pyramide et théorème de Thalès
Calcul du volume d'une portion de cube

Propriétés fondamentales

Les propriétés fondamentales de l'espace euclidien

cal E

sur lesquelles nous nous appuyons sont les suivantes :

A.1. Par deux points distincts $A$ et $B$ de $cal E$ passe une droite et une seule, notée $(AB)$ .
A.2. Par trois points non alignés $A$ , $B$ et $C$ de $cal E$ passe un plan et un seul, noté $(ABC)$ .
A.3. Si un plan contient deux points distincts $A$ et $B$ , il contient strictement la droite $(AB)$ .
A.4. L'intersection de deux plans ne peut être réduite à un point.
A.5. Axiome d'Euclide pour les plans : Par un point de $cal E$ passe un unique plan parallèle à un plan donné.
A.6. Axiome d'Euclide pour les droites : Par un point de $cal E$ passe une unique droite parallèle à une droite donnée.

Quelques clés pour comprendre les figures

Dans les figures de ce document, on utilise une perspective cavalière pour représenter sur un plan un objet de l'espace : En perspective cavalière, on projette l'objet sur un plan P parallèlement à une droite D donnée (Perspective cavalière et ombre ).

La projection conserve les intersections, le parallélisme des droites et des plans, les rapports de longueurs.

Dans les plans parallèles à P (perpendiculaires au regard) tout est conservé.

l'angle de D avec le regard détermine l'allure de la perspective.

La projection engendre de faux points d'intersection. Exemples :
- Faux point
- Vrai point, faux point

Un cube en perspective cavalière.

Faux point

Sur la figure, les arêtes

[DD']

[AB]

semblent être sécantes au point marqué d'un croix rouge. Ce point n'a pas d'existence dans l'espace sinon la face

ABCD

contiendrait deux points de l'arête

[DD']

et le cube serait aplati. Les arêtes

[DD']

[AB]

sont dans deux plans strictement parallèles,

(ABB')

(DCC')

Vrai point, faux point

Les droites

(MN)

(BC)

sont coplanaires dans le plan de la face supérieure donc soit elles sont parallèles et leurs projections restent parallèles (donc sans point d'intersection), soit elles sont sécantes (ce qui est le cas dans la figure) et le point

Q

est leur point d'intersection. C'est un vrai point.
La droite

(CC')

rencontre le plan de la face supérieure en

C

donc elle ne rencontre pas la droite

(MN)

qui est dans ce plan mais ne passe pas par

C

. Le point marqué par la croix est un faux point dû à la projection.

Un cube en perspective cavalière.

Pour l'étude des sections d'un cube, il est très utile de représenter un cube en perspective. Voici une représentation assez claire sans superposition. La face du dessous est

A' B' C' D'

, celle du dessus

ABCD

; les arêtes

[AA']

[BB']

[CC']

[DD']

sont "verticales". Les instructions de construction sont données pour le logiciel GeoGebra.

Construire un carré $A' B' BA$ avec l'outil polygone régulier,
le milieu $O$ de $[AC]$ (outil milieu sans tracer la diagonale) est le centre du cercle circonscrit au carré (outil cercle (centre-point)).
$M$ est le milieu de $[AB]$ ,
$D$ est l'autre intersection de $(B' M)$ et du cercle .
Définir le vecteur $\vec{AD}$ avec l'outil vecteur (boîte à outil droite) puis utiliser l'outil translation (boîte à outil transformation) pour construire les sommets des parallélogrammes $ABCD$ , $B' BCC'$ et $A' B' C' D'$ .
On mettra en pointillé (dans propriétés, choisir style) les arêtes $[A' D']$ , $[DD']$ et $[D' C']$ .

Pour obtenir une figure utilisable dans les exercices, cacher les objets auxiliaires de construction. On peut sélectionner la figure et l'exporter en différents formats (voir le menu fichier).

Positions relatives de deux droites

L'intersection de deux droites distinctes est soit vide soit réduite à un point ( axiome A1 )

Proposition et définitions.

On dit que deux droites sont sécantes si leur intersection est réduite à un point. Elles sont alors coplanaires. Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont sécantes en $A$ et coplanaires dans le plan $(ABC)$ .
On dit que deux droites sécantes sont perpendiculaires si elles font un angle droit dans le plan qui les contient.
Deux droites sont dites parallèles quand elles sont coplanaires et que soit elles sont confondues soit leur intersection est vide.
Si un plan contient un point $A$ et une droite $D$ , il contient l'unique parallèle à $D$ passant par $A$ .
Deux droites non-coplanaires, c'est-à-dire non contenues dans un même plan ne sont ni sécantes, ni parallèles et leur intersection est vide. On dit qu'elles sont orthogonales si elles ont parallèles à des droites perpendiculaires.

La relation " $D$ est parallèle à $D'$ " est transitive. ici

Exemples dans un cube : Figure

Dans le plan $(ABC)$ , $(AB)$ et $(DB)$ sont sécantes en $B$ , $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Le plan $(BB' D)$ contient la parallèle à $(BB')$ passant par $D$ c'est-à-dire $(DD')$ .
Les droites $(AB)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires dans le plan $(ABC)$ .
Les droites $(AC)$ et $(B' C')$ ne sont pas coplanaires sinon $A$ serait dans le plan de la face $BCC' B'$ .
Les droites $(A' B')$ et $(BC)$ ne sont pas coplanaires, elles sont orthogonales car parallèles aux droites perpendiculaires $(AB)$ et $(BC)$ .

Exercices

Droites dans le tétraèdre
Droites dans le cube
Droites orthogonales dans le cube

Positions relatives d'une droite et d'un plan

Soient une droite

D

et un plan

P

dans l'espace. D'après l' axiome 3 , soit

D

ne rencontre pas

P

, soit

D

rencontre

P

en un unique point, soit

D

est contenu dans

P

. On donne alors les définitions suivantes :

Définitions. Soient une droite

D

et un plan

P

dans l'espace.

Soit $D$ rencontre $P$ en un unique point. On dit que $D$ et $P$ sont sécants.
Soit on dit que $D$ est parallèle à $P$ :
- Si $D$ rencontre $P$ en au moins deux points, elle est contenue dans $P$ .
- Si $D$ ne rencontre pas $P$ , elle est strictement parallèle à $P$

Exemples dans un cube : Figure

Les droites $(AB)$ et $(AD)$ sont contenues dans $(ABC)$ .
Les droites $(D' B)$ et $(BB')$ rencontrent $(ABC)$ en un seul point $B$ .
La droite $(A' B')$ est (strictement) parallèle à $(ABC)$

Exercices

Droite et plan dans le tétraèdre
Droite et plan dans le cube

Positions relatives de deux plans

Proposition et définition. Soient

P

Q

deux plans distincts de l'espace. Il y a deux possibilités :

Ou bien $P \cap Q$ est une droite. On dit que les plans sont sécants.
Ou bien $P \cap Q$ est vide. On dit que les plans sont parallèles.

Par extension, on dit aussi qu'un plan est parallèle à lui-même. Deux plans parallèles à un même plan sont parallèles entre deux ; ceci résulte d'un des axiomes d'Euclide.

Exemples dans un cube : Figure

Les plans $(ABC)$ et $(ABC')$ sont sécants.
Les plans $(ABC)$ et $(A' B' C')$ sont parallèles.

Droites parallèles et plan

Proposition.

Si $D_{1}$ et $D_{2}$ sont des droites parallèles, tout plan sécant à $D_{1}$ est sécant à $D_{2}$ .
Si $D$ est une droite parallèle à un plan $P$ , elle est parallèle à une droite de $P$ (et même à une infinité de droites de $P$ ).
Si deux droites sont parallèles à une même troisième, elles sont parallèles entre elles.

Droite perpendiculaire à un plan

Définition. Soient une droite

D

et un plan

P

dans l'espace. On dit que

D

est perpendiculaire à

P

A

D

coupe

P

A

et est perpendiculaire à toutes les droites de

P

passant par

A

. On note

D ⊥ P

Théorème. Soient une droite

D

et un plan

P

dans l'espace. Les conditions suivantes sont équivalentes :

$D$ est perpendiculaire à $P$
$D$ n'est pas contenue dans $P$ et il existe deux droites distinctes de $P$ perpendiculaires à $D$ .
$D$ est orthogonale à deux droites non parallèles de $P$ .
$D$ est orthogonale à toutes les droites de $P$ .

Définition. On dit que deux plans sont perpendiculaires si chacun contient une droite perpendiculaire à l'autre. il suffit que l'un des deux contienne une droite perpendiculaire à l'autre.

Exemples dans un cube : Figure

Comme $ABB' A'$ et $BB' C' C$ sont des carrés, par (2), la droite "verticale" $(BB')$ est perpendiculaire en $B$ au plan "horizontal" $(ABC)$ . Donc, par définition, $(BB')$ est perpendiculaire à $(BD)$ et, par (4), orthogonale à $(AD)$ .
Les plans $(ABC)$ et $(BB' C')$ sont perpendiculaires. De même, $(ABC)$ et $(DBB')$ .
Application à la section rectangulaire d'un cube .

Exercice : triangles dans le cube

Théorème des plans parallèles

Théorème des plans parallèles. Soient

P_{1}

P_{2}

deux plans parallèles et un plan

Q

non parallèle à

P_{1}

. Le plan

Q

coupe

P_{1}

P_{2}

selon des droites parallèles.

Exemples dans un cube :

Le plan $(AB' C')$ coupe $(ABC)$ et $(A' B' C')$ selon les parallèles $(AD)$ et $(B' C')$ .
Soit $M$ un point de $[AB]$ . Le plan $(MB' C')$ coupe $(ABC)$ selon la parallèle à $(B' C')$ (et donc à $(BC)$ ) passant par $M$ et $(DCC')$ selon la parallèle à $(MB')$ passant par $C'$ . Quelle est la nature de la section $MB' C' N$ ?
La section est un parallélogramme .

Théorème du toit

Application du théorème du toit à une section de cube

Théorème du toit.

Soient

P_{1}

P_{2}

deux plans sécants selon la droite Delta

. Soient

D_{1}

une droite de

P_{1}

D_{2}

une droite de

P_{2}

. Si

D_{1}

D_{2}

sont parallèles, elles sont parallèles à Delta

Exemple dans un cube. Figure

Une droite de $(ABB')$ est parallèle à une droite de $(BCC')$ si et seulement si elle est parallèle à $(BB')$ . Par exemple $(AA')$ est parallèle à $(CC')$ .

Problème

Etant donné un cube

cal K

et trois points

M

N

P

, non alignés sur des arêtes de ce cube, il s'agit de construire le polygone

cal S

intersection de

cal K

et du plan

(MNP)

. Les côtés de

cal S

sont les intersections de

(MNP)

avec les faces du cube. Ce sont ces segments qu'il faut construire. Le polygone

cal S

peut être un triangle, un quadrilatère (parallélogramme, rectangle, carré), un pentagone ou un hexagone.

On peut appliquer le Théorème des plans parallèles , le Théorème du toit , une méthode de prolongement des arêtes ou utiliser un plan auxilaire .

La section est un parallélogramme

On suppose que $M$ appartient à $[AB]$ , $N$ à $[A' B']$ , $P$ à $[DC]$ et que la section du cube par $(MNP)$ est un quadrilatère $NMPQ$ ; alors c'est un parallélogramme en effet le plan $(MNP)$ coupe les faces parallèles $(ABB')$ et $(DCC')$ (respectivement $(ABC)$ et $(A' B' C')$ ) selon des droites parallèles $(MN)$ et $(PQ)$ (respectivement $(MP)$ et $(NQ)$ ).(Voir le Théorème des plans parallèles )

Dans quel cas $NMQP$ est-il un rectangle ? Réponse

Sur la figure, vous pouvez déplacer les points $M$ , $N$ et $P$ .

Version imprimable de la figure

La section est un rectangle

Le parallélogramme

NMQP

est un rectangle si et seulement si

(MN)

est perpendiculaire à

(MP)

. Comme

(BC)

est perpendiculaire à

(ABB')

, elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à

(MN)

par le théorème concernant une droite perpendiculaire à un plan.

Si $(MP)$ est parallèle à $(BC)$ , alors $(MP)$ est perpendiculaire à $(ABB')$ donc à $(MN)$ .
Si $(MP)$ n'est pas parallèle à $(BC)$ , alors comme $(MN)$ est orthogonale à $(BC)$ , $(MN)$ est perpendiculaire à $(MP)$ si et seulement si $(MN)$ est orthogonale à deux droites non parallèles de $(ABC)$ si et seulement si $(MN)$ est perpendiculaire à $(ABC)$ . On en déduit que dans ce cas $(MN)$ est parallèle à $(BB')$ .

En résumé,

NMPQ

est un rectangle si et seulement si

(MN)

est perpendiculaire à

(ABC)

(MP)

est perpendiculaire à

(ABB')

ce qui est équivalent à

(MN)

est parallèle à

(BB')

(MP)

parallèle à

(BC)

Sur la figure, vous pouvez déplacer les points $M$ , $N$ et $P$ .

Version imprimable de la figure

Application du théorème du toit à une section de cube

On utilise ici le théorème du toit pour déterminer l'intersection de deux plans.

Soient $M$ un point de $[AB]$ , $N$ un point de $[A' B']$ et $P$ un point de $[B' C']$ . On suppose que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ . L'intersection Delta des plans $(MNP)$ et $(BB' C')$ contient $P$ et par le théorème du toit c'est une droite parallèle à $(BB')$ . La droite Delta est donc la parallèle à $(BB')$ passant par $P$ . Soit $Q$ le point d'intersection de Delta et de $(BC)$ , sécantes dans le plan $(BB' C')$ . Par le théorème des plans parallèles , $(MQ)$ est parallèle à $(NP)$ , donc $MNPQ$ est un parallélogramme et comme $(MN)$ est perpendiculaire à $(ABC)$ , $MNPQ$ est un rectangle. Le rectangle $MNPQ$ peut-il être un carré ?

Sur la figure, vous pouvez déplacer les points $M$ et $P$ .

Version imprimable de la figure

Méthode

Il s'agit de construire la section du cube $𝒦$ par le plan $(MNP)$ lorsque $(MN)$ n'est pas parallèle à une arête.

On suppose que

M

appartient à [AB],

N

[A' B']

et que

(MN)

n'est pas parallèle à

(AA')

Dans le plan $(ABB')$ (celui de la face de devant), les droites $(MN)$ et $(AA')$ sont sécantes en un point $Q$ qui appartient à la droite $(MN)$ donc au plan $(MNP)$ et à la droite $(AA')$ donc au plan (AA'D') (celui de la face de gauche). Nous avons ainsi déterminé un point de $(MNP)$ dans une autre face que celle de $M$ et $N$ .
Si, par exemple, $P$ appartient à $(DD')$ , la droite $(PQ)$ rencontre la face $AA' D' D$ selon un segment $[PR]$ qui est un côté de la section $cal S$ puisque $(PQ)$ est contenue dans $(MNP)$ .

Exercices : facile , difficile , expert .

Exemple rédigé

Il s'agit de construire la trace, sur les faces du cube, du plan défini par $A$ , $M$ et $N$ .

1. Le segment $[AN]$ est la trace du plan $(AMN)$ sur la face de devant. Dans le plan $(ABB')$ (de la face de devant), la droite $(AN)$ rencontre $(BB')$ en $P$ qui appartient donc à $(AMN)$ mais aussi au plan $(BB' C)$ (de la face de droite).	2. Dans le plan $(BB' C)$ (de la face de droite), $(PM)$ , droite du plan $(AMN)$ , rencontre rencontre $(B' C')$ en un point $Q$ de $(AMN)$ . Alors le segment $[MQ]$ est la trace du plan $(AMN)$ sur la face de droite.

3. La section du cube par le plan $(AMN)$ est donc le trapèze $ANQM$ . En effet, par exemple, $[NQ]$ est l'intersection de $(AMN)$ et de la face du bas et par le théorème des plans parallèles, $(NQ)$ est parallèle à $(AM)$ .

Calcul du volume de la partie $AMBB' QN$ du cube.

Section de cube (cas expert)

Le cas difficile est la section du cube par un plan

(MNP)

où

M

N

P

sont sur des arêtes deux à deux non coplanaires. La méthode du plan auxiliaire est décrite dans le livre page 386, 372, ligne 8 lire "R et P".

Un plan auxiliaire contient un point, par exemple $M$ , et l'arête contenant un autre point, par exemple $N$ .
Soit $𝒟$ la droite intersection de et d'une face contenant le troisième point $P$ .
Les droites $(MN)$ et $𝒟$ sont coplanaires dans . Leur point d'intersection $Q$ , s'il existe, est à la fois dans $(MNP)$ et dans le plan d'une face contenant $P$ .
La droite $(PQ)$ permet de construire la trace de $(MNP)$ sur cette face contenant $P$ .
On termine comme dans le cas facile ...

Exercice

Volume d'un tétraèdre

Le volume d'un tétraèdre est calculé en [ME.X.3.D] de façon différente selon l'édition de ME. Voici une variante signalée à D. Perrin par Daniel Meyer , en trois étapes, basée sur l'homogénéité du volume.

Volume du tétraèdre (1)
Volume du tétraèdre (2)
Volume du tétraèdre (3)

Volume du tétraèdre (1)

On calcule le volume du tétraèdre vert en le comparant à celui d'un parallélépipède de base double et de même hauteur. On utilise pour cela un tétraèdre homothétique.

Dans chaque figure, la mobilité du point A permet de modifier la figure et ainsi d'améliorer la vision 3D. Pour la suite du calcul faire suiv

Sur la figure 1, voici, en vert, le tétraèdre dont on va calculer le volume.

Sa base $BCD$ a pour aire la moitié de celle de $A^{″} BCD$ , base du parallélépipède rose.

On a complété

ABC

en un parallélogramme

ABCD

, de même

BCD

en un parallélogramme

A^{″} BCD

ABD

en un parallélogramme

{ABC}^{″} D

ACD

en un parallélogramme

{AB}^{″} CD

D^{″}

complète le parallélépipède.

Figure 1

Volume du tétraèdre : figure 1 imprimable

Volume du tétraèdre (2)

Sur la figure 2, le tétraèdre saumon

A ″ B ″ C ″ D ″

est symétrique de

ABCD

par rapport à O.

En effet, toutes les diagonales du type

[MM ″]

sont des diagonales de parallélogramme, elles se coupent donc en leur milieu.

Figure 2

Volume du tétraèdre : figure 2 imprimable

Volume du tétraèdre (3)

Le tétraèdre $A' B' C' D'$ est homothétique de $ABCD$ par l'homothétie de centre D et de rapport 2. Donc si $t$ est le volume de ABCD, le volume de $A' B' C' D'$ est $8 t$ .
Le tétraèdre $A' B' C' D'$ est la réunion d'une partie du parallélépipède (le tétraèdre $A^{″} B^{″} C^{″} D^{″}$ n'est pas contenu dans $A' B' C' D'$ ) et de trois tétraèdres de volume $t$ donc le volume du parallélépipède est $6 t$ .
Or le volume du parallélépipède est le produit de l'aire de sa base par sa hauteur et l'aire de la base du petit tétraèdre est la moitié de celle de la base du parallélépipède.

On a donc montré :

Proposition.
Le volume du tétraèdre est le tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur.

Figure 3

Volume du tétraèdre : figure 3 imprimable

Volume d'un tronc de pyramide

Soit

𝒫

une pyramide de base

A_{1} A_{2} . . . A_{n}

(avec

n \geq 3

) et de sommet

O

. Soit

A'_{1}

(resp.

A'_{2}

A'_{3}

) un point de

({OA}_{1})

(resp.

({OA}_{2})

({OA}_{3})

). On suppose que le plan $(A'_{1} A'_{2} A'_{3})$ est parallèle au plan $(A_{1} A_{2} A_{3})$ de la base.

On note $A'_{i}$ l'intersection de $(A'_{1} A'_{2} A'_{3})$ avec $({OA}_{i})$ pour $i = 4, . . ., n$ dans le cas $n > 3$ . On convient que $A_{n + 1}$ est le point $A_{1}$ et $A'_{n + 1}$ le point $A'_{1}$ . On appelle $𝒫'$ une pyramide de base $A'_{1} A'_{2 . . .} A'_{n}$ (avec $n \geq 3$ ) et de sommet $O$ .

Alors

Pour $i = 1, . . ., n$ , la droite $(A'_{i} A'_{i + 1})$ est parallèle à $(A_{i} A_{i + 1})$ .
Il existe une homothétie $h$ de centre $O$ et de rapport qui envoie $A_{i}$ sur $A'_{i}$ pour tout $i = 1, . . ., n$ .
On a : $λ = \frac{OA'_{i}}{{OA}_{i}} = \frac{A'_{i} A'_{i + 1}}{A_{i} A_{i + 1}}$ pour tout $i = 1, . . ., n$ .
Le volume de $𝒫'$ est égal à $∣ λ ∣^{3} . V (𝒫)$ .
Si $A'_{1}$ est entre $A_{1}$ et $O$ , le volume du tronc de la pyramide $𝒫$ compris entre les plans $(A'_{1} A'_{2} A'_{3})$ et $(A_{1} A_{2} A_{3})$ est égal à $(1 - ∣ λ ∣^{3}) . V (𝒫)$ .

Figure imprimable du tronc de pyramide

Calcul du volume d'une portion de cube

Nous reprenons l' exemple rédigé : le cube de côté

a

est coupé par le plan

(AMN)

et nous avons vu que la section est le quadrilatère

ANQM

. Nous allons calculer le volume

v

de la partie

ANB' QMB

du cube située devant ce quadrilatère. Pour ce faire, nous utilisons les pyramides construites pour établir la section.

Considérons le grand tétraèdre

cal T

de base

ABM

et de sommet

P

et le petit tétraèdre

t

de même sommet et de base

NB' Q

. D'après le théorème Volume d'un tronc de pyramide , comme les deux pyramides ont même sommet et que leurs bases sont parallèles, il existe une homothétie

h

de sommet

P

et de rapport

k

(que nous allons déterminer) qui envoie

P

sur

P

A

sur

N

B

sur

B'

M

sur

Q

avec :

k = \frac{PN}{PA} = \frac{PB'}{PB} = \frac{PQ}{PM} = \frac{NB'}{AB} = \frac{QB'}{MB} = \frac{NQ}{AM}

Si on suppose les égalités

B' N = CM = \frac{a}{3}

, on obtient

k = \frac{1}{3}

. On en tire

BP = \frac{3 a}{2}

Alors le volume de $cal T$ vaut $\frac{BP . BA . BM}{6} = \frac{a^{3}}{6}$ . Le volume $v$ du tronc de pyramide est donc égal à $\frac{a^{3}}{6} (1 - \frac{1}{3^{3}})$ soit $\frac{13 a^{3}}{81}$ .

droites et plans dans l'espace, sections de cube, volume de troncs de pyramide.
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