Nombres complexes (introduction)

SOMMAIRE

Ce document présente les connaissances de base sur les nombres complexes : opérations et représentation géométrique. Il contient des exercices permettant de se familiariser avec chacune des notions introduites.

Définitions et Représentation dans le plan
Opérations sur les nombres complexes
Module et argument d'un nombre complexe
- Module et argument d'un nombre complexe , formes algébrique et trigonométrique.
- Propriétés du module et de l'argument
- Les trois formes d'un nombre complexe , forme exponentielle.

Les exemples de ce document sont aléatoires ; pour en obtenir un nouveau, il suffit de cliquer sur le lien Recharger.

Définitions

Il n'existe pas de réel

x

solution de l'équation

x^{2} + 1 = 0

. Bombelli, dans son ouvrage L’Algebra, paru en 1572 invente « quelque chose » dont le carré est –1 que l'on note maintenant par la lettre

i

. (Histoire des nombres complexes)

Définition. L’ensemble des nombres complexes est l’ensemble qui

contient les nombres réels et le nombre $i$ avec $i^{2} = - 1$ ;
est muni d'une addition et d'une multiplication dont les règles de calcul sont les mêmes que celles sur les nombres réels.
est constitué des nombres de la forme $a + b i$ , où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

On appelle

a

la partie réelle du nombre complexe

z

(on la note

Re (z)

) et

b

la partie imaginaire de

z

(on la note

Im (z)

).
De plus, deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

$z = z' \Leftrightarrow [Re (z) = Re (z')$ et $Im (z) = Im (z')]$

Définition. On appelle imaginaire pur un nombre complexe de partie réelle nulle.

Exemple. Le nombre complexe

2 i

est un imaginaire pur.
Remarque. Un nombre complexe de partie imaginaire nulle est un réel.

Représentation dans le plan

Définition. Soit un point

M

de coordonnées

(a, b)

dans un repère orthonormé

(O, \vec{u}, \vec{v}) .

On appelle affixe de

M

le nombre complexe

a + b i

Exemple. Faites bouger le point A afin de faire varier son affixe affiché dans le coin en haut à gauche.
Ensuite, exercez-vous à placer un point d'affixe donnée !

Opérations sur les nombres complexes

L'addition et la multiplication définies sur les réels se prolongent aux nombres complexes avec les mêmes propriétés d'associativité, de commutativité et de distributivité que pour les nombres réels, en utilisant la règle

i^{2} = - 1

. On les explicite dans les pages suivantes.

Somme de deux nombres complexes
Produit ou quotient d'un nombre complexe par un nombre réel
Produit de deux nombres complexes
Conjugué d'un nombre complexe
Inverse d'un nombre complexe
Quotient d'un nombre complexe par un autre non nul

Somme de deux nombres complexes

De la définition des nombres complexes, on déduit cette propriété :

La somme de deux nombres complexes a pour partie réelle la somme des parties réelles de ces nombres, et pour partie imaginaire la somme de leurs parties imaginaires.

Exemple. La somme de et de est $() + () = (- 2.7 + 2.6) + (2.5 - 0.8) i =$

Illustration. La figure représente un point M d'affixe $z_{1}$ , un point N d'affixe $z_{2}$ et le point P d'affixe $z_{1} + z_{2}$ . Vous pouvez déplacer les points M et N.

Ensuite, entraînez-vous à calculer une somme.

Produit ou quotient d'un nombre complexe par un nombre réel

De la définition des nombres complexes, on déduit cette propriété :

Soient

a

b

deux nombres réels.
Le produit d'un nombre complexe

z = a + b i

par un réel

k

est le nombre complexe défini par :

$k \times (a + b i) = k \times a + k \times b i$ .

Le quotient d'un nombre complexe

z = a + b i

par un réel

k

non nul est le nombre complexe défini par :

$\frac{a + b i}{k} = \frac{a}{k} + \frac{b}{k} i$ .

Exemples

Produit par un réel : $2.6 \times () = (2.6 \times - 2.8) + (2.6 \times - 1.7) i =$
Quotient par un réel : $\frac{}{3} = \frac{- 42}{3} + \frac{- 45}{3} i =$

Illustration

La figure représente le point M d'affixe

z

, un point N d'affixe réel

x

et le point P d'affixe

x z

. Vous pouvez déplacer les points M et N.

Ensuite, entraînez-vous au calcul ! Et à placer des points !

Produit de deux nombres complexes

Pour

a

b

c

d

quatre nombres réels, le produit des deux nombres complexes

a + b i

c + d i

s'obtient en appliquant les règles usuelles de distributivité et de commutativité de la multiplication sur les nombres réels et la relation

i^{2} = - 1

$(a + b i) \times (c + d i)$ = $a \times c + b i \times c + a \times d i + (b \times d) i^{2} = (a c - b d) + (a d + b c) i$

Autrement dit, le produit deux nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$ est défini par :

$z_{1} \times z_{2} = [Re (z_{1}) Re (z_{2}) - Im (z_{1}) Im (z_{2})] + [Re (z_{1}) Im (z_{2}) + Im (z_{1}) Re (z_{2})] i$

Exemple. Le produit de et est $() \times () = (- 0.4 \times 0.3 + 0.1 \times 0.4) + (0.4 \times 0.4 + 0.1 \times 0.3) i = 1$ .

Sur la figure ci-contre, le point P a pour affixe le produit des affixes des points M et N. Les points M et N peuvent être déplacés.

Entraînez-vous au calcul de produits !

Conjugué d'un nombre complexe

Définition. Soit

a

b

des nombres réels. On appelle conjugué du nombre complexe

z = a + i b

, le nombre complexe

a - i b

. On le note

\bar{z}

Exemple. Le conjugué de est .

Interprétation géométrique. Si

M

est un point d'affixe

z

alors le symétrique de

M

par rapport à l'axe

(Ox)

a pour affixe

\bar{z}

.
Sur la figure, il est représenté par le point

P

. Le point $M$ est mobile.

Remarque. Un nombre réel est égal à son conjugué. Le conjugué d'un imaginaire pur est son opposé.

Propriétés. Pour

z

z_{1}

z_{2}

des nombres complexes, on a :

$z + \bar{z} = 2 Re (z)$
$z - \bar{z} = 2 i Im (z)$
$\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$
$\bar{z_{1} z_{2}} = \bar{z_{1}} \bar{z_{2}}$
$\bar{(\frac{z_{1}}{z_{2}})} = \frac{\bar{z_{1}}}{\bar{z_{2}}}$ , pour $z_{2} \neq 0$ .

Exercices.

Parties réelles, imaginaires et conjugués
Produit et conjugué
Propriétés des conjugués

Inverse d'un nombre complexe

Comme pour les réels, $1$ est l'élément neutre de la multiplication dans l'ensemble des nombres complexes et tout nombre complexe $z$ non nul admet un inverse noté $\frac{1}{z}$ .

Si $z = a + b i$ avec $a$ et $b$ des réels qui ne sont pas tous les deux nuls, alors la forme algébrique du nombre $\frac{1}{z}$ s'obtient en multipliant le numérateur et le dénominateur par $a - b i$ :

$\frac{1}{z} = \frac{a - b i}{(a + b i) (a - b i)} = \frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b}{a^{2} + b^{2}} i$ .

Sur la figure ci-contre, le point R a pour affixe l'inverse de l'affixe du point S. Le point S peut être déplacé.

Quotient d'un nombre complexe par un autre non nul

Soient

z_{1}

z_{2}

deux nombres complexes avec

z_{2} \neq 0

. Le quotient

\frac{z_{1}}{z_{2}}

est le produit de

z_{1}

par l'inverse de

z_{2}

. Pour

z_{1} = a + b i

z_{2} = c + d i

on obtient :

$\frac{a + b i}{c + d i} = \frac{(a + b i) \times (c - d i)}{c^{2} + d^{2}}$

On a multiplié le numérateur et le dénominateur par

c - d i

Exemple. Le quotient de par est $\frac{}{} = \frac{() (\bar{})}{() (\bar{})} = \frac{0.05 + 0.03 i}{0.17} = 0.29411765 + 0.17647059 i$ .

Exercices

S'entraîner au calcul de quotients.
Remplir un tableau avec des nombres complexes

Module et argument d'un nombre complexe

Dans le plan orienté par le repère $(O, \vec{u}, \vec{v})$ , on considère un point $M$ d'affixe $z = a + b i$ avec $a$ et $b$ réels.

Définitions.

On appelle module d'un nombre complexe $z$ , la distance entre le point $O$ et le point $M$ . On le note $∣ z ∣$ .
Le module de $z$ est $∣ z ∣ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{z \bar{z}}$ .

On appelle argument d'un nombre complexe non nul $z$ une mesure $θ$ de l'angle orienté $(\vec{u}, \vec{OM})$ . C'est un nombre réel défini modulo $2 π$ et noté $\arg (z)$ .

On a donc : $z = ∣ z ∣ . (\cos (θ) + i \sin (θ))$ .

Définitions.

Pour tout nombre complexe $z$ , on appelle forme algébrique de $z$ l'écriture $z = a + i b$ avec $a$ et $b$ réels.

Pour $z$ non nul, on appelle forme trigonométrique de $z$ l'écriture $z = ∣ z ∣ . (\cos (θ) + i \sin (θ))$ où $θ$ est un argument de $z$ .
Le lien entre la forme algébrique et la forme trigonométrique est donné par les relations suivantes

$∣ z ∣ = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , $\cos (θ) = \frac{a}{∣ z ∣}$ et $\sin (θ) = \frac{b}{∣ z ∣}$
$a = ∣ z ∣ . \cos (θ)$ et $b = ∣ z ∣ . \sin (θ)$

Exemple

Le point M d'affixe a pour module $3.0413813$ et pour argument $2.0491488$ mod $2 π$ .
Sur la figure ci-contre, vous pouvez déplacer le point $M$ et voir varier le module et l'argument de l'affixe de $M$ .

Exercices

Entraînez-vous à calculer un module et un argument
Calculez $z$ connaissant son module et son argument

Propriétés du module et de l'argument

Soient

z

z'

deux nombres complexes.

$∣ \bar{z} ∣ = ∣ z ∣$
$∣ z z' ∣ = ∣ z ∥ z' ∣$
Pour tout entier naturel $n$ , $∣ z^{n} ∣ = {∣ z ∣}^{n}$ . Pour $z \neq 0$ , $∣ \frac{1}{z} ∣ = \frac{1}{∣ z ∣}$
Inégalité triangulaire : $∣ z + z' ∣ \leq ∣ z ∣ + ∣ z' ∣$
$\arg (\bar{z}) = - \arg (z)$ [2]
$\arg (z z') = \arg (z) + \arg (z')$ [2]
Pour tout entier naturel $n$ , $\arg (z^{n}) = n . \arg (z)$ [2].
Pour $z \neq 0$ , $\arg (\frac{1}{z}) = - \arg (z)$ [2] et $\arg (\frac{z'}{z}) = \arg (z') - \arg (z)$ [2]
Pour $z \neq 0$ on a : $\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{∣ z ∣^{2}}$ et $\frac{z'}{z} = \frac{z' \bar{z}}{∣ z ∣^{2}}$

Exercices

QCM sur les propriétés des modules
QCM sur les propriétés des arguments

Les trois formes d'un nombre complexe

Notation

Pour un réel

θ

, on note

e^{i θ}

le nombre complexe

\cos (θ) + i \sin (θ)

Remarque. Cette notation est cohérente avec les propriétés de l'exponentielle d'un nombre réel.

Pour

θ

θ'

des réels on a :

$e^{i θ} e^{i θ'} = e^{i (θ + θ')}$
$e^{0 i} = 1$
$(e^{i θ})^{- 1} = e^{- i θ}$

Les trois formes

Un nombre complexe non nul

z

a trois formes classiques :

la forme algébrique : $z = Re (z) + i Im (z)$ .
la forme trigonométrique : $z = ∣ z ∣ . (\cos (θ) + i \sin (θ))$ .
la forme exponentielle : $z = ∣ z ∣ e^{i θ}$ .

Exercices

Placez sur un graphique un nombre complexe donné sous forme trigonométrique
Placez sur un graphique un nombre complexe donné sous forme exponentielle
Nombre complexe sous forme trigonométrique et opérations
Nombre complexe sous forme exponentielle et opérations

document définissant les nombres complexes, leurs différentes formes et les opérations élémentaires.
: complex_number, complex_plane, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne sont pas des fichiers HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE. Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.