OEF combinatoire --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 32 exercices numériques sur la combinatoire élémentaire.

Double langues

Parmi élèves d'une classe, parlent anglais, parlent allemand. Tout élève parle soit anglais soit allemand.

Maintenant il faut en choisir deux, dont l'un parle anglais et l'autre parle allemand. Combien de choix possibles y a-t-il ?

Lampes d'hôtel

Un long couloir dans un hôtel est éclairé par lampes alignées. Pour économiser de l'énergie, l'hôtel éteint de ces lampes pendant la nuit.

Pour avoir un minimum d'éclairage, on ne peut pas éteindre des lampes adjacentes, ni les lampes aux extrémités du couloir. Dans ce cas, combien de façons différentes y a-t-il d'éteindre lampes ?

Salle informatique I

Une école a une salle informatique avec ordinateurs numérotés. Un groupe de élèves fait un cours dans cette salle. Combien de façons différentes y a-t-il d'attribuer chaque élève à un ordinateur (distinct) ?

Salle informatique II

Une école a une salle informatique avec ordinateurs numérotés. Un groupe de élèves fait un cours dans cette salle. Combien de façons différentes y a-t-il pour répartir les élèves sur les ordinateurs pour que chaque ordinateur reçoive élèves ?

Triangles dans polygone

Soit un polygône régulier de côtés. Combien de triangles distincts dont les trois sommets sont des sommets de y a-t-il ?

Boîtes à lettres

Combien de façons différentes y a-t-il de mettre lettres dans boîtes à lettres ?

Bonbons

De combien de façons distinctes peut-on distribuer bonbons aux filles et garçons de manière que  ?

Bus et conducteurs

Il y a bus, conducteurs et contrôleurs. Combien de façons y a-t-il d'attribuer les conducteurs et contrôleurs aux bus de manière à ce que chaque bus ait un conducteur et un contrôleur ?

Comité de classe

Dans une classe de garçons et de filles, combien de possibilités y a-t-il pour composer un comité de classe de élèves, sachant qu'il doit y avoir au moins et dans le comité ?

Couples

Combien de possibilités y a-t-il pour former couples à partir de hommes et femmes ?

Groupes d'élèves

De combien de façons distinctes peut-on diviser une classe de élèves en groupes de élèves chacun ?

Hélicoptère

On a hélicoptères de tourisme, pilotes et hôtesses de l'air. Combien de façons différentes y a-t-il d'attribuer les pilotes et hôtesses de l'air aux hélicoptères de manière que chaque hélicoptère ait un pilote et deux hôtesses de l'air ?

Points d'intersection

Dans le plan, deux droites ont au plus un point d'intersection.

Combien de points d'intersection y a-t-il au plus entre droites ?

Points d'intersection II

Dans le plan, deux droites ont au plus un point d'intersection.

Combien de points d'intersection y a-t-il au plus entre droites dont sont (donc parallèles entre eux) ?

Points d'intersection III

Dans le plan, deux droites ont au plus un point d'intersection.

Combien de points d'intersection y a-t-il au plus entre droites dont passent par l'origine du plan ?

Monôme 3

Combien y a-t-il d'entiers de la forme où les exposants , , sont des entiers non négatifs avec ?

Monôme 4

Combien y a-t-il d'entiers de la forme , où les exposants , , , sont des entiers non négatifs avec  ?

Mots

Combien de mots distincts peut-on former avec les premières lettres de l'alphabet, sachant que chaque lettre est utilisée exactement une fois dans chaque mot et que les premiers lettres {} doivent être groupées dans chaque mot ?

Coefficients de binôme

Soit un entier positif tel que . ?

Coefficients de binôme II

Si =, quelle est la valeur de  ?

Partitions fixes

De combien de façons distinctes peut-on écrire
 ,
où les sont des entiers supérieurs ou égaux à , rangés dans l'ordre  ?

Poignées de main

couples et personnes non mariées se rencontrent pendant une soirée. Au début de la soirée, chaque participant se serre la main avec chaque autre participant une fois, sauf qu'il n'y a pas de poignée de main entre mari et femme. Combien de poignées de main ont eu lieu au total ?

Positif négatif

Soit un ensemble contenant entier positifs et entier négatifs. Les valeurs absolues de ces entiers sont des nombres premiers distincts.

Quel est le nombre de deux nombres différents dans  ?

Quadrilatères sur droites

Nous avons 2 droites parallèles dans le plan. Sur la première droite nous avons points, et sur la deuxième, points. Combien de quadrilatères peut-on former avec ces points ?

Rectangles

Soient droites dans le plan, dont horizontales et verticales.

Combien de rectangles peut-on former avec ces droites ?

Sous-ensembles

Un ensemble fini a sous-ensembles de éléments. Quel est le nombre d'éléments de  ?

Table de dîner

couples dînent ensemble. Combien de façons différentes y a-t-il pour ces personnes de s'asseoir autour de la table de manière que chaque monsieur soit assis à côté de deux dames ?

Table de dîner

couples dînent ensemble. Combien de façons différentes y a-t-il pour ces personnes de s'asseoir autour de la table de manière que chaque monsieur soit assis à côté de deux dames, et que tous les maris et femmes soient assis ensemble ?

Table de dîner

couples dinent ensemble. Combien de façons différentes y a-t-il pour ces personnes de s'asseoir autour de la table de manière que chaque couple soit assis ensemble ?

Table de dîner

couples dînent ensemble. Combien de façons différentes y a-t-il pour ces personnes de s'asseoir autour de la table de manière que chaque monsieur soit assis à côté de deux dames, et qu'aucun mari soit assis à côté de sa femme ?

Triangles

Nous avons droites dans le plan, dont passent par l'origine du plan. Il n'y a aucun autre point placé sur plus de deux droites, ni aucune droite parallèle à une autre.

Combien de triangles peut-on former avec ces droites ?

Triangles sur droites

Nous avons deux droites parallèles dans le plan. Sur la première droite nous avons points, et sur la deuxième, points. Combien de triangles peut-on former avec ces points ?
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