OEF Probabilités conditionnelles --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 13 exercices autour des notions de probabilité conditionnelle d'événements et d'indépendance d'événements.

Les questions posées dépendent du niveau de difficulté défini ci-dessous dans les exercices "Indépendance d'événements : propriétés", "Probabilité conditionnelle", "Phénotypes" et "analyse d'échantillons d'eau 1".
On peut configurer ci-dessous les exercices pour obtenir des énoncés utilisant les notations en vigueur au lycée.

Analyse d'échantillons d'eau 1

Lorsque la rivière qui longe le village XXX déborde, la probabilité que la source du village soit polluée est de le lendemain. Dans le cas où cette rivière déborde, un employé municipal est chargé de prélever et d'analyser un échantillon d'eau de la source. échantillons d'eau de la source le lendemain et d'analyser séparément chaque échantillon.
L'analyse d'un échantillon n'est pas totalement fiable : Si l'eau contenue dans échantillons sur l'échantillon prélévé les échantillons prélévés est déclarée par l'analyse effectuée, quelle est la probabilité que le maire se trompe en déclarant que l'eau ?

Analyse d'échantillons d'eau 2

Lorsque la rivière qui longe le village XXX déborde, la probabilité que la source du village soit polluée est de le lendemain. Dans le cas où cette rivière déborde, un employé municipal est chargé de prélever et d'analyser un échantillon d'eau de la source.
L'analyse d'un échantillon n'est pas totalement fiable : 1- Si l'eau contenue dans l'échantillon prélévé est déclarée par l'analyse effectuée, quelle est la probabilité que le maire se trompe en déclarant que l'eau ?

Bonne réponse ! si l'eau contenue dans l'échantillon prélévé est déclarée par l'analyse effectuée, le maire a une probabilité égale à de se tromper en déclarant que l'eau .

2- On suppose que pour diminuer le risque de se tromper, l'employé municipal est chargé de prélever échantillons d'eau de la source le lendemain et d'analyser séparément chaque échantillon.
Si l'eau contenue dans échantillons sur les échantillons prélévés est déclarée par l'analyse effectuée, quelle est alors la probabilité que le maire se trompe en déclarant que l'eau ?

Dépouillement d'un vote I

Lors d'un vote dans une entreprise, les électeurs devaient choisir entre listes. Sur les bulletins, il y a : Quelle est la probabilité que les premiers bulletins dépouillés soient dans l'ordre
?

Dépouillement d'un vote II

Lors d'un vote dans une entreprise, les électeurs devaient choisir entre listes. Sur les bulletins, il y a : 1- Quelle est la probabilité que les premiers bulletins dépouillés soient dans l'ordre
?
Donner votre réponse sous forme d'une fraction rationnelle.

Bonne réponse ! La probabilité d'obtenir ce dépouillement est .

2- Déterminer la probabilité que parmi les premiers bulletins dépouillés, il y ait Donner votre réponse sous forme d'une fraction rationnelle.

Des jetons dans des sacs

On dispose de sacs contenant des jetons noirs et blancs : Une personne lance un dé à 6 faces.

1- Quelle est la probabilité que le jeton tiré soit ?

Bonne réponse, la probabilité de tirer un jeton est .

2- On sait que la personne a tiré un jeton . Quelle est la probabilité que ce jeton ait été tiré dans le sac ?

Phénotypes

Supposons que dans une population, on observe phénotypes différents notés et avec la répartition suivante parmi les de famille : .

Le tableau suivant donne la proportion d'enfants de phénotype donné en fonction du phénotype .

Par exemple, le tableau indique que % des enfants dont est de phénotype A ont le phénotype A.

On choisit un enfant au hasard dans cette population.

1 - Quelle est la probabilité qu'il le phénotype ?

Bonne réponse ! La probabilité qu'il le phénotype est bien .

2 - L'enfant choisi le phénotype . Quelle est la probabilité que le phénotype ?

Probabilité conditionnelle

On considère une expérience aléatoire dont l'ensemble des résultats est noté . On note une probabilité sur associée à cette expérience aléatoire. On s'intéresse à deux événements et qui ont une probabilité strictement comprise entre 0 et 1 d'être réalisés. On suppose connu
, et .

Donner l'expression de en fonction de , et .

NB : ne pas oublier de mettre l'opérateur * pour multiplier deux expressions.

Efficacité d'un vaccin

% de la population a été vacciné contre une maladie contagieuse. Au cours d'une épidémie, on constate que la proportion de vaccinés parmi les malades est de =. On sait de plus qu'au cours de cette épidémie, il y avait une proportion de = malades parmi les vaccinés.

1- Quel est le pourcentage de personnes qui malades durant cette épidémie ?

Bonne réponse, au cours de cette épidémie, % des personnes malades.

2- En se basant uniquement sur ces informations, quelle est la probabilité de tomber malade pour une personne non vaccinée ?

Bonne réponse, la probabilité de tomber malade pour une personne non vaccinée est .

3- Le vaccin est-il efficace ?

Infection virale

Dans une population donnée, % des victimes d'une infection virale présente un symptôme qui n'atteint que % de la population non infectée. On sait de plus que % de la population présente ce symptôme.

1- Quelle est la probabilité qu'un individu choisi au hasard dans cette population infecté ?
Bonne réponse, la probabilité qu'un individu choisi au hasard dans cette population infecté est .

2- Quelle est la probabilité qu'un individu présentant le symptôme infecté ?

Bonne réponse, la probabilité qu'un individu présentant le symptôme, infecté est .

3- Quelle est la probabilité qu'un individu ne présentant pas le symptôme, infecté ?

Calculs avec des événements indépendants

On suppose que , et sont des événements indépendants de probabilité respectivement , et .

Exprimer en fonction de , et la probabilité de l'événement =

Indépendance d'événements : propriétés

Soit ( , , ) un espace de probabilité et , et trois événements. Les affirmations suivantes sont-elles toujours vraies ?

1. Si et si , alors .
2. Si et si , alors .
3. Si et si , alors .

Traduction probabiliste

On note

Compléter l'assertion suivante : la probabilité que s'écrit :

P( )
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