Nombres complexes II

Objectifs

Documents

Voici les documents où vous pourrez travailler le cours.

Guide

Histoire

Equations dans les nombres complexes

• Racines carrées d'un nombre complexe
• Equation du second degré dans C
• Exercices sur les racines d'une équation de degré 2
• Racines cubiques et plus
• Exercice

Racines carrées d'un nombre complexe

On désire trouver la racine carrée d'un nombre complexe donné de manière algébrique, par exemple $c=-3-6i$ . On cherche donc un nombre complexe $z=x+iy$ tel que $z^2=-3-6i$ avec $x$ et $y$ appartenant à .

1. On écrit ce que signifie l'équation $z^2=c$ en termes de $x$ et de $y$.
   Comme $z^2=(x^2-y^2)+2ixy$, l'équation est équivalente au système d'équations

   $\{\begin{array}{cc}{x}^2-y^2& =-3\\ 2xy& =-6\end{array}$

   On peut a priori résoudre à partir de ces deux équations. Mais on va en utiliser une autre qui va simplifier la résolution
2. On traduit donc le fait que $\mid z^2\mid =\mid -3+-6i\mid$ ce qui donne

   $(x^2+y^2{)}^2=45$
   $x^2+y^2={45}^{1/2}\sim 6.7082039.$

3. Et quand on a la valeur de $x^2+y^2$ et celle de $x^2-y^2$, que voulez-vous faire d'autre que d'en déduire la valeur de $x^2$ et de $y^2$ en ajoutant et retranchant ces deux équations :

   $\{\begin{array}{cc}{x}^2& =(-3+{45}^{1/2})/2\sim 1.8541019\\ y^2& =(3+{45}^{1/2})/2\sim 4.854102\end{array}$

   Au fait, voyez-vous une raison a priori pour que ces valeurs soient positives ?
4. Donc, $x=\pm \sqrt{(-3+{45}^{1/2})/2}$ et $y=\pm \sqrt{(3+{45}^{1/2})/2}$
   Mais cela ferait 4 solutions !
   

   $\sqrt{(-3+{45}^{1/2})/2}+i\sqrt{(3+{45}^{1/2})/2},-\sqrt{(-3+{45}^{1/2})/2}+i\sqrt{(3+{45}^{1/2})/2}$
   $-\sqrt{(-3+{45}^{1/2})/2}-i\sqrt{(3+{45}^{1/2})/2},\sqrt{(-3+{45}^{1/2})/2}-i\sqrt{(3+{45}^{1/2})/2}$

   Ce qui en fait vraiment beaucoup trop, puisque l'équation $z^2=-3-6i$ a deux solutions.
5. Cela vient du fait que l'on n'a pas raisonné par conditions équivalentes. Quelle condition n'a-t-on pas utilisée ? $2xy=-6$. Ainsi $x$ et $y$ sont de signe contraire. Donc les solutions sont

   $\sqrt{(-3+{45}^{1/2})/2}-i\sqrt{(3+{45}^{1/2})/2},-\sqrt{(-3+{45}^{1/2})/2}+i\sqrt{(3+{45}^{1/2})/2}$

   et en approchant et .

Equation du second degré dans C

La résolution des équations du second degré est maintenant très simple, une fois que l'on sait trouver les racines carrées d'un nombre complexe. Par exemple, résolvons l'équation

$()z^2+()z+=0$

Le discriminant est = $({)}^2-4()()=$. On calcule les racines carrées de par la méthode précédente : $d$ ou $-d$. Les racines de l'équation sont alors

En particulier, comme dans le cas réel, l'équation a une racine "double" lorsque le discriminant est nul.

Exercices sur les racines d'une équation de degré 2

Racines et coefficients

Il est important de connaître la relation entre les racines d'une équation de degré 2 et ses racines :

Profitez-en pour remarquer comment sont placées les deux racines complexes d'un polynôme à coefficients réels et faites le mélange suivant coefficients réels ou complexes

Racines cubiques et plus

Exercice

Géométrie

• Nombres complexes et géométrie
• Racines n-ièmes de l'unité
• Racines de l'unité
• Pentagone

Nombres complexes et géométrie

Racines n-ièmes de l'unité

Voici les racines 2-ièmes de l'unité dans le plan complexe : avec , vous pouvez changer la valeur aléatoirement ou la choisir vous-même en haut (inférieure à 50).

• Regarder les différences entre n pair et impair
• Essayer successivement des valeurs multiples, par exemple 2, 4, 12 ou 3, 6, 12, 24

et interpréter ce que vous remarquez.

Racines de l'unité

Dans les exercices suivants, n'oubliez pas que si u est une racine de l'unité d'ordre n, par exemple

,

elle vérifie la relation

Pentagone