OEF Introduction aux groupes --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 14 exercices d'introduction aux groupes.

Polygone et coloriage

Voici un d'un polygone à côtés : c'est un Le groupe des isométries du polygone régulier à côtés est un groupe diédral d'ordre .

Le stabilisateur des parties colorées en dans est un groupe

d'ordre

Est-il distingué dans le groupe des isométries du polygone régulier à côtés ?

Table de groupe III

Voici la table d'un groupe fini. Quel est l'inverse de ?
 

Table de groupe II

Voici la table d'un groupe fini. Mais l'élément neutre n'a pas été forcément mis en première position. Lequel est-ce ?
 

Table de groupe VI

Voici la table d'un groupe fini.
L'ordre de est égal à .

Carrés de couleur et permutations

Voici trois carrés de couleur que l'on numérote par leur position initiale. On leur applique successivement les permutations
, puis , puis .
Donner les images successives des carrés

Carrés de couleur et permutations II

Voici trois carrés de couleur que l'on numérote par leur position initiale. On leur applique successivement la permutation
, puis , puis .
Donner les images finales des carrés

Carrés de couleur et permutations III

On applique aux trois carrés de couleur des permutations successives (de haut en bas) En les numérotant par leur position initiale, écrire la permutation comme composé de permutations :
= leftpar3   1   2   3 rightpar3 leftpar3   1   2   3 rightpar3 leftpar3   1   2   3 rightpar3

Table de groupe I

Voici la table d'un groupe fini. Que vaut ?
 

Racines de l'unité et puissances

Soit la racine de l'unité .

Table de groupe IV

Voici la table d'un groupe fini. La compléter.

Table de groupe V

Voici la table d'un groupe fini.

Sous-groupe de racines de l'unité I

Sur le cercle unité, on a marqué les éléments du groupe des racines de l'unité d'ordre . Soit

= .

Marquer les éléments du sous-groupe engendré par

Sous-groupe de racines de l'unité II

Sur le cercle unité, on a marqué les éléments du groupe des racines de l'unité d'ordre . Marquer les éléments du sous-groupe d'ordre de .

Sous-groupe de racines de l'unité III

Sur le cercle unité, on a dessiné les éléments du groupe des racines de l'unité d'ordre . Pour , marquer les éléments de la forme

  pour   

et appartenant au sous-groupe d'ordre de .
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