OEF application linéaire --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 17 exercices sur les applications linéaires.

Il comporte deux QCM présentés chacun en deux versions :

Dans les QCM I, vous pouvez choisir le nombre de questions proposées. Dès qu'une réponse est fausse, l'exercice est terminé.
Les QCM II proposent trois questions. Après chacune réponse, la bonne réponse est affichée. L'exercice est terminé après les trois questions.

Les deux versions utilisent la même liste de questions et chaque question peut exister en plusieurs versions. Pour cette raison, ils peuvent être renouvelés plusieurs fois.

Image and Kernel

Let be the canonical basis of and the endomorphism in whose matrix with respect to the basis is .

1. Give the rank of . 2. The rank of is . Give a basis of Im( ). 3. Give a basis of Ker( ).

This exercice has three steps.
Enter in columns, the components of basis vectors of Im( ).

Basis of the image

Let be the canonical basis of and the endomorphism in whose matrix with respect to the basis is

Give a basis of Im( ).

Enter the components of the vectors in the basis of Im( ) in columns.

Basis of Kernel ( $f$ )

Let be the canonical basis of and an endomorphism of whose matrix with respect to the basis is

Give a basis of Ker( ).

Enter the components of the vectors in this basis in columns.

Décomposition sur des supplémentaires

Soient une base de . On considère le plan d'équation et la droite engendrée par le vecteur . Décomposez le vecteur comme somme d'un vecteur de et d'un vecteur de .

Entrez les composantes de et dans la base .

Endomorphisme du plan

Il existe endomorphisme(s) du -espace vectoriel tel que

Endomorphism in the space

There exists endomorphism(s) in which verifies

, and

Image d'un plan

Soit l'endomorphisme de donné par

et soit le sous-espace vectoriel engendré par les deux vecteurs et .

L'image de par est . Vous avez trouvé que l'image de par est . Que signifie ce résultat ?

Image d'un plan (avec paramètres)

Soit l'endomorphisme de donné par

Pour quelles valeurs du paramètre l'application linéaire n'est-elle pas un isomorphisme ? (les réponses toujours ou jamais sont admises).

On suppose que . Soit le sous-espace vectoriel engendré par les deux vecteurs

et .

Pour quelles valeurs de , l'image de par est-elle contenue dans une droite ? (les réponses toujours ou jamais sont admises)

Vous avez répondu que l'image de par n'est jamais contenue dans une droite. Pourquoi ?

Vous avez répondu que l'image de par est toujours contenue dans une droite. Pourquoi ?

Vous avez répondu que l'image de par est contenue dans une droite si et seulement si . Pour , qu'est-ce qui est vrai parmi les affirmations suivantes?

Choisissez toujours la réponse la plus complète.

Projection vectorielle

Soient une base de . On considère le plan d'équation et la droite engendrée par le vecteur . Donner la matrice dans la base de la projection vectorielle sur parallèlement à .

Prolongement d'un endomorphisme

On considère les vecteurs de suivants :

Il existe endomorphisme(s) de qui envoi(en)t sur , sur et sur .