OEF espaces vectoriels --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 16 exercices sur les espaces vectoriels.

Voir aussi les collections d'exercices sur la définition d'espace vectoriel ou la définition de sous-espace vectoriel.

Deux sous-ensembles

Soit un espace vectoriel. Soient deux sous-ensembles et de , ayant respectivement et éléments. Répondez :

Deux sous-ensembles II

Soit un espace vectoriel. Soient deux sous-ensembles et de , ayant respectivement et éléments. Répondez :

Dim matrice antisym

Quelle est la dimension de l'espace vectoriel (réel) des matrices réelles antisymétriques de taille ×?

Dim matrice sym

Quelle est la dimension de l'espace vectoriel (réel) des matrices réelles symétriques de taille ×?

Dim matrice triang

Quelle est la dimension de l'espace vectoriel (réel) des matrices réelles triangulaires de taille ×?

Dim poly racine

Quelle est la dimension de l'espace vectoriel des polynômes réels de degré au plus , ayant pour racine de multiplicité au moins ?

Vecteur paramétré

Soit et deux vecteurs dans . Trouver la valeur du paramètre tel que le vecteur appartienne au sous-espace de engendré par et .

Etalage librairie 3 auteurs

Une librairie range son étalage de romans.

Si l'on expose (resp. , ) exemplaires de chaque titre de l'auteur A (resp. auteur B, auteur C), il y aura livres en exposition. Si l'on expose (resp. , ) exemplaires de chaque titre de l'auteur A (resp. auteur B, auteur C), il y aura livres en exposition.

Combien de titres y a-t-il au total de ces 3 auteurs?

Dim(ker) endomorphisme

Soient un espace vectoriel de dimension , et un endomorphisme. On sait que l'image de est de dimension . Quel est le minimum de la dimension du noyau de ?

Dim sous-espace par système

Soit E un sous-espace vectoriel de R défini par un système linéaire homogène. Ce système contient équations, et le rang de la matrice des coefficients de ce système est égal à . Quelle est la dimension de E?

Génération et dépendance

Soit un espace vectoriel de dimension , et soit un ensemble de vecteurs . Etudiez la vérité des énoncés suivants.

Dim intersection de sous-espaces

Soient un espace vectoriel de dimension , , deux sous-espaces vectoriels de avec , . On suppose que et engendrent . Quelle est la dimension de l'intersection ?

Image de vecteur 2D

Soit une application linéaire, avec , . Calculez , où .

Pour donner votre réponse, écrivez .

Image de vecteur 2D II

Soit une application linéaire, avec , . Calculez , où .

Pour donner votre réponse, écrivez .

Image de vecteur 3D

Soit une application linéaire avec , , . Calculez , où .

Pour donner votre réponse, écrivez .

Image de vecteur 3D II

Soit une application linéaire, avec , , . Calculez , où .

Pour donner votre réponse, écrivez .

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