OEF definición de espacio vectorial
--- Introducción ---
Este módulo actualmente contiene 13 ejercicios relacionados con la definición de espacios vectoriales.
Se proponen distintas estructuras en cada caso; sobre las que tendrás que determinar si se trata
realmente de un espacio vectorial.
Ver también la colección de ejercicios en
espacios vectoriales en general o
definición de subespacios.
Circunferencia
Sea S el conjunto de todas las circunferencias del plano (cartesiano), con las reglas de adición y multiplicación por escalares definida como sigue. - Si C1 (resp. C2) es una circunferencua de centro (x1,y1) (resp. (x2,y2) ) y radio , C1 + C2 será la circunferencia de centro (x1+x2,y1+y2) y radio .
- Si C es una circunferencia de centro (x,y) y radio , y si a es un número real, entonces aC es una circunferencia de centro (ax,ay) y radio .
¿Es S con la adición y multiplicación por escalares definida más arriba un espacio vectorial sobre el conjunto de los números reales?
Espacio de aplicaciones
Sea S el conjunto de las aplicaciones f: ---> , (i.e., del conjunto de los al conjunto de los ) con las reglas de adición y multiplicación por escalares como sigue:
- Si f1 y f2 son dos aplicaciones en S, f1+f2 es una aplicación f: : -> tal que f(x)=f1(x)+f2(x) para todo x perteneciente a .
- Si f es una aplicación en S y si a es un número real, af es una aplicación de a tal que (af)(x)=a·f(x) para todo x perteneciente a .
¿Es S con la estructura definida más arriba un espacio vectorial sobre R ?
Valor absoluto
Sea S el conjunto de parejas (x,y) de número reales. Definimos la suma y producto por escalares en S como sigue: - Para cualquier (x,y) y (x,y) perteneciente a S, definimos (x,y)+(x,y) = (x+x,y+y).
- Para cualquier (x,y) perteneciente a S y cualquier número real a, definimos a(x,y) = (|a|x,|a|y).
¿Es S con la estructura definida más arriba un espacio vectorial sobre R?
Recta afín
Sea L una recta del plano cartesiano, definida por una ecuación c1x+c2y=c3, y sea =(x,y) un punto fijo de L. Sea S el conjunto de puntos de L. Sobre S, definimos la suma y producto por escalares como sigue:
- Si =(x,y) y =(x,y) son dos elementos de S, definimos + = .
- Si =(x,y) es un elemento de S y si es un número real, definimos = .
¿Es S con la estructura definida más arriba un espacio vectorial sobre R?
Suma alternada
Sea S el conjunto de parejas (x,y) de números reales. Definimos la suma y producto por escalares en S como sigue: - Para cualquier (x,y) y (x,y) perteneciente a S, (x,y)+(x,y) = (x+y,y+x).
- Para cualquier (x,y) perteneciente a S y cualquier número real a, a(x,y) = (ax,ay).
¿Es S con la estructura definida más arriba un espacio vectorial sobre R?
Espacios
El conjunto de todos los , junto con la suma y el producto usual, ¿es un espacio vectorial sobre el espacio de los ?
Matrices
Sea
el conjunto de las matrices reales
. Sobre
, tenemos definido el producto por escalares como sigue: Si
es una matriz en
, y si
es un número real, el producto de
por el escalar
está definido por la matriz
, donde
. ¿Es
junto con la suma usual y el producto por escalares definido más arriba un espacio vectorial sobre
?
Matrices II
El conjunto de matrices con elementos y de , junto con la suma y multiplicación usual, ¿es un espacio vectorial sobre el espacio de los ?
Multiplicación/división
Sea S el conjunto de las parejas (x,y) de números reales. Definimos la suma y producto por escalares en S como sigue: - Para cualquier (x,y) y (x,y) perteneciente a S, definimos (x,y)+(x,y) = (x+x,y+y).
- Para cualquier (x,y) perteneciente a S y cualquier número real a, definimos a(x,y) = (x/a , y/a) si a es no nulo, y 0(x,y)=(0,0) si a es nulo.
¿Es S con la estructura definida más arriba un espacio vectorial sobre R?
Números no nulos
Sea S un conjunto de números reales . Definimos la suma y producto por escalares en S como sigue: - Si x y y son dos elementos de S, la suma de x y y en S está definida por xy.
- Si x es un elemento de S y si a es un número real, el producto de x por el escalar a está definido por xa.
¿Es S con la estructura definida más arriba un espacio vectorial sobre R?
Trans-recta
Sea S el conjunto de las parejas (x,y) de números reales. Definimos la suma y el producto por escalares en S como sigue: - Si (x,y) y (x,y) son dos elementos de S, su suma en S está definida por la pareja (x+x,y+y).
- Si (x,y) es un elemento de S, y si a es un número real, el producto de (x,y) por el escalar a en S está definido por la pareja (ax(),ay()).
¿Es S con la estructura definida más arriba un espacio vectorial sobre R?
Trans-cuadrado
Sea S el conjunto de parejas (x,y) de números reales. Definimos la suma y producto por escalares en S como sigue: - Para cualesquiera (x,y) y (x,y) perteneciente a S, (x,y)+(x,y) = (x+x,y+y).
- Para cualquier (x,y) perteneciente a S y cualquier número real a, a(x,y) = (ax,ay()2).
¿Es S con la estructura definida más arriba un espacio vectorial sobre R?
Única circunferencia
Sea S el conjunto de puntos de la circunferencia x2+y2=1 en el plano cartesiano. Para cualquier punto (x,y) de S, existe un número real t tal que x=cos(t), y=sin(t). Definimos la suma y producto por escalares en S como sigue:
- Si (cos(t1),sin(t1)) y (cos(t2),sin(t2)) son dos puntos en S, su suma está definida por (cos(t1+t2),sin(t1+t2)).
- Si p=(cos(t), sin(t)) es un punto de S y si a es un número real, el producto de p por el escalar a está definido por (cos(at), sin(at)).
¿Es S con la estructura definida más arriba un espacio vectorial sobre R?
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