Inégalités

Objectifs

Majorer, minorer, encadrer, voici les techniques de base de l'analyse et ce module a pour but de vous entraîner à ces techniques. Il propose aussi une première approche de la définition de la limite.

Guide

Inéquations

Encadrements

Cours : La manipulation des inéqualités est l'occasion de nombreuses erreurs. Ces manipulations s'appuient sur les propriétés de l'ordre de RR .

Exercices : Ces trois exercices proposent d'encadrer des expressions en x et y connaissant un encadrement des nombres réels x et y.
  1. Encadrement 1
  2. Encadrement 2
  3. Zone d'inégalité

Inéquations : Exercices

Exercice : Sans étude de fonctions mais en utilisant les propriétés de l'ordre de RR, résoudre les inéquations suivantes :

Inéquations : Exercices

Exercice : Résoudre les inéquations :
  1. ∣x 2−5x+4∣>2∣x−1∣
  2. x 2−5x+4>2(x−1)

La racine carrée est-elle définie ?

Solution
  1. S=]0,1[∪]1,85[
  2. S=]−∞,1[.

Exercices de déduction d'inégalités simples

Les exercices qui suivent demandent de montrer des choses simples mais obligent à décomposer en étapes et à réfléchir à chaque instant aux méthodes que l'on utilise et qui doivent ensuite être utilisées "sans réfléchir".
Exercices de déduction (I):

Exercices de déduction (II) : Un pot pourri d'inégalités à résoudre

Exercices de déduction (III) : Borner une fraction

Implication entre inégalités

Quel est le problème ?

Jusqu'à maintenant, vous avez dû résoudre des inéquations, c'est-à- dire chercher tous les x vérifiant une inégalité par exemple : ∣x 2−4∣≤3. L'ensemble des solutions est [−7;−1]∪[1;7].
Dorénavant, vous allez devoir vérifier qu'une condition sur x est suffisante pour obtenir un certain encadrement d'une fonction, par exemple : L'implication suivante est-elle vraie ?

∣x−2∣≤0,5⇒∣x 2−4∣≤3

La condition ∣x−2∣≤0,5 signifie que x est compris entre 1,5 et 2,5 et implique que ∣x+2∣ est majoré par 4,5, on peut donc écrire.

∣x 2−4∣≤∣x+2∣∣x−2∣≤4,5×0,5≤3.


Quelles sont les méthodes ?

Considérons une fonction numérique f d'une variable x, par exemple

f(x)=∣x 2+2xexp(−x)−9xsinx−4∣

Que peut-on dire des variations de f si x varie dans un intervalle donné I par exemple [1;3] ? On peut évidemment faire une étude complète de la fonction mais souvent une estimation suffit.

Dans notre exemple, f se présente comme une fraction : pour majorer f, nous allons
En conclusion, sur [1;3], on peut dire que la fonction est majorée par 24 et même par 6 si on a été plus courageux.

Exercices

Exercice : Démontrer les implications suivantes :

  1. ∣x−1∣≤1⇒∣x 2sinx−2xx 2−6∣≤4.

    Solution
    Par hypothèse le réel x est dans l'intervalle [0;2], l'inégalité triangulaire nous permet de majorer le numérateur :

    ∣x 2sinx−2x∣=∣x∣∣xsinx−2∣<∣x∣(∣x∣+∣2∣)≤8

    D'autre part le dénominateur ∣x 2−6∣ vaut 6−x 2 dans l'intervalle considéré donc est minoré par 2.

  2. x≥16⇒∣x 2exp(−x)x 6−20x 2∣≤12.


    Solution
    Quand x est positif, exp (−x) est positif et majoré par 1. Quand x est supérieur à 16 alors x 6−20x 2 est strictement positif et minoré par x 6. On obtient donc

    x≥16⇒∣x 2exp(−x)x 6−20x 2∣≤x −4≤12.

  3. ∣x−2∣≤1⇒∣∣x 2−4∣xcos(x−2)∣≤5∣x−1∣.


    Solution
    Par hypothèse, x−2 est compris entre −1 et 1 donc cos(x−2) est positif et minoré par cos1 (la fonction cosinus est paire de plus elle est décroissante entre 0 et 1) alors que x est minoré par 1. On obtient donc

    ∣x−2∣≤1⇒∣∣x 2−4∣xcos(x−2)∣≤∣x+4∣x−4∣cos1∣ ≤7∣x−1∣cos1 ≤5∣x−1∣.

Approche de la limite

Approche de la définition de la limite

Question : Dans quel intervalle autour de a puis-je remplacer f(x) par f(a) sans commettre une erreur supérieure à epsilon ? Par exemple, dans quel voisinage de 14, est-on sûr de pouvoir remplacer 1x par 2 en commettant une erreur Delta inférieure à ε=10 −3 ?

Prenons f(x)=1x et transformons la différence en valeur absolue de f(x) et de f(14) :

∣1x−2∣=∣1−2xx∣=∣1−4x(1+2x)x∣=4∣14−x(1+2x)x∣

Maintenant nous allons majorer K(x)=4∣1(1+2x)x∣ par une constante sur un intervalle plus petit contenu dans ]0;+∞[.

Calcul de l'erreur

D'une part 1+2x est minoré par 1, d'autre part si x est supérieur à 116 alors 1x est inférieur à 4, donc pour tout x supérieur à 116,

K(x)=4∣1(1+2x)x∣ est majoré par 16∣14−x∣.


Si x vérifie ∣14−x∣<10 −316, x vérifie aussi x≥116, La majoration est donc valide et nous avons montré l'implication suivante :

∣14−x∣≤10 −316 ⇒ ∣1x−2∣≤10 −3.


En résumé, si on choisit x entre 14−10 −316 et 14+10 −316, on peut dire que 1x vaut 2 à 10-3 près ou que l'erreur est au plus de 10-3.
Le travail central ici est le travail de majoration, en effet ensuite la détermination de l'intervalle est immédiate. Nous pouvons utiliser ce travail de majoration pour affirmer :

∀ε>0, ∃α>0,∣14−x∣≤α ⇒ ∣1x−2∣≤ε.

Comme notre majoration n'est valide que pour x supérieur à 116, condition qui est vérifiée si x appartient à l'intervalle [14−38;14+38] ; on impose la condition α≤3/16. Pour que l'implication soit vraie, il suffit donc de prendre α=inf(316,ε16).
Interprétation

Interprétation

L'énoncé mathématique obtenu

∀ε>0, ∃α>0,∣14−x∣≤α ⇒ ∣1x−2∣≤ε.

signifie que

1x tend vers 2 quand x tend vers 14.

Exercices

Exercice : Aide visuelle : epsilon étant donné, trouver alpha en étant aidé visuellement.

Exercice : Donner une majoration raisonnable de ∣f(x)−b∣ de la forme ∣x−a∣ nC où n est un entier et C un réel positif (on pourra si nécessaire imposer une condition à ∣x−a∣) pour :
  1. f(x)=x 3,a=2,b=8 Solution

    ∣x 3−8∣=∣(x−2)(x 2+2x+4) ∣≤∣x−2∣(x 2+∣2x∣+4)

    Si la condition ∣x−2∣≤1 est vérifiée, on peut donc écrire :

    ∣f(x)−b∣≤19∣x−2∣

  2. f(x)=x 2+3x−2,a=1,b=−4 Solution

    ∣x 2+3x−2+4∣=∣(x−1)(x+5)x−2∣

    Si x est compris entre 1/2 et 3/2, (on est alors sûr que la fonction est définie) , On minore ∣x−2∣ par 12 (faire un dessin sur la droite réelle en plaçant 12, 1, 32 et 2) et on majore ∣x+5∣ par 132. On peut donc écrire que

    si x est compris entre 1/2 et 3/2 , ∣x 2+3x−2+4∣≤13∣x−1∣

  3. f(x)=x 2+1x 2,a=1,b=2 Solution

    ∣x 2+1x 2−2∣=∣(x−1) 2x 2∣

    La fonction est définie seulement si x n'est pas nul, nous allons donc prendre x compris entre 12 et 32 , alors

    ∣x 2+1x 2−2∣ est majoré par 4(x−1) 2

Exercice : Soit epsilon un réel strictement positif. Dans chacun des cas traités au-dessus, proposer une valeur de alpha dépendant de epsilon telle que l'implication suivante soit vraie :

∣x−a∣≤α⇒∣f(x)−b∣≤ε


Solution

∣x−a∣≤α Rightarrow ∣f(x)−b∣≤ε

Une infinité de choix de alpha sont possibles, le choix dépend de la majoration qu'on a réussi à faire. Les majorations proposées permettent d'affirmer que les valeurs de alpha suivantes conviennent ainsi que toute valeur inférieure.
  1. α=inf(ε/19,1). On doit choisir alpha inférieur à 1 car la majoration n'est démontrée que pour ∣x−2∣≤1.

    ∣x−2∣≤inf(ε/19,1) ) Rightarrow ∣x 3−8∣≤ε

  2. α=inf(ε/13,12).

    ∣x−1∣≤inf(ε/13,12) Rightarrow ∣x 2+3x−2+4∣≤ε

  3. α=inf(ε/4,12).

    ∣x−1∣≤inf(ε/4,12)⇒∣x 2+1x 2−2∣≤ε



document donnant une introduction à la notion de limite.
: limite,inegalite,epsilon,inequation, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

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