OEF Intégration numérique --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 15 exercices sur l'intégration numérique des fonctions.

Intégrale numérique (Riemann)

Soit une fonction continue et sur l'intervalle [,]. On se donne les valeurs suivantes de Donner le meilleur encadrement de possible à partir de ces valeurs en utilisant la méthode des rectangles :
Pour information :
xrange , yrange , parallel 0,,0,,1,0,40, grey parallel 0,,0,,-1,0,40, grey parallel ,0,,0,0,1,40, grey parallel ,0,,0,0,-1,40, grey vline 0,0, black hline 0,0, black arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black linewidth 2

Intégrale numérique (rectangles)

Soit une fonction continue et sur l'intervalle [,]. On se donne les valeurs suivantes de Donner le meilleur encadrement de possible à partir de ces valeurs en utilisant la méthode des rectangles :
.
Pour information :
xrange , yrange , parallel 0,,0,,1,0,40, grey parallel 0,,0,,-1,0,40, grey parallel ,0,,0,0,1,40, grey parallel ,0,,0,0,-1,40, grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black linewidth 2

Intégrale numérique (rectangles) 2

Soit une fonction continue sur l'intervalle [,], sur l'intervalle [,] et sur l'intervalle [,]. On se donne les valeurs suivantes de Donner le meilleur encadrement de possible à partir de ces valeurs en utilisant la méthode du rectangle :
Pour information :
xrange , yrange , parallel 0,,0,,1,0,40, grey parallel 0,,0,,-1,0,40, grey parallel ,0,,0,0,1,40, grey parallel ,0,,0,0,-1,40, grey vline 0,0, black hline 0,0, black arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black linewidth 2

Erreur bornée trapèze I

Soit une fonction infiniment dérivable. Nous voulons calculer approximativement l'intégrale définie par la méthode des trapèzes à intervalles réguliers. Sachant que
pour , pour ,
calculer le nombre minimal de coupes de l'intervalle [,] qui est nécessaire pour que l'erreur de l'approximation ne dépasse pas .

Erreur bornée trapèze II

Soit une fonction infiniment dérivable. Nous voulons calculer approximativement l'intégrale définie par la méthode des trapèzes à intervalles réguliers. Sachant que
pour , pour ,
calculer le nombre minimal de coupes de l'intervalle [,] qui est nécessaire pour que l'erreur de l'approximation ne dépasse pas .

Intégration numérique adaptée

Soit une fonction continue sur l'intervalle [,]. On désire trouver un encadrement de . Pour cela, on subdivise l'intervalle [,] comme indiqué et on utilise la méthode des rectangles. Quelle subdivision parmi celles proposées donnera le meilleur encadrement ?
xrange -0.5, yrange , linewidth 3 plot green ,, plot green ,, linewidth 1 arrow ,, ,+1,10,black arrow ,, +1, ,10,black vline ,,black hline ,, black xrange -0.5, yrange , linewidth 3 plot green ,, plot green ,, linewidth 1 arrow ,, ,+1,10,black arrow ,, +1, ,10,black vline ,,black hline ,, black xrange -0.5, yrange , linewidth 3 plot green ,, plot green ,, linewidth 1 arrow ,, ,+1,10,black arrow ,, +1, ,10,black vline ,,black hline ,, black

Intégrale numérique (point médian)

Soit une fonction continue et convexe sur l'intervalle [,]. On se donne les valeurs suivantes de aux points pour allant de 0 à .
Donner le minorant à de obtenu à partir de ces valeurs en utilisant la méthode des points médians :
Pour information :
xrange , yrange , parallel 0,,0,,1,0,20, grey parallel 0,,0,,-1,0,20, grey parallel ,0,,0,0,1,20, grey parallel ,0,,0,0,-1,20, grey vline 0,0, black hline 0,0, black arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black linewidth 2 plot green,

Intégration numérique, erreur

Soit une fonction continue et convexe sur l'intervalle [,]. On se donne les valeurs suivantes de pour les valeurs : + ()/, pour allant de 0 à .
Donner la meilleure majoration de possible à partir de ces valeurs en utilisant la méthode des trapèzes :
En effet, la méthode des trapèzes permet d'approcher l'intégrale de la fonction par . La fonction est définie par .
Calculer l'erreur relative (avec deux chiffres significatifs) commise en approchant l'intégrale par la méthode des trapèzes.
L'erreur est à peu près : .

Pour information :

xrange , yrange , parallel 0,,0,,1,0,20, grey parallel 0,,0,,-1,0,20, grey parallel ,0,,0,0,1,20, grey parallel ,0,,0,0,-1,20, grey vline 0,0, black hline 0,0, black arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black linewidth 2 plot green,

Intégration numérique (trapèze)

Soit une fonction continue et convexe sur l'intervalle [,]. On se donne les valeurs suivantes de pour les valeurs de égales à , pour allant de 0 à .
Donner le meilleur majorant possible de que l'on peut obtenir à partir de ces valeurs en utilisant la méthode des trapèzes :
Pour information :
xrange , yrange , parallel 0,,0,,1,0,20, grey parallel 0,,0,,-1,0,20, grey parallel ,0,,0,0,1,20, grey parallel ,0,,0,0,-1,20, grey vline 0,0, black hline 0,0, black arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black linewidth 2 plot green,

Trapèze basique

Voici quelques valeurs d'une fonction infiniment dérivable.
Utiliser ces valeurs pour calculer l'intégrale définie par la méthode des trapèzes à intervalles réguliers. (Attention aux valeurs intrues éventuelles !) La méthode des trapèzes donne une intégration approximative
.
Sachant que pour , Sachant que pour , donner une borne d'erreur de cette approximation.
<

Trapèze et erreur I

Voici quelques valeurs d'une fonction infiniment dérivable.
Utiliser ces valeurs pour calculer l'intégrale définie par la méthode des trapèzes à intervalles réguliers. (Attention aux valeurs intrues éventuelles !) La méthode des trapèzes donne une intégration approximative
.
Sachant que pour , Sachant que pour , donner une borne d'erreur de cette approximation.
<

Trapèze et erreur II

Voici quelques valeurs d'une fonction infiniment dérivable.
Utiliser ces valeurs pour calculer l'intégrale définie par la méthode des trapèzes à intervalles réguliers. (Attention aux valeurs intrues éventuelles !) La méthode des trapèzes donne une intégration approximative
.
Sachant que pour , Sachant que pour , donner une borne d'erreur de cette approximation.
<

Trapèze encadré

Voici quelques valeurs d'une fonction infiniment dérivable.
Etant donné l'estimation pour , donner un encadrement de l'intégrale définie par la méthode des trapèzes à intervalles réguliers :
< <

Trapèze avec intrus

Voici quelques valeurs d'une fonction infiniment dérivable.
Utiliser ces valeurs pour calculer l'intégrale définie par la méthode des trapèzes à intervalles réguliers. (Attention aux valeurs intrues éventuelles !) La méthode des trapèzes donne une intégration approximative
.
Sachant que pour , Sachant que pour , donner une borne d'erreur de cette approximation.
<

Intégration numérique, erreur II

Soit une fonction continue et convexe sur l'intervalle [,]. On se donne les valeurs suivantes de pour les valeurs : de pour allant de 0 à .
Donner la meilleure majoration de possible à partir de ces valeurs en utilisant la méthode des trapèzes :
Pour information :
On donnera le résultat avec 3 décimales.

En effet, la méthode des trapèzes permet d'approcher l'intégrale de la fonction par .

On se donne maintenant les valeurs suivantes de f aux points pour allant de 0 à .
f(x)
Donner le minorant de obtenu à partir de ces valeurs en utilisant la méthode des points médians (on donnera le résultat avec 3 décimales):
Pour information :

Ainsi, la méthode des trapèzes permet d'approcher l'intégrale de la fonction par , la méthode des points médians par .
La fonction est définie par .
Calculer, pour chacune des deux méthodes, l'erreur (par excès) commise en approchant l'intégrale par (trapèzes) ou (points médians).
On donnera le résultat avec un chiffre significatif par exemple 0.005.
Par la méthode des trapèzes, l'erreur relative est de : .
Par la méthode des points médians, l'erreur relative est de : .
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