DOC Polygones convexes réguliers

Sommaire

Ce document rédigé pour les étudiants de la licence scientifique générale (L3 pour des futurs professeurs des écoles à l'université Paris-Sud) accompagne une partie du cours de géométrie basé sur l'ouvrage de Daniel Perrin : Mathématiques d'école : nombres, mesures et géométrie publié par Editions Cassini (402 p. ISBN 978-2-84225-158-1) . On y fait référence par ME.

ME exercice 187, 185 renvoie à l'exercice 187 de la nouvelle édition, 185 de la première. De même pour les pages ou les propositions.
ME VI.1. renvoie à la partie 1 du chapitre 6.

1. Polygones convexes réguliers : Théorème et définition (voir ME V.2.1)
2. Propriétés métriques
3. Polygones constructibles à la règle et au compas , en particulier
   • Construction d'un triangle équilatéral inscrit dans un cercle
   • Construction d'un hexagone régulier
   • Construction d'un pentagone régulier
4. Tronquer un polygone
   Il est question ici de construire un polygone régulier inscrit dans un autre, construction utile pour les polyèdres réguliers.
   • Problèmes , liens avec les polyèdres, résultats généraux, diverses constructions.
   • Cas particuliers
     • Hexagone dans un triangle
     • Octogone dans un carré
     • Décagone dans un pentagone
5. Polygones et aire du disque . Dans cette partie, on utilise des polygones convexes réguliers pour approcher l'aire du disque.
6. Exercices

Théorème et définition

Cette partie revient sur le Théorème - définition [ME.V.2.1] et en donne une démonstration légèrement différente.

Remarque importante

Démonstration du théorème-définition

Remarque importante

Chaque propriété caractéristique d'un polygone régulier est composée de deux affirmations. On ne peut les grouper au hasard.
Par exemple, un rectangle non carré a ses sommets cocycliques et ses angles égaux mais il n'est pas régulier (ses côtés ne sont pas égaux). Un losange non carré a ses côtés égaux et les angles en son centre égaux mais il n'est pas régulier (ses sommets ne sont pas cocycliques).

Démonstration du théorème-définition

Pour revoir l'énoncé du théorème, cliquer sur sup.

Démonstration de "(1) implique (2)"

Figure 1 : Cette figure présente la démonstration de "(1) implique (2)" par étape. ( Version imprimable de la figure 1 )

Soit un polygone convexe dont les côtés et les angles sont égaux. Considérons trois sommets $A$, $B$ et $C$. On va montrer que le sommet suivant $D$ est sur le cercle circonscrit à $\mathrm{ABC}$.

• Commençons par placer $D$ avec les conditions $\mathrm{CD}=\mathrm{CB}$ et $\widehat{\mathrm{BCD}}=\widehat{\mathrm{ABC}}$. Deux positions $D$ et $D\prime$ sont possibles avec ces seules conditions. Or, comme le polygone est convexe, le point $D$ doit être du même côté de $(\mathrm{BC})$ que $A$, donc une seule position est possible.
• Soit $O$ le centre du cercle circonscrit à $\mathrm{ABC}$, on a alors : $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$. De plus par hypothèse, les côtés $[\mathrm{AB}]$ et $[\mathrm{BC}]$ ont même longueur, les triangles $\mathrm{AOB}$ et $\mathrm{BOC}$ sont donc isocèles et isométriques par le 3ème cas.
• On en déduit l'égalité des angles à la base des triangles : $\widehat{\mathrm{OAB}}=\widehat{\mathrm{ABO}}=\widehat{\mathrm{OBC}}=\widehat{\mathrm{BCO}}=\widehat{\mathrm{ABC}}/2$ et comme $\widehat{\mathrm{BCD}}$ et $\widehat{\mathrm{ABC}}$ sont égaux, on a aussi : $\widehat{\mathrm{OBC}}=\widehat{\mathrm{OCD}}$ par relation de Chasles.
• Alors $\mathrm{OBC}$ et $\mathrm{OCD}$ sont isométriques par le premier cas. On rappelle que, par hypothèse, les côtés $[\mathrm{BC}]$ et $[\mathrm{CD}]$ ont même longueur. On en déduit l'égalité : $\mathrm{OC}=\mathrm{CD}$ donc $D$ appartient au cercle circonscrit à $\mathrm{ABC}$.

On a montré que quatre sommets consécutifs sont cocycliques ; par récurrence, on montre que tous les sommets sont cocycliques.

Figure 2 : Figure pour la suite. ( Version imprimable de la figure 2 )

Démonstration de "(2) implique (3)"

Si on suppose que tous les sommets sont cocycliques sur un cercle de centre $O$ et les côtés égaux, alors les triangles $\mathrm{AOB}$ et $\mathrm{BOC}$ sont isométriques par le 3ème cas donc les angles au centre $\widehat{\mathrm{AOB}}$ et $\widehat{\mathrm{BOC}}$ sont égaux ; on a montré "(2) implique (3)".

Démonstration de "(3) implique (1)"

Si on suppose que tous les sommets sont cocycliques sur un cercle de centre $O$ et les angles au centre égaux, alors les triangles $\mathrm{AOB}$, $\mathrm{BOC}$ et $\mathrm{COD}$ sont isocèles et isométriques par le premier cas donc les angles $\widehat{\mathrm{BCD}}$ et $\widehat{\mathrm{ABC}}$ sont égaux ; on a montré "(3) implique (1)".

Version imprimable de la figure 1

Figure 2

Cette figure illustre la démonstration de "2 implique 3" et "3 implique 1". Dans chaque cas, les points sont cocycliques par hypothèse.
Cochez les cases correspondant aux propriétés que vous supposez vraies et utilisez un cas d'isométrie pour démontrer les autres.

Version imprimable de la figure 2

Propriétés métriques

Les propriétés métriques d'un polygone régulier sont utiles pour les constructions à la règle et au compas et la troncature.

La démonstration repose sur la définition d'un polygone régulier pour (1) et (2), et sur les relations trigonométriques dans le triangle rectangle $O{M}_i{A}_i$ pour la suite.

Polygones constructibles à la règle et au compas

Cette partie présente un résumé des résultats concernant la construction à la règle et au compas des polygones convexes réguliers (problème qui agitait déjà les mathématiciens grecs). A quoi cela sert-il ?

Résultats généraux

• [ME VI introduction] : Historique
• [ME VI.1.a] : Principes de la construction à la règle et au compas,
• [ME VI.2.i] : Résultats généraux concernant la construction des polygones, en particulier 2.20 et 2.21.

Polygones à $n$ côtés ( $n\le 20$)

• Triangle équilatéral
  • Etant donné deux points $A$ et $B$, les points $C$ tel que $\mathrm{ABC}$ soit équilatéral sont les points d'intersection des cercles centrés en $A$ et $B$ et de rayon $\mathrm{AB}$.
  • Construction dans un cercle.
    Soit un cercle de centre $O$. On se donne $A$ un point de et on note $A\prime$ son symétrique par rapport à $O$ c’est-à-dire que $[\mathrm{AA}\prime ]$ est un diamètre de . On cherche à construire un triangle équilatéral $\mathrm{ABC}$ inscrit dans .

    

    Analyse : Le triangle $\mathrm{ABC}$ est équilatéral si et seulement si ses angles au centre $\widehat{\mathrm{AOB}}$ et $\widehat{\mathrm{AOC}}$ valent ${120}^{\circ }$ si et seulement si les triangles $A\prime \mathrm{OB}$ et $A\prime \mathrm{OC}$ sont équilatéraux (triangles isocèles avec un angle de ${60}^{\circ }$). Les longueurs $A\prime B$ et $A\prime C$ sont donc égales à $A\prime O$.
    Construction : Les points $B$ et $C$ sont les intersections de et de $𝒞(A\prime ,A\prime O)$. La construction est faite en 3 pas à partir de et $A$.

• Carré
• Pentagone : constructible (voir [ME VI.2.j]) et variantes de la construction.
• Hexagone : constructible
  Soit un cercle de centre $O$. On se donne $A$ un point de et on note $A\prime$ son symétrique par rapport à $O$ c'est-à-dire que $[\mathrm{AA}\prime ]$ est un diamètre de . On cherche à construire un hexagone régulier $\mathrm{ABCDEF}$ inscrit dans .

  

  Analyse : D’après la formule du cours, le côté d’un hexagone régulier $\mathrm{ABCDEF}$ inscrit dans a pour longueur $\mathrm{OA}$. Ce résultat se montre directement en remarquant que le triangle $\mathrm{AOB}$ est isocèle avec un angle $\widehat{\mathrm{AOB}}$ de ${60}^{\circ }$ (angle au centre d’un hexagone régulier).
  Construction : Le point $D$ est confondu avec $A\prime$ (l'angle $\widehat{\mathrm{AOD}}$ vaut ${180}^{\circ }$ .) Les points $B$ et $F$ sont les intersections de et de $𝒞(A,\mathrm{AO})$. Les points $C$ et $E$ sont les intersections de et de $𝒞(D,\mathrm{DO}).$ La construction est faite en 5 pas à partir de et $A$.

  L'avantage de cette construction est de minimiser les erreurs de report et de proposer une figure symétrique par rapport à $(\mathrm{AD})$.

• Heptagone : Une construction approchée est proposée dans [ME exercice 176, 175]. L'impossibilité de la construction à la règle et au compas de l'heptagone est l'objet de [ME exercice 187, 185].
• Octogone : constructible à partir d'un carré inscrit dans un cercle et de bissectrices
• Ennéagone ou nonagone : non constructible (voir [ME exercice 186, 184]), construction approchée (voir [ME exercice 180, 178]).
• Décagone : constructible à partir du pentagone et de bissectrices
• Polygone à 11 côtés : non constructible
• Dodécagone : construction avec des bissectrices dans un hexagone (voir aussi [ME exercice 157, 155]).
• Polygone à 13 côtés : non constructible
• Polygone à 14 côtés : non constructible
• Polygone à 15 côtés : construction à partir du triangle équilatéral et du pentagone régulier inscrits dans un cercle (voir [ME exercice 172, 170]).
• Polygone à 16 côtés : construction à partir d'un octogone inscrit dans un cercle et de bissectrices
• Polygone à 17 côtés : constructible
• Polygones à 18 et 19 côtés : non constructibles
• Icosagone : constructible à partir du décagone et de bissectrices

Construction d'un pentagone régulier

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Il existe de nombreuses autres constructions que celles proposées ici. Mais toutes reposent sur la construction du nombre $\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}$ puisque l'angle au centre du pentagone régulier est ${\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$.

Préliminaires

Soient un cercle de centre $O$, $[\mathrm{AA}\prime ]$ un diamètre de et $P$ un point du cercle tel que $(\mathrm{OP})$ soit perpendiculaire à $(\mathrm{AA}\prime )$. On note $H$ le milieu de $[A\prime O]$. Le triangle $\mathrm{HOP}$ rectangle en $O$ a pour hypothénuse $[\mathrm{HP}]$ de longueur $\sqrt{5}/2$. Alors le cercle de centre $H$ passant par $P$ rencontre $[\mathrm{OA}]$ en $Q$ tel que $\mathrm{HQ}=\sqrt{5}/2$ donc $\mathrm{OQ}$ vaut ${\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}$.

Première construction

On renvoie à [ME.VI.2.j] pour le calcul de $\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$ et une première construction du pentagone régulier.

Deuxième construction

"

Analyse : Le point $I$ tel que $\mathrm{OI}=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$ est donc le milieu de $[\mathrm{OQ}]$. Les points $B$ et $E$ sont les points d'intersection de et de la médiatrice de $[\mathrm{OQ}]$.

Construction : Etant donné le cercle et le point $A$, on construit $A\prime$, l'autre intersection de $(\mathrm{OA})$ avec , puis $P$ comme l'une des intersections de la médiatrice de $[\mathrm{AA}\prime ]$ et de , puis le milieu $H$ de $[A\prime O]$, $Q$ intersection du cercle de centre $H$ passant par $P$ et de $[\mathrm{OA})$. Pour finir les intersections de la médiatrice de $[\mathrm{OQ}]$ avec le cercle sont les sommets $B$ et $E$. Les sommets $C$ et $D$ s'obtiennent à l'aide des cercles centrés en $B$ et $E$ de rayon $\mathrm{AB}$.

Troisième construction

Analyse : Comme $B$ est sur la médiatrice de $[\mathrm{OQ}]$, le triangle $\mathrm{OBQ}$ est isocèle, donc $\widehat{\mathrm{OQB}}$ égale l'angle au centre $\widehat{\mathrm{AOB}}$ du pentagone soit $2\pi /5$. L'angle inscrit $\widehat{\mathrm{AA}\prime B}$ vaut $\pi /5$ comme moitié de l'angle au centre $\widehat{\mathrm{AOB}}$ (ou bien par le calcul de la somme des angles dans le triangle isocèle $A\prime \mathrm{OB}$). Le triangle $\mathrm{AA}\prime B$ est donc isocèle car ses angles à la base sont égaux (la somme des angles d'un triangle vaut ). On en déduit que le cercle de centre $A\prime$ passant par $Q$ coupe en $B$ et $E$.

Construction : Etant donné le cercle et le point $A$, on construit $A\prime$, la médiatrice de $[\mathrm{AA}\prime ]$ pour obtenir $P$, le milieu $H$ de $[A\prime O]$, puis le cercle de centre $H$ passant par $P$ pour obtenir $Q$ et le cercle de centre $A\prime$ passant par $Q$ qui donne $B$ et $E$ par intersection avec le cercle . Les sommets $C$ et $D$ s'obtiennent en reportant la longueur $\mathrm{AB}$.

Tronquer un polygone

Problèmes

1. Soit un polygone régulier $𝒬$ à $n$ côtés, le polyèdre $𝒫$ dont les sommets sont les milieux des côtés de $𝒬$ est encore un polygone régulier à $n$ côtés.
2. Le but de cette partie est de construire un polygone régulier $𝒬\prime$ à $2n$ côtés dont les sommets sont sur les côtés de $𝒬$.
   • Si $n$ égale 3, c'est facile, il suffit de prendre les sommets de l'hexagone au tiers des côtés du triangle équilatéral (voir Hexagone dans un triangle ).
   • Quand $n$ égale 4, ce n'est plus si simple mais c'est encore facile (voir Octogone dans un carré ).

Ces questions surgissent dans la construction des polyèdres archimédiens rectifiés ou tronqués (voir Doc Polyèdres convexes semi-réguliers ).

Premières propriétés

On note $A$, $B$, $C$, ... les sommets de $𝒬$ et $A\prime$, $B\prime$, $C\prime$ ... ceux de $𝒬\prime$, $M$ le milieu de $[\mathrm{AB}]$, $N$ celui de $[\mathrm{BC}]$. Commençons par deux remarques importantes :

1. Les polygones $𝒬$ et $𝒬\prime$ ont le même cercle inscrit, en effet un côté sur deux de $𝒬\prime$ est porté par un côté de $𝒬$. On notera $O$ le centre commun des deux polygones.
2. Si on a construit un sommet $A\prime$ de $𝒬\prime$, on obtient les autres sommets de $𝒬\prime$ comme intersections du cercle de centre $O$ passant par $A\prime$ avec les côtés de $𝒬.$

Constructions

Au moins trois constructions du sommet $A\prime$ sont possibles.

1. avec les longueurs
2. avec une bissectrice
3. avec un second polygone (en particulier Construction d'un décagone régulier dans un pentagone )

Construction d'un hexagone régulier dans un triangle équilatéral

Construction d'un octogone régulier dans un carré

Dans le cas $n=4$, les formules donnent $c\prime =(\sqrt{2}-1)c$ et $d={\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{2}}c$. On peut aussi calculer ces valeurs directement en utilisant les relations : $c=2d+c\prime$ et $c\prime ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}c}{2}}$ (obtenue dans le triangle isocèle rectangle $A_1{\mathrm{AA}}_2$). Ces valeurs nous assurent que les côtés de l'octogone ont même longueur. L'égalité des angles est évidente puisque les triangles "aux coins" du carré sont isocèles rectangles.
Construction : Comme $c\prime +d$ vaut ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}c}{2}}$, on construit le point $B_1$ comme intersection de $[\mathrm{AB}]$ et du cercle centré en $A$ et passant par $O$. Les autres sommets sont sur le cercle de centre $O$ passant par $B_1$.

Longueur de l'arête de Q'

Analyse

Soit un polygone régulier $𝒬$ à $n$ côtés, supposons qu'on ait construit un polygone régulier $𝒬\prime$ à $2n$ côtés dont les sommets sont sur les côtés de $𝒬$. La distance $d$ entre un sommet de $𝒬$ et un sommet voisin de $𝒬\prime$ dépend de la valeur de $n$. Grâces aux Propriétés métriques , nous pouvons montrer le résultat général suivant :

Démonstration : Dans un polygone régulier à $n$ côtés dont le côté a pour longueur $c$, on note $R$ le rayon du cercle circonscrit et $r$ le rayon du cercle inscrit. On a : $c=2R\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{n}}\right)$ et $r=R\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{n}}\right)$. On en déduit : (*) $c=2r\tan \left({\displaystyle \frac{\pi }{n}}\right)$. Les polygones $𝒬$ et $𝒬\prime$ inscrit dans $𝒬$ ont même cercle inscrit. La relation entre $c$ et $c\prime$ se déduit de (*) appliquée pour chacun des polygones et de quelques formules de trigonométrie.

Exemples : Pour $n=3$, la distance $d$ vaut ${\displaystyle \frac{c}{3}}$, pour $n=4$, elle vaut ${\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{2}}c$.

Synthèse

Soit $A\prime$ placé sur $[\mathrm{AB}]$ à la distance $d$ du sommet $A$ de $𝒬$. On doit montrer que les points d'intersection du cercle de centre $O$ passant par $A\prime$ et des côtés de $𝒬$ sont bien les sommets d'un polyèdre régulier. Ils sont cocycliques par construction, il suffit de montrer que tous les côtés de $𝒬\prime$ ont même longueur. Par construction et symétrie, les côtés de $𝒬\prime$ portés par ceux de de $𝒬$ ont pour longueur $c\prime$. On conclut en considérant des triangles isocèles et en utilisant des formules métriques dans ces triangles.

La synthèse est plus simple pour les cas particuliers qui nous intéressent :

• Synthèse dans le cas $n=3$.
• Calcul de la longueur et construction directe dans le cas $n=4$.

Construction avec une bissectrice

Construction à l'aide d'un second polygone

Le polygone $𝒬$ est inscrit dans un cercle $𝒞$ de centre $O$, on considère le polygone $𝒬″$ image de $𝒬$ par rotation de centre $O$ et d'angle ${\displaystyle \frac{\pi }{n}}$. Les sommets de $𝒬$ et $𝒬″$ sont ceux d'un polygone régulier à $2n$ côtés inscrit dans $𝒞$. On peut alors montrer que l'intersection de $𝒬$ et $𝒬″$ est un polygone régulier $𝒬\prime$ à $2n$ côtés portés alternativement par ceux de $𝒬$ et ceux de $𝒬″$.
Démonstration dans le cas $n=5$

La méthode décrite ici s'applique à tous les cas et est particulièrement rapide quand $n$ est impair. En effet les sommets de $𝒬″$ sont dans ce cas les symétriques par rapport à $O$ des sommets de $𝒬$.

Construction d'un décagone régulier dans un pentagone

Soit $\mathrm{ABCDE}$ un pentagone régulier inscrit dans un cercle de centre $O$. Soit $\mathrm{AA}\prime \mathrm{BB}\prime \mathrm{CC}\prime \mathrm{DD}\prime \mathrm{EE}\prime$ le décagone régulier inscrit dans le même cercle ( On rappelle que $A\prime$ est l'autre intersection de $(\mathrm{OD})$ avec etc... ).

Polygones et aire du disque

Cette partie propose des figures pour illustrer le cours longueur du cercle, aire du disque. Le contenu de ce cours se trouve en [ME. VII.4].

1. Longueur d'une courbe
2. Longueur d'un cercle
3. Encadrement de l'aire d'un disque
4. Polygones homothétiques
5. Aire d'un disque et Démonstrations approchées de la formule de l'aire d'un disque
6. Aire d'un secteur circulaire

Longueur d'une courbe

Sur la figure, la ligne verte est plus courte que la ligne rouge elle-même plus courte que la courbe noire entre $A$ et $G$.

D'autres comparaisons trompeuses :

• Des courbes de même longueur
• Une courbe entourée par une autre plus courte

Comparaison de longueur de courbes

Les courbes bleues, rouges et vertes ont toutes même longueur que le demi-cercle.

Comparaison de longueur de courbes (suite)

Il est bien sûr possible de tracer dans un disque une courbe de longueur supérieure à la longueur du cercle frontière. Sur cette figure, sont affichés la longueur du diamètre du cercle et le périmètre de l'étoile.

Longueur d'un cercle

Comment calculer une valeur approchée de ?

On en déduit :

• La longueur (ou circonférence) d'un cercle de rayon R est égale à $2\pi R$.
• La longueur de l'arc de cercle intercepté sur un cercle de centre $O$ et de rayon R par un secteur de sommet $O$ et d'angle est égale à $\theta R$

Valeur approchée de π

Pour calculer une valeur approchée de , Archimède a utilisé le périmètre $p_n$ d'un polygone convexe régulier à $n$ côtés inscrit dans un cercle de rayon 1. En effet par définition de la longueur d'une courbe , la limite de $p_n$ quand $n$ tend vers l'infini est $2\pi$ et pour tout $n$, $p_n$ est inférieur à $2\pi$. [ME VII.4.5]

Exemples :
Pour $n=6$ (hexagone bleu), on obtient l'inégalité $\pi >3$.
Pour $n=12$ (dodécagone rouge), l'approximation est bien meilleure : $\pi >3,10$.

Encadrement de l'aire d'un disque

Par additivité de l'aire, l'aire d'un disque $D$ de frontière $\Gamma$ est supérieure à l'aire d'un polygone $P$ inscrit dans le cercle $\Gamma$ et inférieure à l'aire d'un polygone $Q$ dont $\Gamma$ est le cercle inscrit.

Dans notre exemple, si le rayon $R$ de $\Gamma$ est égal à 1, on obtient :

$\mathrm{Aire}(\mathrm{Hexagone})<\mathrm{Aire}(\mathrm{Disque})<\mathrm{Aire}$(Carré)
${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}<\mathrm{Aire}(D)<4$

Polygones homothétiques

Soit $P_n$ un polygone convexe régulier à $n$ côtés inscrit dans un cercle $\Gamma$ de rayon $R$. On note $r_n$ son apothème. On transforme $P_n$ par l'homothétie $h$ de rapport ${\displaystyle \frac{R}{r_n}}$. Cette homothétie $h$ envoie le milieu $M$ de côté $[\mathrm{AB}]$ sur un point $M\prime$ du cercle en effet, de $\mathrm{OM}=r_n$, on déduit $\mathrm{OM}\prime =R$.

L'homothétie $h$ transforme $P_n$ en un polygone convexe régulier à $n$ côtés, appelé $Q_n$. Comme l'apothème de $Q_n$ est $R=\mathrm{OM}\prime$, le cercle $\Gamma$ est inscrit dans $Q$. Par homogénéité des aires, on a : $\mathrm{Aire}(Q_n)={\left({\displaystyle \frac{R}{r_n}}\right)}^2\mathrm{Aire}(P_n)$

Aire d'un disque

Démonstration : voir [ME page 234, 229].
Version imprimable de la figure de l'aire du disque

Lien vers des Démonstrations approchées de la formule de l'aire d'un disque

Réglez le rayon $r$ et le nombre de côtés $n$ pour que la figure reste lisible.

Version imprimable de la figure de l'aire du disque