OEF Le problème des vases --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 5 exercices sur un problème de modélisation par les graphes. Les exercices sont progressifs dans la compréhension du problème.

Les trois vases I (étude préliminaire)

Lisez d'abord les .

On dispose de trois vases , et contenant chacun un nombre entier de litres. Au départ, litres se trouvent répartis dans l'ensemble de ces trois vases, à raison d'un nombre entier de litres dans chacun. On ne dispose d'aucun instrument de mesure et pourtant on désirerait répartir autrement le liquide dans les trois vases. Les seules opérations possibles sont les suivantes :

  • vider complètement un vase dans un autre
  • remplir complètement un vase avec le contenu (partiel ou non) d'un autre
Dans cet exercice, on va commencer à mettre en forme le problème. Il sera résolu dans d'autres exercices

On représente les différentes possibilités de contenu des trois vases par les points de l'intérieur du triangle équilatéral de hauteur dessiné à droite tels que les distances de ces points aux côtés du triangle soient entières ou encore par les points dont les dans le repère , normalisées pour que la somme des coefficients soit égale à , sont entières. ( ).

Le point jaune sur la figure indique que le vase contient litres, que le vase contient litres et que le vase contient litres. Si l'on vide le vase dans le vase , le point atteint est de coordonnées barycentriques . Si on suit une ligne parallèle à , le vase auquel on ne touche pas est le vase .

Les trois vases II (graphe)

On dispose de litres de liquide répartis dans trois vases , et . Le vase est de contenance maximale litres, le vase de contenance maximale litres et le vase de contenance maximale litres. Les opérations possibles sont les suivantes :
  • vider complètement un vase dans un autre ;
  • remplir complètement un vase avec le contenu (partiel ou non) d'un autre.
Compte-tenu des contraintes de capacités, les points pouvant être atteints par transvasement successifs sont les points d'un polygone. Cliquer sur ces points. Les points du bord ont été numérotés. Ils forment les sommets d'un graphe. Une arête du graphe correspond à une opération de transvasement selon les règles ci-dessus. Par exemple, cliquer les points sur lequels on peut aller en une seule opération à partir du point numéro :

Les trois vases III (matrice du graphe)

On dispose de litres de liquide répartis dans trois vases , et . Le vase est de contenance maximale litres, le vase de contenance maximale litres et le vase de contenance maximale litres. Les opérations possibles sont les suivantes :
  • vider complètement un vase dans un autre ;
  • remplir complètement un vase avec le contenu (partiel ou non) d'un autre.
Compte-tenu des contraintes de capacités, les points pouvant être atteints par transvasement successifs sont les points d'un polygone. Cliquer sur ces points. Les points du bord ont été numérotés. Ils forment les sommets d'un graphe. Une arête du graphe correspond à une opération de transvasement selon les règles ci-dessus. Donner la matrice du graphe :

Les trois vases IV (résolution)

On dispose d'un vase de contenance litres, d'un vase de contenance litres et d'un vase de contenance litres. Au départ, le vase est vide, contient litre litres litres, le vase est vide contient litre litres et le vase est vide. contient litre litres . On voudrait partager ces litres de manière à ce que soit vide, contienne litre litres , que le vase soit vide contienne litre litres et que le vase soit vide. contienne litre litres litres.
Mais on ne dispose d'aucun moyen de mesures. Les seules opérations possibles sont
  • vider complètement un vase dans un autre ;
  • remplir complètement un vase avec le contenu (partiel ou non) d'un autre.
Peut-on le faire et quels seront les transvasements successifs possibles ?

On représente les différentes possibilités de contenu des trois vases par leurs coordonnées dans le triangle équilatéral dessiné de hauteur . [ ]

Les contraintes données définissent un domaine dans le triangle. Combien de points y a-t-il sur le bord de ce domaine ?
Voici le domaine des contraintes. Et voici la liste des points du bord numérotés :
Vous devez maintenant indiquer quels transvasements doivent être faits pour résoudre le problème et bien sûr en en faisant le moins possible. Pour cela, indiquez la liste des numéros des points où vous devez passer. S'il n'en existe pas, donner simplement le numéro du point d'arrivée.

Les trois vases V (composante connexe)

On dispose de litres d'eau répartis dans trois vases , et . Le vase est de contenance maximale litres, le vase de contenance maximale litres et le vase de contenance maximale litres. Les seules opérations possibles sont les suivantes
  • vider complètement un vase dans un autre ;
  • remplir complètement un vase avec le contenu (partiel ou non) d'un autre ;
Si le vase est vide, contient litre litres , si le vase est vide contient litre litres et si le vase est vide, contient litres, quels points peut-on atteindre ? (on donnera leur numéro).

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