Raisonnements

Objectifs

Ce module est consacré au langage et au raisonnement en mathématiques ainsi qu'à la théorie des ensembles. Son objectif essentiel est que de donner tout son sens à une proposition écrite avec des symboles mathématiques et d'apprendre à les utiliser avec précision (et non comme des abréviations).

Documents

F. Liret et D. Martinais, Mathématiques pour le DEUG, Algèbre 1ère Année (Dunod), chapitre 1
A. Auzimour et F. Petit, Travaux dirigés d'algèbre (Vuibert)
A. Denmat et F. Héaulme, Algèbre générale (Dunod), td 1

Guide

Outils de base

Assertions
Connecteurs
Quantificateurs
Implication
Condition nécessaire, condition suffisante
Contraposée

Assertions

Il est jaune est une assertion incomplète, je ne pourrai jamais décider si elle est fausse ou vraie.
Une assertion est une affirmation à laquelle on peut attribuer la valeur vraie ou fausse.
Le stylo de Marianne est noir est par contre une assertion au moins s'il n'y a qu'une seule Marianne et qu'elle n'a qu'un seul stylo.
$x$ est plus grand que $y$ est une assertion incomplète.
Soit $x$ un homme, il est brun ou Tous les hommes sont bruns sont des assertions.
$n^{2} \geq 4$ est une assertion incomplète.
Tous les entiers naturels vérifient $n^{2} \geq 4$ est une assertion (fausse mais une assertion quand même !)
$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 0$ n'est pas une assertion complète. En tout cas, elle dépend du contexte dans lequel on se trouve.

Cependant, tous les exemples qui précèdent et qui sont pris dans le langage courant peuvent être sujet à caution, ils servent juste à faire le passage avec les mathématiques. Et même en mathématiques, on fait souvent ce qu'on appelle des abus de langage. Une autre différence entre la vie courante et les mathématiques est la suivante : une des règles du jeu mathématique est que ce qui n'est pas affirmé comme vrai ne doit pas être utilisé. Il n'y a donc pas de sous-entendu comme dans la vie courante. Par exemple, l'affirmation Les filles de ce cours sont excellentes ne dit ni ne prétend rien sur le niveau des garçons comparativement.

Connecteurs

Les connecteurs et et ou sont liés à l'intersection et à la réunion des ensembles et la négation est liée au complémentaire d'un ensemble

Si \calP est une assertion, non \calP est l'assertion qui est vraie si \calP est fausse et fausse si \calP est vraie. Remarquez que cette définition contient la règle du tiers exclu : Une assertion \calP est vraie ou fausse.

Ce sont des moyens de produire une nouvelle assertion à partir de deux autres : par exemple

<----->

X \cap Y

est l'ensemble des éléments qui appartiennent à

X

et à

Y

<----->

X \cup Y

est l'ensemble des éléments qui appartiennent à

X

ou à

Y

non

<----->

^{c} X

est l'ensemble des éléments qui n' appartiennent pas à

X

Quantificateurs

Les quantificateurs sont

quelquesoit noté $\forall$
il existe noté $\exists$ .

Les notions de limite et de continuité sont définies par des énoncés mathématiques utilisant des quantificateurs. Pour bien comprendre ces notions, il est important que le sens et l'usage de ces quantificateurs soient maîtrisés déjà dans les situations simples qui sont proposées ici.

Exercice : Le langage courant utilise tout le temps des quantificateurs. Essayez de les détecter et donnez la négation des assertions qui les utilisent dans l'exercice Négation .

Exercice : Écrire à l'aide de quantificateurs les phrases suivantes

: tous les guichets sont fermés certains jours
calQ

: certains jours tous les guichets sont fermés

Ecrire leur négation en langage courant et avec des quantificateurs.
Solution

(P) tous les guichets sont fermés certains jours :

\forall g \in G, \exists j \in J, g est fermé le jour j

(Q) certains jours tous les guichets sont fermés :

\exists j \in J \forall g \in G, g est fermé le jour j

(non P ): certains guichets sont ouverts tous les jours :

\exists g \in G, \forall j \in J, g est ouvert le jour j

(non Q ): tous les jours, il y a un guichet d'ouvert :

\forall j \in J \exists g \in G, g est ouvert le jour j

Vous pouvez remarquer que c'est plutôt plus simple mathématiquement : on remplace

\exists

par

\forall

, on remplace

\forall

par

\exists

et on remplace g est fermé par sa négation qui est ici g est ouvert

Exercice : On note

P

l'ensemble des portes d'un lycée qui sont munies d'une serrure et

C

l'ensemble des clés que possède le concierge de ce lycée. Quel est le sens en français courant et concret des assertions mathématiques suivantes :

$p$ $P$ $c$ $C$ , $c$ ouvre $p$

Le concierge possède une clé pour chacune des portes.
$c$ $C$ $p$ $P$ , $c$ ouvre $p$

Le concierge possède un passe-partout qui ouvre toutes les portes

Implication

Il est important de bien connaître le sens du symbole

, c'est-à-dire de l' implication

Si P et Q sont deux propriétés (assertions), P

\Rightarrow

Q (qui se lit P implique Q ) est la propriété non P ou Q.

En particulier, calP

peut être vraie ou faux, il s'agit d'une assertion. Cependant, par abus de langage, il arrive à tout le monde de dire "On a calP

" ou pire, " si calP

, alors ...."

Condition nécessaire, condition suffisante

Quelques rappels sur conditions nécessaire, condition suffisante :

sont des propriétés (assertions),

est une condition nécessaire de si est vraie lorsque est vraie
est une condition suffisante de si est vraie lorsque est vraie

Dans le langage courant, condition nécessaire, condition suffisante, condition nécessaire et suffisante peuvent se dire d'autres manières en utilisant les mots si , seulement si...

Exercice sur la notion de condition nécessaire et condition suffisante .

Contraposée

Contraposée
Contraposée et réciproque
Contraposée et réciproque : pièges de la vie courante

Contraposée

La contraposée de l'implication P

\Rightarrow

Q est l'implication non Q

\Rightarrow

non P . C'est une assertion équivalente à l'implication. Pour démontrer qu'une implication est vraie, il suffit de démontrer que sa contraposée implication l'est. Il arrive souvent que la propriété contraposée soit plus "évidente'' à l'intuition que la propriété elle même. Par exemple : Pour montrer que l'implication

ab \neq 0 \Rightarrow a \neq 0 et b \neq 0

est vraie , il suffit de vérifier que

a = 0 b = 0 \Rightarrow ab = 0

est vraie, ce qui est évident.
L'étude de la contraposée peut aussi éclairer l'affirmation suivante:

si P est fausse, alors P

\Rightarrow Q

est vraie.

En effet on admet plus facilement que si P est fausse, c'est-à-dire si non P est vraie, la contraposée non Q $\Rightarrow$ non P est vraie, puisque non P est vraie.
Une implication et sa contraposée ont donc même valeur de vérité.

Contraposée et réciproque

Il ne faut pas confondre la contraposée d'une implication avec l' implication réciproque :

La réciproque de l'implication

𝒫 \Rightarrow 𝒬

est l'implication

𝒬 \Rightarrow 𝒫

(il s'agit donc d'une autre assertion)

Donnons un exemple en langage courant :

S'il pleut, le sol est mouillé

a pour contraposée :

si le sol n'est pas mouillé, il ne pleut pas

énoncé plus couramment

le sol est sec, donc il ne pleut pas.

Ces deux implications sont vraies et équivalentes. La réciproque est :

si le sol est mouillé, il pleut.

Cette implication est fausse, le sol peut être mouillé par le passage du camion municipal de nettoyage ou bien par de la neige qui a fondu.

Exercice sur les contraposées et réciproques dans le langage courant.

Attention quand même aux pièges de la vie courante !

Exercice sur les contraposées et réciproques en mathématiques.

Contraposée et réciproque : pièges de la vie courante

Et en fait dans la vie courante de même que ce qui n'est pas dit est souvent sous-entendu, on confond très souvent contraposée et réciproque : par exemple, si on vous dit

si tu es sage ce matin, tu auras du chocolat cet après-midi

la contraposée est

Si tu n'as pas de chocolat cet après-midi, tu n'as pas été sage ce matin

et la réciproque

Si tu as du chocolat cet après-midi, tu as été sage ce matin.

Enfin, la contraposée de la réciproque est

Si tu n'est pas sage ce matin, tu n'auras pas de chocolat cet après-midi.

Ce qui n'est pas équivalent à la première phrase. Mais c'est en général cette dernière affirmation qui est dans la tête de celui qui prononce la première (en appliquant des principes d'éducation positive !)

Règles de raisonnement

Il y a trois règles (principes) suivants qui s'appliquent tout le temps :

si P est vraie et P Q vraie, alors l'assertion Q est vraie.
Cette règle est en fait une définition de ce que signifie qu'une implication est vraie. On l'emploie tout le temps sans même s'en rendre compte.
Exemple
Considérons la fonction $f$ définie sur par $f (x) = x^{3} + 1$ . L'implication
$f$ est dérivable sur $f$ est continue sur
est vraie. Comme $f$ est dérivable sur , $f$ est continue sur .
Si P est vraie, si P Q vraie, si Q R est vraie, alors R est vraie.
C'est ce qu'on appelle un syllogisme.
Raisonnement par dichotomie ou séparation des cas : on essaye un cas puis l'autre. Le raisonnement par séparation des cas consiste à énumérer les cas possibles. Exemple
Exercice : Trois frères Alfred, Bernard et Claude ont des crayons de couleur différente bleu, rouge et vert. De plus, les assertions suivantes sont vraies :
1. Si le crayon d'Alfred est vert, alors le crayon de Bernard est bleu ;
2. Si le crayon d'Alfred est bleu, alors le crayon de Bernard est rouge ;
3. Si le crayon de Bernard n'est pas vert, alors le crayon de Claude est bleu
4. Si le crayon de Claude est rouge, alors le crayon d'Alfred est bleu.
Que peut-on conclure sur la couleur respective des crayons d'Alfred, Bernard et Claude? Y a-t-il plusieurs possibilités ?

Aide : Faites l'hypothèse que le crayon d'Alfred est vert et voyez ce qu'on peut en déduire. Si vous en déduisez que le crayon d'un autre est à la fois de deux couleurs différentes ou que deux des frères ont des crayons de même couleur, c'est que cela n'est pas possible. Faites alors une autre hypothèse.

Solution : Le crayon d'Alfred est rouge, celui de Bernard est vert et celui de Claude est bleu.

Les autres types de raisonnement sont

le raisonnement par récurrence
le raisonnement par l'absurde
le raisonnement par tiers exclu

Raisonnement par l'absurde

Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer le contraire de ce que l'on veut démontrer, puis par des déductions logiques (utilisant l'hypothèse) à aboutir à une absurdité.

Exemple : On veut démontrer que

\sqrt{2}

n'est pas un rationnel. Pour cela, on va supposer que

\sqrt{2}

est rationnel. On écrit

\sqrt{2} = \frac{p}{q}

avec

p

q

des entiers premiers entre eux. On va ensuite déduire de l'équation

q^{2} = 2 p^{2}

que

p

q

sont pairs. Ce qui est en contradiction avec le choix de

p

q

qu'on a fait (ils sont premiers entre eux).

Parfois on traite de raisonnement , par l'absurde, un simple raisonnement utilisant la contraposée. Par exemple,

on veut démontrer que est vraie,
on suppose non ,
on finit par démontrer non et on se dit en contradiction avec mais ne nous a pas servi. Il n'y a donc pas de contradiction mais une simple contraposée.

Raisonnement par disjonction des cas

Pour montrer une propriété par disjonction des cas, on la prouve dans un nombre fini de cas, ces cas couvrant tous les cas possibles.

Exercice : Montrer qu'il existe deux irrationnels

a

b

tels que

a^{b}

soit rationnel.
Aide

Raisonner selon que

{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}

est rationnel ou non.

Solution

Rappelons que

\sqrt{2}

est irrationnel. Soit

{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}

est rationnel, soit il ne l'est pas et alors il est irrationnel.

Si ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ est rationnel, on a fini. Les nombres a= $\sqrt{2}$ et b= $\sqrt{2}$ conviennent.
Sinon les nombres $a = {\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ et $b = \sqrt{2}$ sont irrationnels et $a^{b}$ vaut 2.

Il est peu probable que le premier cas se produise et il ne se produit même pas, mais nous n'avons pas eu besoin de le montrer.

Un scénario de Lewis Carrol

Considérons le problème suivant sachant que chacune des assertions suivantes est vraie :

Ou le malfaiteur est venu en voiture, ou le témoin s'est trompé ;
Si le malfaiteur a un complice, alors il est venu en voiture ;
Le malfaiteur n'avait pas de complice et n'avait pas la clé ou bien le malfaiteur avait un complice et avait la clé ;
Le malfaiteur avait la clé.

Que peut-on en conclure ? Si on remplace la dernière par le malfaiteur n'avait pas la clé, peut-on conclure ?

Un problème

Exercice : Trois frères Alfred, Bernard et Claude ont des crayons de couleur différente bleu, rouge et vert. De plus, les assertions suivantes sont vraies :

Si le crayon d'Alfred est vert, alors le crayon de Bernard est bleu ;
Si le crayon d'Alfred est bleu, alors le crayon de Bernard est rouge ;
Si le crayon de Bernard n'est pas vert, alors le crayon de Claude est bleu
Si le crayon de Claude est rouge, alors le crayon d'Alfred est bleu.

Que peut-on conclure sur la couleur respective des crayons d'Alfred, Bernard et Claude? Y a-t-il plusieurs possibilités ?

Aide : Faites l'hypothèse que le crayon d'Alfred est vert et voyez ce qu'on peut en déduire. Si vous en déduisez que le crayon d'un autre est à la fois de deux couleurs différentes ou que deux des frères ont des crayons de même couleur, c'est que cela n'est pas possible. Faites alors une autre hypothèse.

Solution : Le crayon d'Alfred est rouge, celui de Bernard est vert et celui de Claude est bleu.

une introduction aux raisonnements.
: quantificateur, récurrence, contraposée, équivalence,implication, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

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