Analyse vectorielle

Guide

Motivation
Préliminaires
Champ de vecteurs
Formes différentielles
Intégration le long d'une courbe
Caractérisation des champs de gradients
Théorème de Green-Riemann

Documents

J. Stewart, Analyse, concepts et contextes, vol. 2, DeBoeck Université (2001)

Motivation

f

est une fonction continue d'un intervalle

I = [a, b]

dans

, on définit l'intégrale de

a

b

de la fonction

f

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} f (t) d t

. Il y a deux propriétés de l'intégration que l'on voudrait généraliser lorsqu'on se place dans

ℝ^{2}

ℝ^{3}

Dans le cas où $f$ est positive et $a \leq b$ , on peut interpréter ${\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} f (t) d t$ comme une aire
${\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} f (t) d t$ est l'aire du domaine $D_{f}$ défini par $a \leq x \leq b$ , $0 \leq y \leq f (x)$ :

Ainsi, l'aire du domaine $D_{f}$ limité par le graphe de la fonction $f$ pour $f (x) = x^{2} - x + 1$ et $x$ dans [0.6,2.6] et les segments $O A$ , $O B$ et $B C$ est égale à
${\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0.6}^{2.6} () d t = 0$

On a donc relié l'intégrale d'une fonction à une aire, c'est-à-dire à l'intégrale double $\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{D_{f}} d x d y$ . Cela s'exprimera plus tard comme le théorème de Green :
${\begin{array}{c} \int \end{array}}_{C} (x^{2} - x + 1) d x = \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{D_{f}} d x d y$

.
On a la formule d'intégration fondamentale ${\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b}$ $f' (t) d t = f (b) - f (a)$ .

Préliminaires

On peut voir $ℝ^{n}$ comme un espace vectoriel sur . On appelle alors ses éléments des vecteurs . Prenez le aléatoire ou

On peut additionner des vecteurs ou les multiplier par un scalaire, c'est-à-dire par un réel. On note un élément de $ℝ^{n}$ soit comme un $n$ -uplet $(x_{1}, . . ., x_{n})$ soit on l'écrit dans la base canonique
$e_{1} = (1, 0, 0, . . .), e_{2} = (0, 1, 0, . . .), . . ., e_{n} = (0, . . ., 0, 1)$
par exemple pour $n = 2$ ,

$(x_{1}, x_{2}) = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2}$ .
Pour $n = 2$ et $n = 3$ , il est fréquent que l'on note les vecteurs de la base canonique par $\overset{⇀}{i}, \overset{⇀}{j}$ et $\overset{⇀}{i}, \overset{⇀}{j}, \overset{⇀}{k}$ . Nous utiliserons les trois notations.

Exercice : espace vectoriel : Tir aux vecteurs
On peut voir $ℝ^{n}$ comme un espace affine formé de points .
La notation $M + v$ avec $M$ un point et $v$ un vecteur désigne le point translaté de $M$ par le vecteur $v$ . Ainsi, dans $ℝ^{4}$ , si $M$ est le point (-0.7, -0.6, -1.6, 1.2) et $v$ le vecteur 1.3 e₁ + (0.5 )e₂ + (0.5 )e₃ + (-1.7 )e₄ , $M + v$ est le point (0.6, -0.1, -1.1, -0.5).
Si $N = M + v$ , on note $v = \vec{M N}$ .
Un sous-espace affine est le translaté d'un sous-espace vectoriel (appelé sa direction vectorielle). Par exemple , l'ensemble des points de $ℝ^{2}$ vérifiant $x_{1} + 1.5 x_{2} = 0.2$ est une droite affine. Sa direction vectorielle est d'équation $x_{1} + 1.5 x_{2} = 0$ .

Exercices sur les équations d'un sous-espace affine : Equaffine et Equaffine . Vous pouvez aussi changer la configuration et faire d'autres types d'exercices
L'espace vectoriel $ℝ^{n}$ est muni d'une norme euclidienne et d'un produit scalaire $u \cdot v$ :
si $u = (x_{1}, . . ., x_{n})$ et $v = (y_{1}, . . ., y_{n})$ , alors
$u \cdot v = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}$ .
C'est un espace euclidien .
On peut parler de
- vecteurs orthogonaux
- de longueur d'un vecteur :
  si v= $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} e_{i}$ , ||v||= $\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}$
- de vecteurs unitaires
- de distance d'un point à une droite, à un plan...
- de produit vectoriel
Quelques exercices sur les distances dans l'espace euclidien $ℝ^{3}$ : distance d'une droite à un plan , distance d'un plan à un plan , distance d'un point à un plan I , distance d'un point à un plan II , distance entre deux droites I , distance entre deux droites II .
L'espace affine $ℝ^{n}$ est alors muni d'une distance :
$d (M, N) = ∥ \overset{⇀}{M N} ∥$
et d'une topologie.
Les boules ouvertes ${M \in ℝ^{n} ∣ ∥ A M ∥ < r}$ sont les sous-ensembles de $ℝ^{n}$ de la forme ${M \in ℝ^{n} ∣ ∥ A M ∥ < r}$ pour $A$ un point et $r$ un réel positif.
Un sous-ensemble $𝒰$ de $ℝ^{n}$ est dit ouvert si tout point de $𝒰$ appartient à une boule ouverte contenue dans $𝒰$ . Les boules ouvertes sont des ouverts.
On peut donc définir la continuité d'une fonction d'un ouvert $𝒰$ de $ℝ^{n}$ dans $ℝ^{m}$ .

Exemples : L'ensemble des $(x, y) \in ℝ^{2}$ tels que $0 \leq x < 3$ et $- 1 < y < 1$ n'est pas un ouvert.
regarder le point (0,1/2) par exemple

L'ensemble des $(x, y) \in ℝ^{2}$ tels que $0 < x < 3$ et $- 1 < y < 1$ est un ouvert .

Exercice : topologie ( pas encore)

Champ de vecteurs

Champ de vecteurs
Représentation graphique d'un champ
Exemples de champ
Le gradient
Champ de vecteurs associé à une équation différentielle
Systèmes différentiels

Champ de vecteurs

Définition : Un champ de vecteurs (ou champ vectoriel)

F

sur

ℝ^{3}

défini sur un domaine

𝒰

ℝ^{3}

est une fonction de

𝒰

dans

ℝ^{3}

. Il est dit continu si

F

est continu,

C^{1}

F

est

C^{1}

(c'est-à-dire continu et admettant des dérivées partielles continues).

Ainsi, à un point de

𝒰 \subset ℝ^{3}

, on associe un vecteur

F (x, y, z)

Exemple : Dans les champs de vecteurs représentés graphiquement, les longueurs des vecteurs sont souvent modifiés par un coefficient de proportionnalité pour des raisons esthétiques. Il est souvent aussi plus facile de représenter le champ de directions associé, c'est-à-dire de dessiner des vecteurs unitaires représentant les directions du champ en oubliant son "intensité" c'est-à-dire sa norme. Voici les deux représentations du champ donné par

F (x, y) = (,)

.
.

D'autres exemples dans le plan

Représentation graphique d'un champ

Soit

F

le champ défini par

F (x, y) = (,)

. Voici une représentation de ce champ à droite et la représentation du champ de directions associé à gauche (celui-ci est le champ

G

défini par

G (x, y) = \frac{F (x, y)}{∥ F (x, y) ∥}

Exemples de champ

Exemple :

Le champ de vecteurs tangents à une courbe dans $ℝ^{2}$ ; il est donc défini sur la courbe et non sur $ℝ^{2}$ . Dessin
Le champ des vecteurs normaux à une surface dans $ℝ^{3}$ ; il est défini sur cette surface (attention, on ne peut pas parler du champ de vecteurs tangents à une surface. Pourquoi ?)
Le gradient
Les champs associés à des équations différentielles ou des systèmes diffférentiels .

Ne pas confondre avec un champ scalaire sur

ℝ^{10}

qui est pour le mathématicien une fonction d'un domaine de

ℝ^{10}

dans

. Par exemple, le champ de température est la fonction donnant la température en un point le champ de pression est la fonction donnant la température en un point.

Exemple Vous avez rencontré en physique des champs de vitesse champs de force, des champs électriques, des champs magnétiques, des champs électrostatiques, des champs de vitesse, des champs gravitationnels. Quelle grandeur physique représente dans chaque cas le champ ?

Le gradient

Soit

f : 𝒰 \subset ℝ^{3} \to ℝ

une fonction de 3 variables. On lui associe un champ de vecteurs appelé champ de gradient et noté grad

f

f

(x, y, z) \mapsto \nabla f (x, y, z) = (\frac{\partial f}{\partial x} (x, y, z), \frac{\partial f}{\partial y} (x, y, z), \frac{\partial f}{\partial z} (x, y, z))

En posant

M = (x, y, z)

grad f (M) = (\frac{\partial f}{\partial x} (M), \frac{\partial f}{\partial y} (M), \frac{\partial f}{\partial z} (M))

Exercice

Autres notations :

en utilisant la base canonique ( $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ )
$\nabla f$ = $\frac{\partial f}{\partial x} e_{1} + \frac{\partial f}{\partial y} e_{2} + \frac{\partial f}{\partial z} e_{3}$
En physique, on utilise la notation suivante : $u_{x} = e_{1}$ , $u_{y} = e_{2}$ , $u_{z} = e_{3}$ ce qui donne les formules suivantes
$\nabla = \frac{\partial}{\partial x} u_{x} + \frac{\partial}{\partial y} u_{y} + \frac{\partial}{\partial z} u_{z}$ dans $ℝ^{3}$
$\nabla = \frac{\partial}{\partial x} u_{x} + \frac{\partial}{\partial y} u_{y}$ dans $ℝ^{2}$
ou en mettant les scalaires après les vecteurs contrairement à nos habitudes
$\nabla = u_{x} \frac{\partial}{\partial x} + u_{y} \frac{\partial}{\partial y} + u_{z} \frac{\partial}{\partial z}$ dans $ℝ^{3}$
$\nabla = u_{x} \frac{\partial}{\partial x} + u_{y} \frac{\partial}{\partial y}$ dans $ℝ^{2}$ .

Pour plus de détails relatifs aux fonctions de plusieurs variables, au gradient et aux courbes de niveau, voir Doc Fonctions de plusieurs variables

Champ de vecteurs associé à une équation différentielle

Soit

f

une fonction sur un ouvert

𝒰

ℝ^{2}

. On considère une équation différentielle

y' = f (x, y)

et on lui associe le champ de vecteurs suivant : à un point

M = (x, y)

𝒰

, on associe le vecteur unitaire de direction

(1, f (x, y))

. C'est donc le vecteur

(\frac{1}{\sqrt{1 + f (x, y)^{2}}}, \frac{f (x, y)}{\sqrt{1 + f (x, y)^{2}}})

. Si

y = φ (x)

est une solution sur un intervalle

I

, on a

\frac{d}{d x} (x, φ (x)) = (1, f (x, y))

et le vecteur tangent à la courbe d'équation

y = φ (x)

en un point est colinéaire au champ de vecteurs associé à l'équation différentielle.

Exemple : Voici le dessin des directions associés à l'équation différentielle

y' =

Systèmes différentiels

Soit

{\begin{matrix} x' (t) & = f_{1} (x (t), y (t)) \\ y' (t) & = f_{2} (x (t), y (t)) \end{matrix}

un système d'équations différentielles. Le champ de vecteurs associé est le champ de vecteurs

F = (f_{1}, f_{2})

(champ de vitesse par exemple).

Une courbe intégrale est, disons, une courbe paramétrée

c : I \to (c_{1} (t), c_{2} (t))

qui est

C^{1}

et qui vérifie

{\begin{matrix} c_{1}' (t) & = f_{1} (c_{1} (t), c_{2} (t)) \\ c_{2}' (t) & = f_{2} (c_{1} (t), c_{2} (t)) \end{matrix}

En chaque point, la tangente est de direction le champ de vecteurs

F

. On les appelle aussi lignes de courant : ce sont par exemple, les trajectoires d'un objet dont le champ de vitesse est le champ de vecteurs considéré.

Exemple :

Le champ associé au système différentiel

{\begin{matrix} x' (t) & = \\ y' (t) & = \end{matrix}

est donné par

F (x, y) = (,)

Formes différentielles

Rappels sur les formes linéaires
Formes différentielles
Lien entre champs de vecteurs et formes différentielles

Rappels sur les formes linéaires

Définition : Une forme linéaire

h

sur l'espace vectoriel

ℝ^{4}

est une application linéaire de

ℝ^{4}

dans

Par exemple, la projection (e_1, e_2 , e_3 , e_4 ) mapsto

x_3 est une forme linéaire de

ℝ^{4}

, notons-la

e_{3}^{*}

.
Toute forme linéaire

h

est représentée (dans la base usuelle

(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4})

ℝ^{4}

) par une matrice à une ligne et 4 colonnes

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})

et on a

h (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = h (x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + x_{3} e_{3} + x_{4} e_{4}) = x_{1} h (e_{1}) + x_{2} h (e_{2}) + x_{3} h (e_{3}) + x_{4} h (e_{4})

= x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + x_{3} e_{3} + x_{4} e_{4} + x_{4} a_{4} = (a_{1} e_{1}^{*} + a_{2} e_{2}^{*} + a_{3} e_{3}^{*} + a_{4} e_{4}^{*}) (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})

c'est-à-dire

h = a_{1} e_{1}^{*} + a_{2} e_{2}^{*} + a_{3} e_{3}^{*} + a_{4} e_{4}^{*}

Ainsi, toute forme linéaire sur

ℝ^{4}

est combinaison linéaire des

(e_{1}^{}, e_{2}^{}, e_{3}^{}, e_{4}^{})

Exercice : Vérifier que si

f

est une forme linéaire sur

ℝ^{n}

, il existe un vecteur

v

tel que

f (u) = u \cdot v

pour tout vecteur

u

ℝ^{n}

Formes différentielles

Commencer par des rappels sur les formes linéaires avant la définition suivante :

Définition : Une forme différentielle alpha

(de degré 1) sur un ouvert

𝒰

ℝ^{n}

est la donnée en chaque point

M

𝒰

d'une forme linéaire

α (M)

. En coordonnées,

α (M) = \sum_{i = 1}^{n} P_{i} (M) e_{i}^{*}

Par exemple pour

n = 3

, cela s'écrit

α (M) = P_{1} (M) e_{1}^{*} + P_{2} (M) e_{2}^{*} + P_{3} (M) e_{3}^{*}

Pour

n = 2

, avec des notations un peu différentes,

α (x, y) = P (x, y) e_{1}^{*} + Q (x, y) e_{2}^{*}

α = P e_{1}^{*} + Q e_{1}^{*}

Exemple des formes différentielle associées à une fonction : Soit

f : 𝒰 \subset ℝ^{n} \to ℝ

une fonction de

n

variables. On lui associe la forme différentielle de degré 1

d f = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} e_{i}^{*} = \sum_{i = 1}^{n} D_{i} (f) e_{i}^{*}

Par exemple, pour

n = 3

d f = D_{1} (f) e_{1}^{} + D_{2} (f) e_{2}^{} + D_{3} (f) e_{3}^{}

Pour

n = 2

d f = \frac{\partial f}{\partial x} e_{1}^{*} + \frac{\partial f}{\partial y} e_{2}^{*}

f (x, y) = x

, on obtient

d f = e_{1}^{*}

, si

f (x, y) = y

, on obtient

d f = e_{2}^{*}

. D'où la notation commode

d x = e_{1}^{*}

d y = e_{2}^{*}

et l'expression plus familière qu'il faut retenir

d f = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y

et lorsqu'il y a

n

variables,

d f = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} d x_{i} = \sum_{i = 1}^{n} D_{i} (f) d x_{i}

Pour n=1 La notion (ou notation) si on remplace

ℝ^{n}

par

est la suivante :
à une fonction d'une variable

F

sur un intervalle

I

, on associe

un "champ de vecteurs" sur $I$ (à valeurs dans ) donné par $F : x \mapsto F (x)$ .
une forme différentielle de degré 1 sur $I$ notée $F d x$ .

Le champ

F

est un champ de gradient si

F

est la dérivée d'une fonction

f

. La forme différentielle associée est alors

d f = f' dx

, d'où la notation

f' = \frac{d f}{d x}

Lien entre champs de vecteurs et formes différentielles

Champs de vecteurs et formes différentielles sont extrêmement liés. Si

α = \sum_{i = 1}^{n} P_{i} d x_{i}

est une forme différentielle sur

ℝ^{n}

, on lui associe le champ de vecteurs

F_{α} = (P_{1}, \dots, F_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} P_{i} e_{i}

En posant

d M = (d x_{1}, \dots, d x_{n})

, on a alors symboliquement

α = F_{α} \cdot d M

Par exemple, si

f

est une fonction sur

ℝ^{n}

, le champ de vecteurs associé à la forme différentielle

d f

est égal à

grad f

et on a

d f = grad f \cdot d M

Intégration le long d'une courbe

On désire définir l'analogue de

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} α = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{[a, b]} α

avec

α = f (x) d x

. Pour cela on remplace le segment [

a, b

] de

par une courbe paramétrée de

ℝ^{2}

ou de

ℝ^{3}

f (t) d t

par une forme différentielle ou par

F \cdot d M

Rappels sur les courbes paramétrées
Intégrale curviligne d'un champ de vecteurs
- Indépendance par rapport au paramétrage
- Changement de coordonnées
Intégrale curviligne d'une forme différentielle
Flux, travail
Intégration des champs de gradients
Exemples

Rappels sur les courbes paramétrées

Définition : Une courbe paramétrée (plane) est une application d'un intervalle

I

dans

ℝ^{n}

, ce qu'on appelle aussi fonction vectorielle . Le paramètre est

t

, l'image de cette application est formée des points de la courbe.

Autrement dit, si

n = 4

, une courbe paramétrée dans

ℝ^{4}

est donnée par

c : t \in I \mapsto (c_{1} (t), c_{2} (t), c_{3} (t), c_{4} (t))

On note

𝒞 = c (I)

l'image de

c

. Lorsque

I

est un intervalle fermé borné [a,b], les points extrémités de

𝒞

sont les points

c (a)

c (b)

. La courbe est fermée si

c (a) = c (b)

. On écrit par exemple

x_{1} = c_{1} (t)

x_{2} = c_{2} (t)

x_{3} = c_{3} (t)

x_{4} = c_{4} (t)

t \in [a, b]

On ne regardera que des courbes

C^{1}

par morceaux sur un intervalle fermé, c'est-à-dire telles que les 4 fonctions

c_{1}

c_{2}

c_{3}

c_{4}

soient continues et

C^{1}

par morceaux, on appelle une telle courbe un chemin de

A = c (a)

vers

B = c (b)

Vecteur tangent
Changement de paramétrages
Abscisse curviligne et longueur

Vecteur tangent à une courbe paramétrée

En un point

t

où les

c_{i}

sont dérivables et tel que les

c'_{i} (t)

) ne soient pas tous nuls, le vecteur vitesse ou vecteur tangent est le vecteur

v (t) = (c_{1}' (t), \dots, c'_{n} (t))

ou encore

v = \frac{d c}{d t}

. Par exemple, pour

n = 3

, la tangente à la courbe en

c (t)

a la représentation paramétrique

x = c_{1} (t) + u c_{1}' (t)

y = c_{2} (t) + u c_{2}' (t)

z = c_{3} (t) + u c_{3}' (t)

pour

u \in ℝ

, ce qui traduit la relation de colinéarité des vecteurs

\vec{c (t) M}

v (t)

\vec{c (t) M} = u v (t)

.

Le cercle paramétré par

x =, y =

et son vecteur vitesse

Exercice sur la droite tangente à une courbe paramétrée.

Changement de paramètres

On peut changer le paramétrage, c'est-à-dire remplacer

t

par

t = φ (τ)

où

est une bijection d'un intervalle

J

sur

I

, continue, dérivable, à dérivée continue et strictement positive . Prenons

n = 2

. La nouvelle courbe paramétrée est donnée par

C = (C_{1}

C_{2}

) avec

C_{1} (τ) = c_{1} (φ (τ))

C_{2} (τ) = c_{2} (φ (τ))

pour

τ \in J

. Les points des deux courbes paramétrées sont les mêmes. Mais le vecteur vitesse n'est pas le même :

\frac{d C}{d τ} (τ) = φ' (τ) \frac{d c}{d t} (φ (τ))

Nous avons supposé que le changement de paramétrage varphi

est croissant, ainsi la courbe est "parcourue" dans le même sens de l'extrémité

A

vers l'extrémité

B

Choix paramétrés

Longueur d'une courbe et abscisse curviligne

Prenez la dimension

n

aléatoire ou

Soit

C

une courbe paramétrée dans

ℝ^{3}

C^{1}

par morceaux d'équations paramétrées

x_{1} = c_{1} (t)

x_{2} = c_{2} (t)

x_{3} = c_{3} (t)

pour

t \in [a, b]

. La longueur de la courbe est égale à

long (C) = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} \sqrt{c_{1}' (t)^{2} + c_{2}' (t)^{2} + c_{3}' (t)^{2}} d t

Pour des détails et une démonstration dans le cas de

ℝ^{2}

, voir le document Doc Longueur et intégrale curviligne .
Rappelons simplement qu'une abscisse curviligne est un nouveau paramétrage de la courbe par la longueur définie à partir du paramétrage donné

t

par

s(t) =

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{t} \sqrt{c_{1}' (t)^{2} + c_{2}' (t)^{2} + c_{3}' (t)^{2}} d t

Intégrale curviligne d'un champ de vecteurs

Prenez la dimension

n

aléatoire ou

Définition : Soit

c : I = [a, b] \to ℝ^{3}

une courbe paramétrée et

𝒰

un ouvert contenant

𝒞 = c (I)

. Soit

F

un champ de vecteurs sur

𝒰

. On définit l'intégrale curviligne du champ de vecteurs

F = (F_{1}

F_{2}

F_{3}

F_{1} e_{1}

F_{2} e_{2}

F_{3} e_{3}

le long de

𝒞

comme

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒞} F \cdot d M = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} F (c (t)) \cdot \frac{d c}{d t} d t = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} (F_{1} (c (t)) c'_{1} (t)

F_{2} (c (t)) c'_{2} (t)

F_{3} (c (t)) c'_{3} (t)

)

d t

L'intégrale curviligne de

F

ne dépend pas du paramétrage de la courbe , mais uniquement de l'image

𝒞

, ce qui justifiera la notation

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒞} F \cdot d M

. Elle ne dépend pas non plus du changement de coordonnées.

Indépendance par rapport au paramétrage

Un autre paramétrage de

𝒞

est donné par

C = c \circ φ

où

φ : J \to I

est une bijection, dérivable, de dérivée non nulle, croissante. Ce qu'on appelle aussi un difféomorphisme conservant l'orientation de la courbe.
Calculons l'intégrale curviligne de

α = F_{1} d x_{1}

F_{2} d x_{2}

F_{3} d x_{3}

F_{4} d x_{4}

en utilisant le paramétrage

c \circ φ

(cas d'un champ de vecteurs sur

ℝ^{4}

)

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{J} F (c \circ φ (t)) \cdot \frac{d (c \circ φ)}{d t} d t

= {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{J} (F_{1} (c o φ (t)) φ' (t) c'_{1} (φ (t))

F_{2} (c o φ (t)) φ' (t) c'_{2} (φ (t))

F_{3} (c o φ (t)) φ' (t) c'_{3} (φ (t))

F_{4} (c o φ (t)) φ' (t) c'_{4} (φ (t))

)

d t

= {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{J} φ' (t) (F_{1} (c o φ (t)) c'_{1} (φ (t))

F_{2} (c o φ (t)) c'_{2} (φ (t))

F_{3} (c o φ (t)) c'_{3} (φ (t))

F_{4} (c o φ (t)) c'_{4} (φ (t))

)

d t

On fait le changement de variables

s = φ (t)

: on obtient

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{I} (F_{1} (c) c'_{1} (s)

F_{2} (c (s)) c'_{2} (s)

F_{3} (c (s)) c'_{3} (s)

F_{4} (c (s)) c'_{4} (s)

)d s =

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒞} α

Où est cachée l'utilisation de la croissance de varphi

? La formule de changement de variables est

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} g (φ (t)) φ' (t) d t = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{φ (a)}^{φ (b)} g (s) d s

L'écriture

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{J}

pour

J = [a, b]

signifie

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b}

avec

a \leq b

. Lorsque

est décroissante, l'intervalle

φ (J)

est l'intervalle

[φ (b), φ (a)]

. Pour

décroissante, on a donc la formule

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{J} F (c \circ φ (t)) \cdot \frac{d (c \circ φ)}{d t} t d t = - {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{I} F (c (s)) \cdot \frac{dc}{d s} (s) d s

On déduit de ce calcul que

la définition de l'intégrale curviligne a bien un sens, à condition de considérer le chemin

𝒞

comme orienté : "on parcourt la courbe de l'extrémité

A = c (a)

vers l'extrémité

B = c (b)

Changement de coordonnées

Plaçons-nous dans

ℝ^{2}

. Soit

un changement de coordonnées

x = ψ_{1} (X, Y)

y = ψ_{2} (X, Y)

) de

𝒰

dans un ouvert

𝒱

: autrement dit, on se donne une application injective

ψ = (ψ_{1}, ψ_{2})

𝒰

sur un ouvert

𝒱

(donc bijective de

𝒰

sur

𝒱

C^{1}

et telle que le déterminant de

Jac

(ψ) = (\begin{matrix} \frac{\partial ψ_{1}}{\partial X} & \frac{\partial ψ_{2}}{\partial X} \\ \frac{\partial ψ_{1}}{\partial Y} & \frac{\partial ψ_{2}}{\partial Y} \end{matrix})

soit partout non nul sur

𝒰

. On dit aussi que psi

est un difféomorphisme de

𝒰

sur

𝒱

.
Soit

F = (P, Q)

un champ de vecteurs. On applique le changement de variables

x = ψ_{1} (X, Y)

y = ψ_{2} (X, Y)

\begin{matrix} d x = \frac{\partial ψ_{1}}{\partial X} d X + \frac{\partial ψ_{1}}{\partial Y} d Y \\ d y = \frac{\partial ψ_{2}}{\partial X} d X + \frac{\partial ψ_{2}}{\partial Y} d Y \end{matrix}

et F devient dans les coordonnées

(X, Y)

P (x, y) d x + Q (x, y) d y

P (ψ_{1} (X, Y), ψ_{2} (X, Y)) (\frac{\partial ψ_{1}}{\partial X} d X + \frac{\partial ψ_{1}}{\partial Y} d Y) + Q (ψ_{1} (X, Y), ψ_{2} (X, Y)) (\frac{\partial ψ_{2}}{\partial X} d X + \frac{\partial ψ_{2}}{\partial Y} d Y)

(P (ψ_{1} (X, Y), ψ_{2} (X, Y)) \frac{\partial ψ_{1}}{\partial X} + Q (ψ_{1} (X, Y), ψ_{2} (X, Y)) \frac{\partial ψ_{2}}{\partial X}) d X

+ (P (ψ_{1} (X, Y), ψ_{2} (X, Y)) \frac{\partial ψ_{1}}{\partial Y} + Q (ψ_{1} (X, Y), ψ_{2} (X, Y)) \frac{\partial ψ_{2}}{\partial Y}) d Y

P_{1} (X, Y) d X + Q_{1} (X, Y) d Y

avec

(\begin{matrix} P_{1} (X, Y) \\ Q_{1} (X, Y) \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{\partial ψ_{1}}{\partial X} (X, Y) & \frac{\partial ψ_{2}}{\partial X} (X, Y) \\ \frac{\partial ψ_{1}}{\partial Y} (X, Y) & \frac{\partial ψ_{2}}{\partial Y} (X, Y) \end{matrix}) (\begin{matrix} P (ψ_{1} (X, Y), ψ_{2} (X, Y)) \\ Q_{1} (ψ_{1} (X, Y), ψ_{2} (X, Y)) \end{matrix})

ou encore

(\begin{matrix} P_{1} \\ Q_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{\partial ψ_{1}}{\partial X} & \frac{\partial ψ_{2}}{\partial X} \\ \frac{\partial ψ_{1}}{\partial Y} & \frac{\partial ψ_{2}}{\partial Y} \end{matrix}) (\begin{matrix} P \circ ψ \\ Q \circ ψ \end{matrix}) = Jac (ψ) (\begin{matrix} P \circ ψ \\ Q \circ ψ \end{matrix})

Théorème : On a

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒞} P d x + Q d y = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{ψ (𝒞)} P_{1} d X + Q_{1} d Y

avec

(P_{1}, Q_{1})

comme ci-dessus.

Exercice : Que donnent ces formules dans le cas du changement en coordonnées polaires

x = r \cos θ

y = r \sin θ

? ne pas chercher à appliquer la formule précédente mais refaire le calcul dans ce cas particulier. Qu'en déduit-on lorsque alpha

est de la forme

d f

avec

f

une fonction de deux variables ?

Intégrale curviligne d'une forme différentielle

Définition Soit

c : I = [a, b] \to ℝ^{2}

une courbe paramétrée

C^{1}

𝒰

un ouvert de

ℝ^{2}

contenant

𝒞 = c (I)

. Soit

α = P dx + Q dy

une forme différentielle définie sur

𝒰

. On définit l'intégrale (curviligne) de la forme différentielle alpha

le long du chemin

𝒞

comme

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒞} α = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} (P (c (t)) c_{1}' (t) + Q (c (t)) c_{2}' (t)) dt

Autrement dit, on intègre alpha

(c(t)) qui est par définition

(P (c (t)) c_{1}' (t) + Q (c (t)) c_{2}' (t)) dt = P (c (t)) {dc}_{1} (t) + Q (c (t)) {dc}_{2} (t)

entre

a

b

.
De même

Définition Soit

c : I = [a, b] \to ℝ^{4}

une courbe paramétrée

C^{1}

𝒰

un ouvert de

ℝ^{4}

contenant

𝒞 = c (I)

. Soit

α = P_{1} d x_{1}

P_{2} d x_{2}

P_{3} d x_{3}

P_{4} d x_{4}

une forme différentielle définie sur

𝒰

. On définit l'intégrale (curviligne) de la forme différentielle alpha

le long du chemin

𝒞

comme

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒞} α = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} (P_{1} (c (t)) c'_{1} (t)

P_{2} (c (t)) c'_{2} (t)

P_{3} (c (t)) c'_{3} (t)

P_{4} (c (t)) c'_{4} (t)

)

d t

Ainsi, si

F_{α}

est le champ de vecteurs associé à alpha

, l'intégrale curviligne de alpha

le long de la courbe

𝒞

est la circulation de

F_{α}

le long de la courbe

𝒞

.
L'intégrale curviligne d'une forme différentielle le long d'une courbe est indépendante du changement de paramètre croissant et se comporte bien par changement de coordonnées .

Exercice

Flux, travail

L'intégrale curviligne d'un champ de vecteurs

F

le long d'une courbe s'appelle aussi la circulation le long de la courbe. La circulation de

F

ne dépend que de la composante tangentielle de $F$ à la courbe.
Lorsque le champ vectoriel représente un champ de forces , on parle de travail.
Le flux d'un champ

F = (P, Q)

à travers une courbe s'exprime aussi comme une intégrale curviligne, celle du champ

(- Q, P)

. Ainsi, on a

Flux

_{𝒞} (F) = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒞} P d y - Q d x

En remarquant que

d n = (d y, - d x)

"représente" un vecteur orthogonal à

d M = (d x, d y)

(vecteur tangent) et que (d n, d M) forment une base directe, on voit que le flux de F à travers

𝒞

ne dépend que de la composante normale de $F$ à la courbe .

Exercice

Intégration des champs de gradients

Théorème Soit

f : U \to ℝ^{n}

un champ de vecteurs

C^{1}

c : [a, b] \to ℝ^{n}

une courbe paramétrée

C^{1}

d'extrémités

A = c (a)

B = c (b)

. Alors

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒞} grad f . d M = f (B) - f (A)

C'est une généralisation du théorème

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} f' (t) d t = f (b) - f (a)

pour une fonction d'une variable (la démonstration s'y ramène d'ailleurs).
Démonstration

Faisons la démonstration pour

n = 5

. On a

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒞} grad f . d M = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b}

(

D_{1} (f) (c_{1} (t), c_{2} (t), c_{3} (t), c_{4} (t), c_{5} (t)) c'_{1} (t)

D_{2} (f) (c_{1} (t), c_{2} (t), c_{3} (t), c_{4} (t), c_{5} (t)) c'_{2} (t)

D_{3} (f) (c_{1} (t), c_{2} (t), c_{3} (t), c_{4} (t), c_{5} (t)) c'_{3} (t)

D_{4} (f) (c_{1} (t), c_{2} (t), c_{3} (t), c_{4} (t), c_{5} (t)) c'_{4} (t)

D_{5} (f) (c_{1} (t), c_{2} (t), c_{3} (t), c_{4} (t), c_{5} (t)) c'_{5} (t)

)

d t = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} g' (t) d t = g (b) - g (a)

avec

g (t) = f (c_{1} (t), c_{2} (t), c_{3} (t), c_{4} (t), c_{5} (t))

D'où la conséquence

Théorème: La circulation d'un champ de gradient le long d'un chemin ne dépend que des extrémités du chemin.

Exemple

Exemples

Exemple : On considère une attraction proportionnelle à la distance à un point

O

, appelé centre d'attraction. Le champ de vecteurs

F

vérifie

F (M) = - m \vec{O M}

. Ainsi

F (x, y) = - m x e_{1} - m y e_{2}

f (x, y) = - \frac{m}{2} (x^{2} + y^{2})

, on a

grad f = F

. Donc l'intégrale curviligne de

F

le long d'un chemin allant d'un point

A

à un point

B

ne dépend pas du chemin et vaut

- \frac{m}{2} (O B^{2} - O A^{2})

. Autrement dit, le travail effectué pour aller de

A

B

ne dépend pas du chemin.

Exemple : On considère une attraction inversement proportionnelle à la distance à un point

O

. Le champ de vecteurs

F

vérifie donc

F (M) = - \frac{m}{O M^{2}} \vec{O M} = - m (\frac{x}{x^{2} + y^{2}} e_{1} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} e_{2}) .

Il est défini sur

ℝ^{2} - {O}

. Si

f (x, y) = - \frac{m}{2} \ln (x^{2} + y^{2})

, le gradient de

f

est égal à

F

sur

ℝ^{2} - {O}

. L'intégrale curviligne (le travail) de

F

le long d'un chemin allant de

A

B

qui ne passe pas par le point

O

ne dépend que de

A

et de

B

et vaut

- \frac{m}{2} \ln \frac{O B^{2}}{O A^{2}}

Caractérisation des champs de gradients

Condition nécessaire
Condition suffisante pour une boule ouverte
- Démonstration
Remarques
Théorème général
Technique d'intégration
Exercices
Vers le rotationnel

Condition nécessaire

Prenez la dimension aléatoire
Soit

F = (F_{1}

F_{2}

F_{3}

) un champ de gradient

C^{1}

sur un ouvert

𝒰

ℝ^{3}

(on dit aussi champ dérivant d'un potentiel ou champ conservatif ) sur un ouvert

𝒰

ℝ^{3}

. Il existe une fonction

f

C^{2}

sur

𝒰

à valeurs dans

telle que

grad f = F

. Alors on a

\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}} = \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}},

\frac{\partial F_{3}}{\partial x_{1}} = \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{3}},

\frac{\partial F_{3}}{\partial x_{2}} = \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{3}},

En effet, on a pour

i

j

compris entre 1 et 3,

F_{i} = \frac{\partial f}{\partial x_{i}}

\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}} - \frac{\partial F_{j}}{\partial x_{i}} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{j} \partial x_{i}} - \frac{\partial f}{\partial x_{j} \partial y_{i}} = 0

par le théorème de Clairaut-Schwarz

Soit

f

une fonction de

n

variables

x_{1}, . . . x_{n}

qui est de classe

C^{2}

, c'est-à-dire continue et admettant des dérivées partielles d'ordre 1 et 2 qui sont continues. Alors, pour tout indice

i

j

, on a

\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{j} \partial x_{i}}

Ainsi, si

n = 4

, on a les égalités de fonctions

\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2} \partial x_{1}} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{2}}

\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{3} \partial x_{1}} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{3}}

\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{3} \partial x_{2}} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2} \partial x_{3}}

\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{4} \partial x_{1}} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{4}}

\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{4} \partial x_{2}} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2} \partial x_{4}}

\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{4} \partial x_{3}} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{3} \partial x_{4}}

ce qui fait 6 égalités.
On aimerait avoir une réciproque. Mais cela dépend de la forme de l'ouvert.

Condition suffisante pour une boule ouverte

Prenons d'abord pour ouvert une boule ouverte.

Théorème : Si

𝒰

est une boule ouverte de

ℝ^{3}

, tout champ de vecteurs

C^{1}

vérifiant les conditions précédentes

\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial F_{j}}{\partial x_{i}}

pour

i

j

compris entre 1 et 3 est un champ de gradient.

Démonstration

Remarques

Théorème général

Technique d'intégration

Exercices

Vers le rotationnel

Théorème de Green-Riemann

Exemples de courbes où le théorème s'applique

Théorème du flux-divergence

Exercices autour du théorème de Green

Conséquences

Calcul d'aires

document sur l'intégration et théorèmes classiques (théorème de Green-Riemann).
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