Surfaces paramétrées

Guide

Etude rapide des surfaces paramétrées, calcul de l'aire d'une surface, flux d'un champ de vecteurs à travers une surface. Formules de Stokes-Green.

Surfaces
Aire et intégrales de surface
Théorèmes fondamentaux
Résumé

Documents

J. Stewart, Analyse, concepts et contextes, vol. 2, DeBoeck Université (2001)

Surfaces

Introduction
Définition
Exemple fondamental
Exemples : parallélogramme, cône, sphère, cylindre ...
Quelques surfaces paramétrées à tracer
Plan tangent
Calculer le plan tangent
Vecteur normal
Exemples de calcul de vecteurs normaux
Exercices

Introduction

Les surfaces peuvent être données de plusieurs manières différentes

Surfaces d'équation explicite : le graphe d'une fonction de deux variables. Leur équation est donc de la forme $z = f (x, y)$ . Mais cela peut aussi être $x = f (y, z)$ . Ainsi, une des variables s'exprime en fonction des autres.
Exemples :
- la surface d'équation $z = x y$ Tracé
- La surface de Van der Waals donnée par $z = (y - \frac{1}{x^{2}}) (x - 1)$ Tracé
Surfaces d'équation implicite : l'ensemble des points $(x, y, z)$ de $ℝ^{3}$ tels que $h (x, y, z) = 0$ .

Exemple : La sphère de centre $O$ et de rayon 1 est d'équation implicite $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ . La surface d'équation $a x^{2} + b y^{2} + c z^{2} = 1$ avec $a$ , $b$ et $c$ positifs est un ellipsoïde.
Les surfaces paramétrées que nous allons particulièrement étudiées dans la suite.

Si vous connaissez les quadriques, vous pouvez regarder les exercices suivants (c'est aussi un moyen de voir à quoi elles ressemblent) :

Quadriques et coupes
Intersection d'une quadrique avec un plan

Définition

Définition : Une surface paramétrée dans

ℝ^{3}

est une application

C^{1}

d'un domaine calD

ℝ^{2}

dans

ℝ^{3}

S : (u, v)

f (u, v)

ℝ^{3}

Si les composantes de la fonction vectorielle

f

sont

f = (f_{1}, f_{2}, f_{3})

, on écrit aussi :

{\begin{matrix} x & = & f_{1} (u, v) \\ y & = & f_{2} (u, v) \\ z & = & f_{3} (u, v) \end{matrix} (u, v) \in 𝒟

On note quelquefois les composantes de

f (u, v)

par

x (u, v)

y (u, v)

z (u, v)

, ce qui donne les équations

{\begin{matrix} x & = & x (u, v) \\ y & = & y (u, v) \\ z & = & z (u, v) \end{matrix} (u, v) \in 𝒟

De même que pour les courbes paramétrées, une surface paramétrée est fournie avec son paramétrage.
On peut aussi ne regarder que l'image

f

(

) de l'application

f

; c'est un sous-ensemble de

ℝ^{3}

qu'on appelle aussi surface dans

ℝ^{3}

(à condition qu'elle ne soit pas dégénérée ...)

Exemple fondamental

Exemple : Soit

g

une fonction de calS

ℝ^{2}

dans

. On lui associe la surface paramétrée d'équation

{\begin{matrix} x & = & u \\ y & = & v \\ z & = & g (u, v) \end{matrix} (u, v) \in 𝒟

Mais on aurait aussi pu aussi lui associer la surface paramétrée d'équation

{\begin{matrix} x & = & u \\ y & = & g (u, v) \\ z & = & v \end{matrix} (u, v) \in 𝒟

{\begin{matrix} x & = & g (u, v) \\ y & = & u \\ z & = & v \end{matrix} (u, v) \in 𝒟

Exercice : Paramétrer une surface . Réciproquement, lorsqu'on peut exprimer une des coordonnées en fonction des deux autres, on trouve facilement un paramétrage de la surface.

Exemples : parallélogramme, cône, sphère, cylindre ...

Exemple : Paramétrer l'intérieur d'un parallélogramme s'appuyant sur deux vecteurs indépendants de

ℝ^{3}

V_{1} = (a_{1}, b_{1}, c_{1})

V_{2} = (a_{2}, b_{2}, c_{2})

au point

A = (a, b, c)

Solution

On note ici les deux paramètres

u

v

: de manière compacte,

\overset{⇀}{O M} = \overset{⇀}{O A} + u V_{1} + v V_{2} (u, v) \in D

avec

D = {(u, v) ∣ 0 \leq u \leq 1, 0 \leq v \leq 1}

{\begin{matrix} x & = & a + u a_{1} + v a_{1} \\ y & = & b + u b_{1} + v b_{2} \\ z & = & c + u c_{1} + v c_{2} \end{matrix} (u, v) \in D

A

est le point de coordonnées

(a, b, c)

V_{1}

V_{2}

les vecteurs

(a_{1}, b_{1}, c_{1})

(a_{2}, b_{2}, c_{2})

Le Tracé pour

v_{1} = (4, 3, 2)

v_{2} = (- 2, 1, 1)

Exemple : Paramétrer la surface de

ℝ^{3}

d'équation

x = y^{2} + z^{2}

Solution

On note ici les deux paramètres theta

r

{\begin{matrix} x & = & r^{2} \\ y & = & r \cos (θ) \\ z & = & r \sin (θ) \end{matrix} (θ, r) \in D

avec

D = {(θ, r) ∣ 0 \leq θ < 2 π, r \in ℝ^{+}}

Tracé

Exemple : Paramétrer la sphère de

ℝ^{3}

d'équation

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

Solution

On note ici les deux paramètres varphi

, ils sont bien sûr liés aux coordonnées sphériques:

{\begin{matrix} x & = & \cos (φ) \cos (θ) \\ y & = & \cos (φ) \sin (θ) \\ z & = & \sin (φ) \end{matrix} (θ, φ) \in D

avec

D = {(θ, φ), 0 \leq θ < 2 π, - π / 2 \leq φ \leq π / 2}

Tracé

Exemple : Paramétrer le cylindre de

ℝ^{3}

d'équation

x^{2} + y^{2} = a^{2}

Solution

On note ici les deux paramètres theta

z

, ils sont bien sûr liés aux coordonnées cylindriques :

{\begin{matrix} x & = & a \cos (θ) \\ y & = & a \sin (θ) \\ z & = & z \end{matrix} (θ, z) \in D

avec

D = {(θ, z) ∣ 0 \leq θ < 2 π, z \in ℝ}

Tracé pour

a = 6

Exemple : Paramétrer le paraboloïde hyperbolique de

ℝ^{3}

d'équation

x^{2} + y^{2} = z^{2}

Solution

Une paramétrisation d'un paraboloide elliptique d'équation implicite

z = x^{2} + y^{2}

{\begin{matrix} x & = & u \cos (v) \\ y & = & u \sin (v) \\ z & = & u^{2} \end{matrix}

avec

u > 0

θ \in [0, 2 π]

Tracé

Quelques surfaces paramétrées à tracer

Hélicoïde :

{\begin{matrix} x & = & u \cos (v) \\ y & = & u \sin (v) \\ z & = & v \end{matrix}

En coordonnées cylindriques :

r = u, z = θ

Tracé

Tore :

{\begin{matrix} x & = & (A + a \cos (u)) \cos (v) \\ y & = & (A + a \cos (u)) \sin (v) \\ z & = & a \sin (u) \end{matrix}

avec

A

a

des constantes. En coordonnées cylindriques :

r = A + a \cos (φ)

Tracé

Surface d'Enneper :

{\begin{matrix} x & = & u - u^{3} / 3 + {uv}^{2} \\ y & = & v - v^{3} / 3 + {vu}^{2} \\ z & = & u^{2} - v^{2} \end{matrix}

Tracé

Sans nom :

{\begin{matrix} x & = & \cos (u) \cos (v) (1 + \sin (6 v) \sin (5 u) / 5) \\ y & = & \cos (u) \sin (v) (1 + \sin (6 v) \sin (5 u) / 5) \\ z & = & \sin (u) (1 + \sin (6 v) \sin (5 u) / 5) \end{matrix}

Cette surface a comme équation en coordonnées sphériques

(r, θ, φ)

r = (1 + \sin (6 θ) \sin (5 φ) / 5)

Tracé pour

x = \cos (u) \cos (v) (1 + \frac{1}{5} \sin (7 v) \sin (5 u)), y = \cos (u) \sin (v) (1 + \frac{1}{5} \sin (7 v) \sin (5 u)), z = \sin (u) (1 + \frac{1}{5} \sin (7 v) \sin (5 u))

Plan tangent

Pour

(u_{0}, v_{0})

, le vecteur

\frac{\partial f}{\partial u} (u_{0}, v_{0})

ℝ^{3}

est de composantes

(\frac{\partial f_{1}}{\partial u} (u_{0}, v_{0}), \frac{\partial f_{2}}{\partial u} (u_{0}, v_{0}), \frac{\partial f_{3}}{\partial u} (u_{0}, v_{0}))

On le note aussi

D_{1} (f) (u_{0}, v_{0})

D_{u} (f) (u_{0}, v_{0})

.
De même,

\frac{\partial f}{\partial v} (u_{0}, v_{0})

peut être noté

D_{2} (f) (u_{0}, v_{0}) = D_{v} (f) (u_{0}, v_{0}) = \frac{\partial f}{\partial v} (u_{0}, v_{0})

Définition : Si calS

est une surface paramétrée

C^{1}

(u_{0}, v_{0})

, si

M_{0}

est le point de la surface de paramètre

(u_{0}, v_{0})

M_{0} = f (u_{0}, v_{0})

et si

\frac{\partial f}{\partial u} (u_{0}, v_{0})

\frac{\partial f}{\partial v} (u_{0}, v_{0})

sont deux vecteurs de

ℝ^{3}

linéairement indépendants, on appelle plan tangent au point

M_{0} = f (u_{0}, v_{0})

de paramètres

(u_{0}, v_{0})

le plan engendré par ces deux vecteurs et passant par le point

M_{0}

Un tel point est appelé point régulier.

Définition : On dit que calS

est lisse si

\frac{\partial f}{\partial u} (u_{0}, v_{0})

\frac{\partial f}{\partial v} (u_{0}, v_{0})

sont indépendants pour tous paramètres

(u_{0}, v_{0})

Ainsi, si

est lisse, le plan tangent existe pour tous les paramètres. La condition d'indépendance se traduit par

\frac{\partial f}{\partial u} (u_{0}, v_{0}) \land \frac{\partial f}{\partial v} (u_{0}, v_{0}) \neq 0

Calculer le plan tangent

Pour trouver l'équation de ce plan, on peut utiliser les méthodes équivalentes suivantes :

écrire que le déterminant des trois vecteurs $D_{1} (f) (u_{0}, v_{0})$ , $D_{2} (f) (u_{0}, v_{0})$ et $\vec{M_{0} M}$ est nul, le vecteur $\vec{M_{0} M}$ ayant pour composantes $(\begin{matrix} x - f_{1} (u_{0}, v_{0}) \\ y - f_{2} (u_{0}, v_{0}) \\ z - f_{3} (u_{0}, v_{0}) \end{matrix})$ .
définir le plan tangent à partir d'un vecteur normal $N$ : il est alors défini par l'équation
$N \cdot \vec{M_{0} M} = 0$ .
Un vecteur normal à deux vecteurs linéairement indépendants est par exemple donné par leur produit vectoriel. Ainsi, on peut prendre
$N = D_{1} (f) (u_{0}, v_{0}) \land D_{2} (f) (u_{0}, v_{0})$ .

Le lien entre les deux méthodes est donné par la formule

\det (v_{1}, v_{2}, v_{3}) = (v_{1} \land v_{2}) \cdot v_{3}

Pour tester qu'un vecteur $V$ est dans le plan tangent, on peut vérifer que son produit scalaire avec $N$ est nul ou, ce qui revient au même que le déterminant de $V$ , $D_{1} (f) (u_{0}, v_{0})$ et $D_{2} (f) (u_{0}, v_{0})$ est nul.

Exercices :

Base du plan tangent
Equation du plan tangent
Un vecteur est-il dans le plan tangent

Vecteur normal

Définition : Le vecteur normal orienté à la surface paramétrée au point de paramètre

(u_{0}, v_{0})

est donné par

D_{1} (f) (u_{0}, v_{0}) \land D_{2} (f) (u_{0}, v_{0})

Définition : Le vecteur normal unitaire orienté à la surface paramétrée est donné par

\frac{D_{1} (f) (u_{0}, v_{0}) \land D_{2} (f) (u_{0}, v_{0})}{∥ D_{1} (f) (u_{0}, v_{0}) \land D_{2} (f) (u_{0}, v_{0})}

Remarque : l'indépendance des deux vecteurs

D_{1} (f) (u_{0}, v_{0})

D_{2} (f) (u_{0}, v_{0})

permet de montrer que localement, la surface ressemble au graphe d'une fonction

z = g (x, y)

, comme dans le cas des courbes paramétrées.
Les deux vecteurs

D_{1} (f) (u_{0}, v_{0})

D_{2} (f) (u_{0}, v_{0})

sont deux vecteurs du plan tangent en

M_{0} = f (u_{0}, v_{0})

. Ainsi, le vecteur normal est normal au plan tangent.

Exemples de calcul de vecteurs normaux

Vecteur normal à un parallélogramme

Le parallélogramme est décrit par

\overset{⇀}{O M} = \overset{⇀}{O A} + u V_{1} + v V_{2} (u, v) \in D

avec

D = {(u, v) ∣ 0 \leq u \leq 1, 0 \leq v \leq 1}

Le vecteur normal est

N = V_{1} \land V_{2}

et ne dépend bien sûr pas du point. Sa norme est

∥ N ∥ = ∥ V_{1} \land V_{2} ∥

Vecteur normal au cône

Le cône d'équations

z^{2} = x^{2} + y^{2}

admet comme paramétrisation

{\begin{matrix} x = & z \cos (θ) \\ y = & z \sin (θ) \\ z = & z \end{matrix}

On prend donc comme paramètres theta

z

.
On a alors

N = (\begin{matrix} - z \sin (θ) \\ z \cos (θ) \\ 0 \end{matrix}) \land (\begin{matrix} \cos (θ) \\ \sin (θ) \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} z \cos (θ) \\ z \sin (θ) \\ - z \end{matrix})

On a donc

∥ N ∥ = ∣ z ∣

Vecteur normal à la sphère

Le vecteur normal à la sphère paramétrée par

{\begin{matrix} x = & \cos (φ) \cos (θ) \\ y = & \cos (φ) \sin (θ) \\ z = & \sin (φ) \end{matrix} (θ, φ) \in D

est

N = (\begin{matrix} - \cos (φ) \sin (θ) \\ \cos (φ) \cos (θ) \\ 0 \end{matrix}) \land (\begin{matrix} - \sin (φ) \cos (θ) \\ - \sin (φ) \sin (θ) \\ \cos (φ) \end{matrix})

(\begin{matrix} \cos (φ)^{2} \cos (θ) \\ \cos (φ)^{2} \sin (θ) \\ \cos (φ) \sin (φ) \end{matrix})

\cos (φ) \overset{⇀}{O M}

Le carré de la norme de

N

est égal à

\cos (φ)^{2}

. Donc

∣ ∣ N ∥ = ∣ \cos (φ) ∣

En particulier,

N

est nul si l'angle varphi

est égal à

\pm π / 2

, c'est-à-dire au pôle. Il y a pourtant un plan tangent en ce point, mais il ne peut pas être défini avec la recette précédente avec ce paramétrage.

Vecteur normal au cylindre

Le cylindre d'axe

O z

et de rayon

a

est d'équations cylindriques

x^{2} + y^{2} = a^{2}

et admet comme paramétrisation

{\begin{matrix} x = & a \cos (θ) \\ y = & a \sin (θ) \\ z = & z \end{matrix}

On prend donc comme paramètres theta

z

.
On a alors

N = (\begin{matrix} - a \sin (θ) \\ a \cos (θ) \\ 0 \end{matrix}) \land (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \cos (θ) \\ a \sin (θ) \\ 0 \end{matrix})

On a donc

∥ N ∥ = ∣ a ∣

Le vecteur normal est parallèle au plan

x O y

Vecteur normal à un

La surface

z = x^{2} + y^{2}

admet comme paramétrisation

{\begin{matrix} x = & r \cos (θ) \\ y = & r \sin (θ) \\ z = & r^{2} \end{matrix}

On prend donc comme paramètres

r > 0

θ \in [0, 2 π]

.
On a alors

N = (\begin{matrix} \cos (θ) \\ \sin (θ) \\ 2 r \end{matrix}) \land (\begin{matrix} - r \sin (θ) \\ r \cos (θ) \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 r^{2} \cos (θ) \\ - 2 r^{2} \sin (θ) \\ r \end{matrix})

On a donc

∥ N ∥ = r \sqrt{1 + 4 r^{2}}

Vecteur normal à une surface de révolution

Une surface de révolution d'axe

O z

d'équations cylindriques

r = h (z)

avec

h

une fonction d'une variable réelle admet comme paramétrisation

{\begin{matrix} x = & h (z) \cos (θ) \\ y = & h (z) \sin (θ) \\ z = & z \end{matrix}

On prend donc comme paramètres

z

.
On a alors

N = (\begin{matrix} h' (z) \cos (θ) \\ h' (z) \sin (θ) \\ 1 \end{matrix}) \land (\begin{matrix} - h (z) \sin (θ) \\ h (z) \cos (θ) \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - h (z) \cos (θ) \\ - h (z) \sin (θ) \\ h (z) h' (z) \end{matrix})

On a donc

∥ N ∥ = ∣ h (z) ∣ \sqrt{1 + h' (z)^{2}}

Exercices

Exercices :

Base du plan tangent
Equation du plan tangent
Vecteur dans le plan tangent

Exercice : Paramétrisation et vecteur normal

Aire

Définition : Soit calS

(u, v)

f (u, v)

une surface paramétrée. On appelle élément de surface

d Σ = ∥ D_{1} (f) (u, v) \land D_{2} (f) (u, v) ∥ du dv .

Définition : Soit calD

un domaine borné. Soit calS

(u, v)

f (u, v)

une surface paramétrée telle que

f

soit injective. L'aire

A

(

) de

) est donnée par la formule

A

(

\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒮} d Σ = \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{D} ∣ ∣ D_{1} (f) (u, v) \land D_{2} (f) (u, v) ∣ ∣ du dv .

La "justification" de cette formule est la suivante :

Théorème : Soient

V_{1}

V_{2}

deux vecteurs de

ℝ^{3}

linéairement indépendants. Alors,

V_{1} \land V_{2}

est orthogonal au plan engendré par

V_{1}

V_{2}

et sa norme est égale à l'aire du parallélogramme formé à partir de

V_{1}

V_{2}

Exemples de calcul d'aires

Aire d'une surface plane

Prenons maintenant une surface plane :

(u, v) \in D \mapsto (u, v, 1)

contenue dans le plan

z = 1

par exemple. Ses équations paramétriques sont données par

x = u, y = v, z = 1

. Le vecteur normal est

N = e_{1} \land e_{2} = e_{3}

, l'aire vaut

A = \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{D} ∥ e_{3} ∥ du dv = \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{D} dx dy

On retrouve donc bien l'aire du domaine

D

au sens usuel.

Aire d'une surface plane II

Prenons maintenant une surface plane donnée de manière plus compliquée :

(u, v) \in D \mapsto (f_{1} (u, v), f_{2} (u, v), 1)

Les équations sont donc

x = f_{1} (u, v), y = f_{2} (u, v), z = 1

. Le vecteur normal

\overset{⇀}{N}

est donné par

\overset{⇀}{N} = (D_{1} (f_{1}) (u, v) e_{1} + D_{1} (f_{2}) (u, v) e_{2}) \land (D_{2} (f_{1}) (u, v) e_{1} + D_{2} (f_{2}) (u, v) e_{2})

= (D_{1} (f_{1}) (u, v) D_{2} (f_{2}) (u, v) - D_{1} (f_{2}) (u, v) D_{2} (f_{1}) (u, v) e_{3} = {Jac}_{u, v} (f_{1}, f_{2})) e_{3}

avec

{Jac}_{u, v} (f_{1}, f_{2}) = \det ∣ (\begin{matrix} D_{1} (f_{1}) & D_{2} (f_{1}) \\ D_{1} (f_{2}) & D_{2} (f_{2}) \end{matrix}) ∣

Donc l'aire de la surface plane

S = f (D)

est égale à

\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{S} dx dy = \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{D} ∣ {Jac}_{u, v} (f_{1}, f_{2})

| du dv )

On retrouve la formule de changement de variables dans le cas des intégrales doubles.

Aire d'une surface définie par une équation explicite

Prenons une surface définie de manière explicite par

z = g (x, y)

. On la paramètre de manière naturelle :

{\begin{matrix} x & = & u \\ y & = & v \\ z & = & g (u, v) \end{matrix} (u, v) \in D

Alors

D_{1} (f) (u, v) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ D_{1} (g) (u, v) \end{matrix})

D_{2} (f) (u, v) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ D_{2} (g) (u, v) \end{matrix})

D_{1} (f) (u, v) \land D_{2} (f) (u, v) = (\begin{matrix} D_{1} (g) (u, v) \\ D_{2} (g) (u, v) \\ 1 \end{matrix})

Donc l'aire de la surface est égale

\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{D} (1 + D_{1} (g) (u, v)^{2} + D_{2} (g) (u, v)^{2})^{1 / 2} du dv

Il s'agit d'une intégrale double à ne pas confondre avec la longueur d'une courbe.

Aire d'une surface sphérique

La norme du vecteur normal en un point de paramètres theta

est égal à

∣ \cos (φ) ∣

pour la paramétrisation choisie.

Le vecteur normal à la sphère paramétrée par

{\begin{matrix} x = & \cos (φ) \cos (θ) \\ y = & \cos (φ) \sin (θ) \\ z = & \sin (φ) \end{matrix} (θ, φ) \in D

est

N = (\begin{matrix} - \cos (φ) \sin (θ) \\ \cos (φ) \cos (θ) \\ 0 \end{matrix}) \land (\begin{matrix} - \sin (φ) \cos (θ) \\ - \sin (φ) \sin (θ) \\ \cos (φ) \end{matrix})

(\begin{matrix} \cos (φ)^{2} \cos (θ) \\ \cos (φ)^{2} \sin (θ) \\ \cos (φ) \sin (φ) \end{matrix})

\cos (φ) \overset{⇀}{O M}

Le carré de la norme de

N

est égal à

\cos (φ)^{2}

. Donc

∣ ∣ N ∥ = ∣ \cos (φ) ∣

En particulier,

N

est nul si l'angle varphi

est égal à

\pm π / 2

, c'est-à-dire au pôle. Il y a pourtant un plan tangent en ce point, mais il ne peut pas être défini avec la recette précédente avec ce paramétrage.

L'élément de surface est donc

d Σ = ∣ \cos (φ) ∣ d θ d φ = \cos (φ) d θ d φ

car

\cos (φ)

est positif entre -

/2 et

/2.

L'aire de la surface sur la sphère correspondant au quartier d'orange

θ_{1} \leq θ \leq θ_{2}, φ \in [- π / 2, π / 2]

est

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{θ_{1}}^{θ_{2}} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{- π / 2}^{π / 2} \cos (φ) d φ d θ = 2 (θ_{2} - θ_{1})

L'aire de la surface sur la sphère correspondant à

θ \in [0, 2 π], φ \in [φ_{1}, φ_{2}]

est

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{2 π} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{φ_{1}}^{φ_{2}} \cos (φ) d φ d θ = 2 π \sin (φ_{2}) - \sin (φ_{1})

L'aire de la surface sur la sphère correspondant à

θ \in [θ_{1}, θ_{2}], φ \in [φ_{1}, φ_{2}]

est

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{- θ_{1}}^{θ_{2}} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{φ_{1}}^{φ_{2}} \cos (φ) d φ d θ = (θ_{2} - θ_{1}) (\sin (φ_{2}) - \sin (φ_{1}))

Par exemple l'aire de la sphère de rayon 1 est

4 π

Aire d'une surface de révolution

On utilise les coordonnées cylindriques
L'aire pour

z \in [z_{1}, z_{2}]

est donnée par la formule

A = 2 π {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{z_{1}}^{z_{2}} ∣ h (z) ∣ \sqrt{1 + h' (z)^{2}} dz

Intégrale de surface

Définition : Si calS

est une surface paramétrée par

(u, v)

f (u, v)

ℝ^{3}

, on note

d Σ = ∥ D_{1} (f) (u, v) \land D_{2} (f) (u, v) ∥ du dv

On définit l'intégrale de surface d'une fonction

g :

ℝ^{3}

comme

\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{S} g d Σ = \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{D} g (f (u, v)) ∥ D_{1} (f) (u, v) \land D_{2} (f) (u, v) ∥ du dv

= \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{D} g (f (u, v)) ∥ \frac{\partial f}{\partial u} (u, v) \land \frac{\partial f}{\partial v} (u, v) ∥ du dv

On peut démontrer que cette définition est bien indépendante du paramétrage choisi.

Exercice : Intégrale de surface d'une fonction

Flux à travers une surface

Définition : Soit

F

un champ vectoriel sur

ℝ^{3}

défini sur un ouvert

U

ℝ^{3}

. Soit

une surface paramétrée contenue dans

U

et donnée par le paramétrage

(u, v)

f (u, v) = (f_{1} (u, v), f_{2} (u, v), f_{3} (u, v)) \in ℝ^{3}

L'intégrale de surface (ou flux) de

F

est donnée par

\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒮} F \cdot d \overset{⇀}{S} = \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒟} F \cdot \overset{⇀}{N} du dv = \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒟} (F \cdot (D_{1} (f) \land D_{2} (f))) du dv

= \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒟} \det (D_{1} (f), D_{2} (f), F) du dv

Ainsi,

d \overset{⇀}{S}

est ici une notation pour

\overset{⇀}{N} du dv

F \cdot \overset{⇀}{dS}

est le produit scalaire de

F

et de

\overset{⇀}{dS}

.
Si

\overset{⇀}{n}

est le vecteur normal unitaire, on a

\overset{⇀}{dS} = \overset{⇀}{n} d Σ

Théorème : Le flux d'un champ à travers une surface ne dépend que du paramétrage de la surface à condition de conserver l'orientation, c'est-à-dire que le jacobien

Soit

Ψ = ψ_{1}, ψ_{2} : U \to V

un changement de variables

C^{1}

d'un ouvert

U

ℝ^{2}

sur un ouvert

V

ℝ^{2}

, c'est-à-dire une application

C^{1}

bijective de

U

sur

V

telle que le déterminant

(\begin{matrix} \frac{\partial ψ_{1}}{\partial x} & \frac{\partial ψ_{2}}{\partial x} \\ \frac{\partial ψ_{1}}{\partial y} & \frac{\partial ψ_{2}}{\partial y} \end{matrix})

soit non nul. On dit encore que

Ψ

est un difféomorphisme

C^{1}

.
La matrice précédente est appelée matrice jacobienne.
Ce déterminant est appelé jacobien.

du changement de variables soit strictement positif.

Exemple de flux

Prenons pour calS

une surface décrite par une équation explicite

z = g (x, y)

. Soit

F = (P, Q, R)

un champ sur calS

, alors

\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒮} F \cdot \overset{⇀}{dS} = \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒟} (R - P D_{1} (g) - Q D_{2} (g)) dx dy = \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒟} F \cdot (\begin{matrix} - grad (g) \\ 1 \end{matrix}) dx dy

= \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒟} (\begin{matrix} P \\ Q \\ R \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - \frac{\partial g}{\partial x} \\ - \frac{\partial g}{\partial y} \\ 1 \end{matrix}) dx dy

Prenons pour calS

une portion de sphère unité :

θ \in [θ_{1}, θ_{2}]

φ \in [φ_{1}, φ_{2}]

Soit

F = (P, Q, R)

un champ sur calS

, alors

\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒮} F \cdot \overset{⇀}{dS}

= =

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{θ_{1}}^{θ_{2}} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{φ_{1}}^{φ_{2}} \overset{⇀}{O M} \cdot F (M) \cos (φ) d φ d θ

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{θ_{1}}^{θ_{2}} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{φ_{1}}^{φ_{2}} (x (θ, φ) P (M (θ, φ)))

y (θ, φ) Q (M (θ, φ))

z (θ, φ) R (M (θ, φ)) \cos (φ) d φ d θ

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{θ_{1}}^{θ_{2}} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{φ_{1}}^{φ_{2}} (x P (x, y, z) + y Q (x, y, z) + z R (x, y, z)) \cos (φ) d φ d θ

Exercices de calcul de flux

Exercices : Calculons le flux du champ

F (x, y, z) = (x, y, 0)

à travers la sphère calS

paramétrée comme auparavant.
Ce champ est parallèle au plan

x O y

. On a

\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒮} F \cdot \overset{⇀}{dN} = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{2 π} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{- π / 2}^{π / 2} F \cdot \overset{⇀}{O M} \cos (φ) d φ d θ

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{2 π} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{- π / 2}^{π / 2} (x^{2} + y^{2}) \cos (φ) d φ d θ

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{2 π} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{- π / 2}^{π / 2} \cos^{3} (φ) d φ d θ

2 π {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{- π / 2}^{π / 2} \cos^{3} (φ) d φ = 2 π / 3

Exercices :

Calcul de flux
Calcul de flux II
Paramétrisation d'une surface et calcul de flux

Propriétés du flux

Théorème : Le d'un champ à travers une surface ne dépend que de la composante normale du champ à la surface, c'est-à-dire de la projection du champ sur la droite normale au plan tangent.

Exemple : Si

F (M)

est un vecteur du plan tangent en

M

pour tout point

M

de la surface, son flux à travers la surface est nulle.

Exercice : Propriétés du flux ou de la circulation . Cet exercice demande d'utiliser la propriété précédente. Attention, il alterne avec un exercice qui parle de circulation.

Théorèmes fondamentaux

Bord d'une surface
Théorème du flux-rotationnel
Exemple : formule de Green-Riemann
Volumes et orientation
Théorème de Stokes
Conséquences du théorème de Stokes
Exercices
Angle solide et Mesure de l'angle dans le plan

Bord d'une surface

On généralise la formule de Green-Riemann (surfaces/courbes) à des surfaces qui ne sont plus planes .

Définition : Soit calD

un domaine de

ℝ^{2}

de bord une courbe calC

. Soit

une surface paramétrée donnée par

(u, v)

f (u, v)

. On appelle bord de calS

l'image de calC

par

f

. On le note

\partial S

. On suppose que le bord de calD

vérifie les hypothèses du théorème de Green et en particulier est bien orienté. On prend sur le bord de calS

l'orientation qui se déduit de celle de

\partial D

Exemples

Couronne Considérons la partie de la sphère entre les deux parallèles d'angle $φ_{1}$ et $φ_{2}$ . Prenons la paramétrisation
${\begin{matrix} x = & \cos (φ) \cos (θ) \\ y = & \cos (φ) \sin (θ) \\ z = & \sin (φ) \end{matrix} (θ, φ) \in [0, 2 π] \times [φ_{1}, φ_{2}]$

Attention, il s'agit d'une paramétrisation de la couronne, pas du patron de la couronne.
En partant de $A$ et en suivant le sens des flèches, on commence par suivre le parallèle inférieur ; revenu au point de départ $B$ , on monte par le méridien d'angle $θ = 2 π$ jusqu'en $C$ , on reprend un parallèle dans le sens contraire jusqu'à $D = C$ et on redescend le long du méridien d'angle $θ = 0$ donc dans le sens contraire de la première fois. Ainsi, ayant recollé $θ = 0$ et $θ = π$ , l'image des segments $θ = 0$ et $θ = 2 π$ "disparaît" comme bord, et le bord de la surface est simplement formé des deux parallèles d'angle $φ_{1}$ et $φ_{2}$ parcourues dans un sens contraire.
Gouttière La gouttière (verticale) d'équations $x^{2} + y^{2} = 1$ , $z_{0} \leq z \leq z_{1}$ est d'équations paramétriques

${\begin{matrix} x = & \cos (θ) \\ y = & \sin (θ) \\ z = & z \end{matrix} (θ, φ) \in [θ_{0}, 2 π - θ_{0}] \times [z_{1}, z_{2}]$

Théorème du flux-rotationnel

Théorème : Prenons calS

comme dans la définition. Soit

F

un champ de vecteurs

C^{1}

à valeurs dans

ℝ^{3}

défini sur un ouvert

U

contenant

f

(

). Alors, le flux de

rot F

à travers la surface calS

est égal à la circulation de

F

le long du bord de calS

\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒮} rot (F) \cdot d \overset{⇀}{S} = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{\partial S} F \cdot d \overset{⇀}{M} .

Exemple : formule de Green-Riemann

Si la surface calS

est un domaine dans un plan horizontal paramétré par

{\begin{matrix} x & = & u \\ y & = & v \\ z & = & a \end{matrix}

le vecteur normal

\overset{⇀}{N}

est le vecteur

\overset{⇀}{k} = (0, 0, 1)

et on a donc

\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒮} rot (F) \cdot d \overset{⇀}{S} = \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒮} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy

= {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{\partial S} F \cdot \overset{⇀}{dM}

On retrouve la formule de Green-Riemann.

Volumes et orientation

Pour énoncer la formule de Stokes ici, on considère des volumes de

ℝ^{3}

du type suivant :

{(x, y) \in 𝒟 ∣ f_{1} (x, y) \leq z \leq f_{2} (x, y)}

{(y, z) \in 𝒟 ∣ f_{1} (y, z) \leq x \leq f_{2} (y, z)}

{(x, y) \in 𝒟 ∣ f_{1} (z, x) \leq y \leq f_{2} (z, x)}

où

f_{1}

f_{2}

sont des fonctions

C^{1}

par morceaux et où calD

est un domaine du plan du même style ;
On les appellera "régions ou volumes simples fermés". Le bord est formé des morceaux suivants

$z = f_{1} (x, y)$ ,
$z = f_{2} (x, y)$
la surface se projettant sur le bord du domaine de $ℝ^{2}$ (celle-ci peut ne pas exister par exemple dans le cas de la sphère).

Définition : On définit sur une région simple une orientation positive du bord en prenant en chaque point du bord la normale sortante, c'est-à-dire celle qui ne pointe pas à l'intérieur du volume.

Théorème de Stokes

Théorème : Soit calV

une région solide simple et soit partial

le bord de calV

orienté positivement, lisse par morceaux. Soit

F

un champ de vecteurs

C^{1}

sur un ouvert de

ℝ^{3}

contenant

. Alors,

\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{\partial 𝒱} F \cdot d \overset{⇀}{S} = \begin{array}{c} \int \end{array} \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒱} div F dV

Cela généralise à la dimension 3 le théorème de Green

Conséquences du théorème de Stokes

Théorème : Soit

V

un volume simple dans

ℝ^{3}

dont le bord est une surface simple dans

ℝ^{3}

F

un champ de vecteurs défini sur un ouvert contenant

V

. Alors, si la divergence de $F$ est nulle, le flux de

F

à travers

S

est nulle.

On peut appliquer ce théorème à des volumes dont le bord est "en deux morceaux" : par exemple, le volume compris entre une sphère de rayon

r

et une sphère de rayon

R

de même centre

O

avec

r < R

à condition de bien orienter la surface (même question qu'en dimension 2 où cela est plus facile à représenter). Dans le cas précédent, la normale est

dans la direction de $\overset{⇀}{O M}$ sur la sphère de rayon $R$
dans la direction de $- \overset{⇀}{O M}$ sur la sphère de rayon $r$ .

Théorème : Soit

V_{1}

V_{2}

deux volumes simples dans

ℝ^{3}

de bords orientés

S_{1}

S_{2}

"emboités" c'est-à-dire tels que

V_{1} \subset V_{2}

. et

F

un champ de vecteurs défini sur un ouvert contenant

V_{2}

. Alors, si la divergence de $F$ est nulle, les flux de

F

à travers

S_{1}

et à travers

S_{2}

sont égaux.

On en déduit le théorème de Gauss :

Théorème : Si

F (M) = \frac{\overset{⇀}{O M}}{∥ O M ∥^{3}}

et si

V_{1}

V_{2}

sont deux volumes simples dans

ℝ^{3}

de bords orientés

S_{1}

S_{2}

"emboités" c'est-à-dire tels que

V_{1} \subset V_{2}

. les flux de

F

à travers

S_{1}

et à travers

S_{2}

sont égaux.

Exercices

Exercice : Pour ne pas confondre les différentes formules

Angle solide

Soit

une surface et

O

un point tel que toute demi-droite passant par

O

ne coupe

qu'en au plus un point.

Définition : L'angle solide

Ω_{O} (𝒮)

sous

vu de

O

est l'ensemble des demi-droites issues de

O

et coupant calS

. Maintenant, si

a

est un réel strictement positif, soit

S (a)

l'intersection de la sphère de centre

O

et de rayon

a

et de l'angle solide

Ω_{O} (𝒮)

. La mesure de l'angle solide

Ω_{O} (𝒮)

est définie comme le quotient de l'aire de

S (a)

par

a^{2}

∣ Ω_{O} (𝒮) ∣ = \frac{aire (S (a))}{a^{2}}

qui ne dépend pas de

a

On peut réinterpréter cette formule de la manière suivante : on remarque que

∣ Ω_{O} (S (a)) ∣ = \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{S (a)} \frac{d Σ}{∥ O M ∥^{2}}

\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{S (a)} \frac{\vec{O M} \cdot \overset{⇀}{dS}}{∥ O M ∥^{3}}

(sur la sphère,

\vec{O M} \cdot \overset{⇀}{dS} = ∥ O M ∥ d Σ

car le vecteur

\vec{O M}

et le vecteur normal sont colinéaires).

Théorème : Soit calS

une surface,

O

un point tel que toute demi-droite passant par

O

ne coupe

qu'en au plus un point.

∣ Ω_{O} (𝒮) ∣ = \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒮} \frac{d Σ}{∥ O M ∥^{2}}

\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒮} \frac{\vec{O M} \cdot \overset{⇀}{dS}}{∥ O M ∥^{3}}

Démonstration

C'est une application du théorème flux/divergence :

Le champ de vecteurs $F$ défini par $F (M) = \frac{\vec{O M} \cdot \overset{⇀}{dS}}{∥ O M ∥^{3}}$ est de divergence nulle.
Avec $r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ , on tire de $r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ que $r \frac{\partial r}{\partial x} = x$ , $r \frac{\partial r}{\partial y} = y$ , $r \frac{\partial r}{\partial z} = z$ . Donc,
$F (M) = (\frac{x}{r^{3}}, \frac{y}{r^{3}}, \frac{z}{r^{3}})$
et
$div (F) (M) = (\frac{1}{r^{3}} - \frac{3 x}{r^{4}} \frac{\partial r}{\partial x}) - (\frac{1}{r^{3}} - \frac{3 y}{r^{4}} \frac{\partial r}{\partial y}) - (\frac{1}{r^{3}} - \frac{3 z}{r^{4}} \frac{\partial r}{\partial z})$

= $\frac{3}{r^{3}} - \frac{3 x^{2}}{r^{5}} - \frac{3 y^{2}}{r^{5}} - \frac{3 z^{2}}{r^{5}} = 0$
Prenons une sphère de centre $O$ et de rayon $a$ de manière à ce que $S (a)$ ne coupe pas et soit par exemple "entre $O$ et calS. Soit la surface $S'$ formée de , de $S (a)$ et de la surface $S_{1}$ des segments reliant le bord de $S (a)$ et le bord de sur les droites passant par $O$ . Cette surface est le bord d'un domaine . On l'oriente par la normale sortante. On a alors par le théorème de Stokes
Théorème : Soit une région solide simple et soit le bord de orienté positivement, lisse par morceaux. Soit $F$ un champ de vecteurs $C^{1}$ sur un ouvert de $ℝ^{3}$ contenant . Alors,
$\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{\partial 𝒱} F \cdot d \overset{⇀}{S} = \begin{array}{c} \int \end{array} \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒱} div F dV$ .

Cela généralise à la dimension 3 le théorème de Green

$\begin{array}{c} \int \end{array} \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒱} div (F) dV = 0 = \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{S'} \frac{\vec{O M} \cdot \overset{⇀}{dS}}{∥ O M ∥^{3}}$
Or
$\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{S'} \frac{\vec{O M} \cdot \overset{⇀}{dS}}{∥ O M ∥^{3}} = \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒮} \frac{\vec{O M} \cdot \overset{⇀}{dS}}{∥ O M ∥^{3}} - \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{S (a)} \frac{\vec{O M} \cdot \overset{⇀}{dS}}{∥ O M ∥^{3}} + \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{S_{1}} \frac{\vec{O M} \cdot \overset{⇀}{dS}}{∥ O M ∥^{3}}$

On voit
Montrons-le même si on le voit : c'est un bon exercice de paramétrage. Comment paramétrer $S_{1}$ . Pour simplifier, supposons qu'on ait un paramétrage de la courbe bord de $S$ : $t \in I \to c (t) = (\begin{matrix} c_{1} (t) \\ c_{2} (t) \\ c_{3} (t) \end{matrix})$ . Notons $A (t)$ le point intersection de la sphère de rayon $a$ et de la demi-droite issue de $O$ et passant par $c (t)$ . Le segment d'extrémités $A (t)$ et $c (t)$ est paramétré de la manière suivante :

${\begin{matrix} x & = & (1 - u) a \frac{c_{1} (t)}{∥ c (t) ∥} + u c_{1} (t) \\ y & = & (1 - u) a \frac{c_{2} (t)}{∥ c (t) ∥} + u c_{2} (t) \\ z & = & (1 - u) a \frac{c_{3} (t)}{∥ c (t) ∥} + u c_{3} (t) \end{matrix} u \in [0, 1]$

Ainsi, on obtient la paramétrisation suivante de $S_{1}$ :
${\begin{matrix} x & = & (1 - u) a \frac{c_{1} (t)}{∥ c (t) ∥} + u c_{1} (t) \\ y & = & (1 - u) a \frac{c_{2} (t)}{∥ c (t) ∥} + u c_{2} (t) \\ z & = & (1 - u) a \frac{c_{3} (t)}{∥ c (t) ∥} + u c_{3} (t) \end{matrix} (t, u) \in I \times [0, 1]$
ou encore plus simplement
$a (1 - u) \frac{\overset{⇀}{c (t)}}{∥ c (t) ∥} + u \overset{⇀}{c (t)} = (a \frac{1 - u}{∥ c (t) ∥} + u) \overset{⇀}{c (t)}$

Cette formule peut sembler compliquée mais ce que nous voulons est simplement montrer que le vecteur normal à $S_{1}$ en $M$ est perpendiculaire à $\overset{⇀}{O M}$ . Or la dérivée partielle par rapport à $u$ de la paramétrisation est égale à $(1 - \frac{a}{∥ c (t) ∥}) \overset{⇀}{c (t)}$ et $\overset{⇀}{c (t)}$ est colinéaire à $\overset{⇀}{O M}$ .
alors que le vecteur normal à $S_{1}$ est perpendiculaire à $\vec{O M}$ et donc que le dernier terme est nul, ce qui donne le théorème.

Mesure de l'angle dans le plan

Soit

un angle dans le plan de sommet

O

. Rappelons que l'on définit la mesure d'un angle omega

de centre

O

comme

\frac{longueur (c (a))}{a}

avec

c (a)

est l'arc de cercle de centre

O

et de rayon

a

intercepté par l'angle omega

.
On peut réinterpréter cette longueur comme l'intégrale curviligne sur

c (a)

du champ de vecteurs

F

défini par

F (M) = (- \frac{y}{∥ O M ∥^{2}}, \frac{x}{∥ O M ∥^{2}}) = \frac{\vec{O M^{⊥}}}{∥ O M ∥^{2}}

avec la notation personnelle que

\vec{O M^{⊥}}

est le vecteur perpendiculaire obtenu en faisant subir à

\vec{O M}

une rotation d'angle

π / 2

Théorème : Soit calC

une courbe et

O

un point tel que toute demi-droite issue de

O

coupe la courbe calC

en au plus un point. Si omega

(

) est l'angle interceptant la courbe du point

O

, on a

∣ ω (𝒞) ∣ = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒞} F (M) \cdot dM = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒞} \frac{\vec{O M^{⊥}}}{∥ O M ∥^{2}} \cdot dM

Démonstration On utilise ici la formule de Green

Le rotationnel de $F$ est nul.
On considère le domaine représenté sur le dessin en rouge : On a
$0 = \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{𝒟} rot F dA = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{\partial 𝒟} F \cdot dM$
La courbe $𝒞 = \partial 𝒟 = B A C D$ est formée de $𝒞$ , de $c (a)$ parcourue dans le sens opposé et des deux segments $B A$ et $C D$ . La circulation de $F$ sur les segments est nulle car sur ces segments portés par $O M$ , $F (M)$ est perpendiculaire au vecteur tangent. On en déduit le théorème.

Résumé

document d'introduction aux surfaces en vue de la formule de Stokes.
: stokes_thm, Green, tangent_plane, normal_vector,parametric_surfaces,surfaces, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

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courbe bordée par des points dans	${\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} f' (x) dx$	=	$f (b) - f (a$	$\partial C = {a, b}$
courbe bordée par des points dans $ℝ^{2}$	${\begin{array}{c} \int \end{array}}_{C} \overset{⇀}{grad} f (M) \cdot \overset{⇀}{dM}$	=	$f (B) - f (A)$	$\partial C = {A, B}$ )
courbe sans (points) bord dans $ℝ^{2}$	${\begin{array}{c} \int \end{array}}_{C} \overset{⇀}{grad} f (M) \cdot \overset{⇀}{dM}$	=	0	$\partial C = \emptyset$
domaine bordé par une courbe dans $ℝ^{2}$	$\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{D} rot \overset{⇀}{F} (M) dA$	=	${\begin{array}{c} \int \end{array}}_{C} \overset{⇀}{F} (M) \cdot \overset{⇀}{dM}$	$\partial D = C$ , $\partial C = \emptyset$
domaine bordé par une courbe dans $ℝ^{2}$	$\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{D} div \overset{⇀}{F} (M) dA$	=	${\begin{array}{c} \int \end{array}}_{C} \overset{⇀}{F} (M) \cdot \overset{⇀}{dN}$	$\partial D = C$ $\partial C = \emptyset$
surface bordée par une courbe dans $ℝ^{3}$	$\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{S} \overset{⇀}{rot} \overset{⇀}{F} (M) \cdot \overset{⇀}{dS}$	=	${\begin{array}{c} \int \end{array}}_{C} \overset{⇀}{F} (M) \cdot \overset{⇀}{dM}$	$\partial S = C$ $\partial C = \emptyset$
surface sans bord dans $ℝ^{3}$	$\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{S} \overset{⇀}{rot} \overset{⇀}{F} (M) \cdot \overset{⇀}{dS}$	=	0	$\partial D = \emptyset$
volume bordé par une surface dans $ℝ^{3}$	$\begin{array}{c} \int \end{array} \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{V} div \overset{⇀}{F} (M) dV$	=	$\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{S} \overset{⇀}{F} (M) \cdot \overset{⇀}{dS}$	$\partial V = S$ $\partial S = \emptyset$
volume bordé par une surface dans $ℝ^{3}$	$\begin{array}{c} \int \end{array} \begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{V} Δ (f (M)) dV$	=	$\begin{array}{c} \int \end{array} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{S} \overset{⇀}{grad} f (M) \cdot \overset{⇀}{dS}$	$\partial V = S$ $\partial S = \emptyset$

élément d'aire dans $ℝ^{2}$	$dA$	$dxdy$	$r dr d θ$
élément de volume dans $ℝ^{3}$	$dV$	$dxdydz$	$r dr d θ dz$	$\cos (φ) r^{2} dr d θ d φ$ ( l'angle de $\overset{⇀}{O M}$ avec $x O y$ )
élément curviligne dans $ℝ^{3}$	$\overset{⇀}{dM}$	$(dx, dy, dz)$
élément de longueur sur une courbe	$∥ \overset{⇀}{dM} ∣ ∣$	$∥ \overset{⇀}{M' (t)} ∥ dt$
élément d'aire dans $ℝ^{3}$	$d Σ = ∥ \overset{⇀}{N} ∥ du dv$
élément de surface dans $ℝ^{3}$	$\overset{⇀}{dS} = \overset{⇀}{N} du dv$