Isométries de l'espace

Sommaire

Ce document présente les isométries de l'espace affine euclidien orienté de dimension $3$, noté $E$. L'espace vectoriel euclidien associé est noté $\stackrel{\rightharpoonup }{E}$.

• Les isométries vectorielles
• Les isométries affines
• Tableau des isométries de l'espace

Vous pouvez consulter ce document page à page ou à partir du tableau des isométries.

Il a pour base la partie VI du polycopié "Géométrie euclidenne" rédigé par Marie-Claude DAVID, Daniel PERRIN, Frédéric HAGLUND et utilisé à la préparation au CAPES de mathématiques à Orsay (Université Paris-Sud).

Les isométries vectorielles

Orientation d'un plan vectoriel de l'espace par un vecteur normal

Droites propres et plans stables par une isométrie vectorielle

Les symétries orthogonales de l'espace vectoriel de dimension 3 (isométries vectorielles admettant trois valeurs propres réelles)

Les isométries vectorielles admettant une seule valeur réelle

Liste des isométries vectorielles (définitions)

Forme de la matrice d'une isométrie vectorielle dans une base orthonormée bien choisie

Nature d'une isométrie vectorielle donnée par sa matrice
dans une base othonormée directe

Orientation d'un plan vectoriel de l'espace par un vecteur normal

Soit $\stackrel{\rightharpoonup }{P}$ un plan vectoriel de $\stackrel{\rightharpoonup }{E}$ et soit $\stackrel{\rightharpoonup }{e_1}$ un vecteur unitaire orthogonal à $\stackrel{\rightharpoonup }{P}$. Par définition, l'orientation de $\stackrel{\rightharpoonup }{P}$ définie par $\stackrel{\rightharpoonup }{e_1}$ est la suivante : si $ℬ=(\stackrel{\rightharpoonup }{e_2},\stackrel{\rightharpoonup }{e_3})$ est une base orthonormée de $\stackrel{\rightharpoonup }{P}$, on dit que $ℬ$ est directe si la base $(\stackrel{\rightharpoonup }{e_1},\stackrel{\rightharpoonup }{e_2},\stackrel{\rightharpoonup }{e_3})$ est directe.

Remarque : Attention, si l'on change $\stackrel{\rightharpoonup }{e_1}$ en $-\stackrel{\rightharpoonup }{e_1}$, l'orientation de $\stackrel{\rightharpoonup }{P}$ est renversée.

Droites propres et plans stables par une isométrie vectorielle

Comme $\stackrel{\rightharpoonup }{E}$ est de dimension $3$, tout endomorphisme de $\stackrel{\rightharpoonup }{E}$ admet une ou trois valeurs propres réelles (comptées avec leur multiplicité)

Démonstration : Les valeurs propres d'une isométrie sont 1

. La stabilité du plan orthogonal vient de la conservation de l'orthogonalité et de la stabilité de $\stackrel{\rightharpoonup }{D}$.

Les symétries orthogonales de l'espace vectoriel de dimension 3

La proposition suivante permet d'affirmer qu'une isométrie vectorielle qui admet trois valeurs propres réelles (comptées avec leur ordre de multiplicité) est diagonalisable, et plus précisément une symétrie orthogonale (bien sûr).

Démonstration : Soit $\stackrel{\rightharpoonup }{D}$ une droite propre de $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ pour la valeur propre = 1 . Comme le plan $\stackrel{\rightharpoonup }{P}={\stackrel{\rightharpoonup }{D}}^{\perp }$ est stable par $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$, la restriction $\stackrel{\rightharpoonup }{f}{\mid }_{\stackrel{\rightharpoonup }{P}}$ est une isométrie de $\stackrel{\rightharpoonup }{P}$ qui admet deux valeurs propres réelles. Vue la classification des isométries en dimension 2, $\stackrel{\rightharpoonup }{f}{\mid }_{\stackrel{\rightharpoonup }{P}}$ est donc l'identité, la symétrie centrale ou une symétrie axiale. Dans tous les cas, $\stackrel{\rightharpoonup }{f}{\mid }_{\stackrel{\rightharpoonup }{P}}$ est diagonalisable et donc $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ aussi. Comme les valeurs propres de $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ sont 1, il en résulte que $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est une symétrie.

Liste des symétries orthogonales

Soit $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ la symétrie orthogonale par rapport au sous-espace $\stackrel{\rightharpoonup }{V}$ de $\stackrel{\rightharpoonup }{E}$. Il y a quatre cas :

• si $\dim \stackrel{\rightharpoonup }{V}=3$, $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est l'identité (isométrie positive),
• si $\dim \stackrel{\rightharpoonup }{V}=2$, $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est la réflexion de plan $\stackrel{\rightharpoonup }{V}$ (isométrie négative),
• si $\dim \stackrel{\rightharpoonup }{V}=1$, $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est le demi-tour d'axe $\stackrel{\rightharpoonup }{V}$ (isométrie positive),

• si $\dim \stackrel{\rightharpoonup }{V}=0$, $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est la symétrie centrale $-{\text{Id}}_{\stackrel{\rightharpoonup }{E}}$ (isométrie négative).

Les isométries vectorielles admettant une seule valeur réelle

Démonstration : Comme $\stackrel{\rightharpoonup }{f}{\mid }_{\stackrel{\rightharpoonup }{P}}$ n'a pas de valeur propre réelle, la classification des isométries planes montre que c'est une rotation. Cela prouve les points 1 et 2.

On considère l'orientation de $\stackrel{\rightharpoonup }{P}$ définie par $\stackrel{\rightharpoonup }{e_1}$. Si $ℬ=(\stackrel{\rightharpoonup }{e_1},\stackrel{\rightharpoonup }{e_2},\stackrel{\rightharpoonup }{e_3})$ est une base directe de $\stackrel{\rightharpoonup }{E}$, $(\stackrel{\rightharpoonup }{e_2},\stackrel{\rightharpoonup }{e_3})$ est alors une base directe de $\stackrel{\rightharpoonup }{P}$ et si est l'angle de la rotation $\stackrel{\rightharpoonup }{f}{\mid }_{\stackrel{\rightharpoonup }{P}}$ dans $\stackrel{\rightharpoonup }{P}$ muni de cette orientation , on a bien la matrice annoncée dans .

Liste des isométries vectorielles

Les symétries orthogonales

Soit $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ la symétrie orthogonale par rapport au sous-espace $\stackrel{\rightharpoonup }{V}$ de $\stackrel{\rightharpoonup }{E}$. Il y a quatre cas :

• si $\dim \stackrel{\rightharpoonup }{V}=3$, $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est l'identité (isométrie positive),
• si $\dim \stackrel{\rightharpoonup }{V}=2$, $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est la réflexion de plan $\stackrel{\rightharpoonup }{V}$ (isométrie négative),
• si $\dim \stackrel{\rightharpoonup }{V}=1$, $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est le demi-tour d'axe $\stackrel{\rightharpoonup }{V}$ (isométrie positive),

• si $\dim \stackrel{\rightharpoonup }{V}=0$, $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est la symétrie centrale $-{\text{Id}}_{\stackrel{\rightharpoonup }{E}}$ (isométrie négative).

Les rotations

Soit $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ une isométrie vectorielle admettant une matrice du type $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \\ \end{array}\right)$ dans une base orthonormée directe $(\stackrel{\rightharpoonup }{e_1},\stackrel{\rightharpoonup }{e_2},\stackrel{\rightharpoonup }{e_3})$.

On dit que $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est la rotation vectorielle d'axe orienté $(\stackrel{\rightharpoonup }{D},\stackrel{\rightharpoonup }{e_1})$ et d'angle /2 et on la note $\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }(\stackrel{\rightharpoonup }{D},\stackrel{\rightharpoonup }{e_1},\theta )$.

Une rotation est une isométrie positive.

Remarques

Les antirotations

Soit $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ une isométrie vectorielle admettant une matrice du type $A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \\ \end{array}\right)$ dans une base orthonormée directe $(\stackrel{\rightharpoonup }{e_1},\stackrel{\rightharpoonup }{e_2},\stackrel{\rightharpoonup }{e_3})$ avec 0, (mod 2).

On dit que $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est l'antirotation vectorielle d'axe $(\stackrel{\rightharpoonup }{D},\stackrel{\rightharpoonup }{e_1})$ et d'angle .

Une antirotation est une isométrie négative.

Cette appellation nous semble commode, mais elle n'est pas standard. La plupart des auteurs ne donnent pas de nom spécifique à cette transformation.

Forme de la matrice d'une isométrie vectorielle dans une base orthonormée bien choisie

Toutes les isométries vectorielles admettent une matrice de la forme $\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \\ \end{array}\right)$ dans une base orthonormée bien choisie $(\stackrel{\rightharpoonup }{e_1},\stackrel{\rightharpoonup }{e_2},\stackrel{\rightharpoonup }{e_3})$.

En effet, on retrouve

• l'identité avec   $=1$  et   $=0$,
• les réflexions avec   $=-1$  et  $=0$,
• les demi-tours avec  $=1$  et  =
• la symétrie centrale avec  $=-1$   et   =

et bien sûr

• les rotations avec  = 1   et  $\ne 0$ (mod 2) .
• les antirotations avec   = -1  et  $\ne 0$, (mod 2).

On notera que, sauf dans le cas des symétries orthogonales, la droite engendrée par $(\stackrel{\rightharpoonup }{e_1})$ est bien déterminée : c'est la droite propre relative à .

Remarques :

1. La matrice d'une symétrie orthogonale est symétrique dans toute base orthonormée.
   En effet, si $A$ est la matrice d'une symétrie orthogonale dans une base orthonormée, elle vérifie $A^{-1}=A$ et comme elle est orthogonale, elle vérifie aussi $A^{-1}={}^{t}A$, dans $A$ est symétrique.
2. Dans la pratique, il n'est pas nécessaire de trouver la base où la matrice de $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est de cette forme pour déterminer sa nature (Voir la suite) .

Nature d'une isométrie vectorielle donnée par sa matrice
dans une base othonormée directe

Soit $B$ une base orthonormée directe de $\stackrel{\rightharpoonup }{E}$ et $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ une isométrie de $\stackrel{\rightharpoonup }{E}$ de matrice $A$ dans $B$.

• La matrice $A$ est orthogonale.

Exercice 1 : Déterminer une matrice orthogonale.

• L'isométrie $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est une symétrie si et seulement si $A$ est une matrice symétrique.
  En effet, si $A$ est la matrice d'une symétrie orthogonale dans une base orthonormée, elle vérifie $A^{-1}=A$ et comme elle est orthogonale, elle vérifie aussi $A^{-1}={}^{t}A$, dans $A$ est symétrique.

  Dans ce cas :

  • $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est $\text{Id}$ (resp. $-\text{Id}$) si et seulement si $A$ est ${\text{I}}_n$ (resp. $-{\text{I}}_n$)
  • si $\text{Tr}(A)$ vaut -1, $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est un demi-tour
  • si $\text{Tr}(A)$ vaut 1, $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est une réflexion
• Si $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ n'est pas une symétrie, $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ admet la valeur propre $1$ si elle est positive (c'est une rotation), $-1$ si elle est négative (c'est une antirotation). On oriente l'axe de $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ en choisissant un vecteur propre unitaire $\stackrel{\rightharpoonup }{e_1}$ relatif à la valeur propre $\lambda =\pm 1$. L'angle est alors entièrement déterminé par les remarques suivantes :
  1. on a $\lambda +2\cos \theta =\text{Tr}\stackrel{\rightharpoonup }{f}$
  2. le signe de $\sin \theta$ est le signe de ${\det }_B(\stackrel{\rightharpoonup }{e_1},\stackrel{\rightharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{f}(\stackrel{\rightharpoonup }{u}))$ où $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ est un vecteur quelconque non colinéaire à $\stackrel{\rightharpoonup }{e_1}$.

Exercice 2 : Reconnaître un demi-tour, une réflexion, une rotation, une antirotation sur sa matrice.
Exercice 3 : Etude d'une rotation donnée par sa matrice.
Exercice 4 : Déterminer les éléments caractéristiques d'une rotation ou d'une antirotation.

Les isométries affines

Résultats importants de géométrie affine

Les déplacements de l'espace

• Définition d'une rotation affine
• Définition d'un vissage

Les antidéplacements de l'espace

• Définition d'une antirotation affine

Droites et plans stables par une isométrie affine

Exercices

Résultats importants de géométrie affine

Valeur propre 1 et points fixes

Commutation avec une translation

Décomposition des applications affines

D'après la proposition précédente, les affirmations (2) et (3) du théorème sont équivalentes.

Cas particulier des isométries affines

Les déplacements de l'espace

Démonstration : Soit $f$ un déplacement et $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ l'application linéaire associée. En vertu de la liste des isométries vectorielles , $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est une rotation vectorielle d'angle $\theta \in ℝ/2\pi \mathbb{Z}$. Si est nul, $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est l'identité, donc $f$ est une translation ou l'identité. Sinon, comme $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ admet la valeur propre 1, il y a deux cas :

1. L'application $f$ a un point fixe : dans ce cas elle a toute une droite de points fixes et c'est une rotation ,
2. L'application $f$ n'a pas de point fixe : dans ce cas, elle s'écrit comme composée d'une rotation et d'une translation de vecteur non nul (appartenant à la direction de l'axe de la rotation) qui commutent d'après le théorème de décomposition . C'est alors un vissage .

Définition d'une rotation affine

Soit $D$ une droite, orientée par le choix d'un vecteur $\stackrel{\rightharpoonup }{e}$ non nul de $\stackrel{\rightharpoonup }{D}$, et soit $\theta \in ℝ/2\pi \mathbb{Z}$.

On appelle rotation d'axe orienté $(D,\stackrel{\rightharpoonup }{e})$ et d'angle l'application affine notée $\rho (D,\stackrel{\rightharpoonup }{e},\theta )$ définie par :

1. $\rho (D,\stackrel{\rightharpoonup }{e},\theta )(a)=a$ pour tout point $a$ de $D$,
2. $vv\rho (D,\stackrel{\rightharpoonup }{e},\theta )$ est la rotation vectorielle $\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }$ d'axe $(\stackrel{\rightharpoonup }{D},\stackrel{\rightharpoonup }{e})$ et d'angle .

• Comme $\stackrel{\rightharpoonup }{\rho }$ laisse fixe tous les vecteurs de $\stackrel{\rightharpoonup }{D}$, il suffit d'imposer la relation $\rho (D,\stackrel{\rightharpoonup }{e},\theta )(a)=a$ pour un point $a\in D$.
• La rotation laisse stable tout plan perpendiculaire à son axe et agit dans un tel plan comme une rotation plane de centre le point fixe de la rotation dans ce plan (intersection de l'axe et du plan). Faites un dessin !

Les antidéplacements de l'espace

Théorème : Les isométries négatives de $E$ sont
• les symétries centrales ${\sigma }_a$ où $a$ est un point de $E$,
• les antirotations $\varphi (a,D,\theta )$ de centre $a$, d'axe $D$ et d'angle ,
• les réflexions orthogonales ${\sigma }_H$ où $H$ est un plan
• les réflexions (orthogonales) glissées ${\sigma }_H{t}_{\stackrel{\rightharpoonup }{v}}=t_{\stackrel{\rightharpoonup }{v}}{s}_H$ où $H$ est un plan et où l'on a $\stackrel{\rightharpoonup }{v}\in \stackrel{\rightharpoonup }{H}$, $\stackrel{\rightharpoonup }{v}\ne \stackrel{\rightharpoonup }{0}$.

Démonstration : Les antirotations vectorielles n'ayant pas la valeur propre 1, les applications affines associées ont un unique point fixe et sont donc des antirotations affines .

En revanche, les réflexions ont la valeur propre 1 d'où les deux cas ci-dessus (voir Résultats importants de géométrie affine ).

Définition d'une antirotation affine

Soit $D$ une droite de $E$ que nous orienterons en choisissant un vecteur $\stackrel{\rightharpoonup }{e}$ non nul de $\stackrel{\rightharpoonup }{D}$, soit $a$ un point de $D$ et soit $\theta \in ℝ/2\pi \mathbb{Z}$, $\theta \ne 0,\pi$.

On appelle antirotation de centre $a$, d'axe $(D,\stackrel{\rightharpoonup }{e})$ et d'angle l'application affine $\varphi =\varphi (a,D,\stackrel{\rightharpoonup }{e},\theta )$ définie par :

1. $\varphi (a)=a$

2. $\stackrel{\rightharpoonup }{\varphi }$ est l' antirotation vectorielle d'axe $(\stackrel{\rightharpoonup }{D},\stackrel{\rightharpoonup }{e})$ et d'angle .

Une antirotation est la composée commutative d'une réflexion et d'une rotation.

Tableau des isométries de l'espace

Soit $f$ une isométrie affine dont l'application linéaire associée est $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$. On note $A$ la matrice de $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ dans une base orthonormée directe donnée de l'espace orienté. (Dans la pratique, il n'est pas nécessaire de calculer les valeurs propres de $A$ pour connaître la nature de $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$. Pourquoi ? )

 

	ISOMETRIES POSITIVES			ISOMETRIES NEGATIVES
$\stackrel{\rightharpoonup }{f}$	1 est valeur propre simple. $\stackrel{\rightharpoonup }{D}=\text{Ker}(\stackrel{\rightharpoonup }{f}-\text{Id})$ Le choix d'un vecteur directeur $\stackrel{\rightharpoonup }{e}$ de $\stackrel{\rightharpoonup }{D}$ oriente le plan $\stackrel{\rightharpoonup }{P}={\stackrel{\rightharpoonup }{D}}^{\perp }$. $\stackrel{\rightharpoonup }{D}$ et $\stackrel{\rightharpoonup }{P}$ sont stables par $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$.		1 est valeur propre triple	1 est valeur propre double.	1 n'est pas valeur propre.
	$\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ a une valeur propre réelle. $A$ n'est pas symétrique	$\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ a 3 valeurs propres réelles : 1,-1,-1 $A$ est symétrique	$\stackrel{\rightharpoonup }{f}={\text{Id}}_{\stackrel{\rightharpoonup }{E}}$	$\stackrel{\rightharpoonup }{P}=\text{Ker}(\stackrel{\rightharpoonup }{f}-\text{Id})$ $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ a 3 val. propres réelles : 1,1,-1 $A$ est symétrique	-1 est valeur propre triple	-1 est valeur propre simple. $\stackrel{\rightharpoonup }{D}=\text{Ker}(\stackrel{\rightharpoonup }{f}+\text{Id})$ Le choix d'un vecteur directeur $\stackrel{\rightharpoonup }{e}$ de $\stackrel{\rightharpoonup }{D}$ oriente le plan $\stackrel{\rightharpoonup }{P}={\stackrel{\rightharpoonup }{D}}^{\perp }$. $\stackrel{\rightharpoonup }{D}$ et $\stackrel{\rightharpoonup }{P}$ sont stables par $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ $\stackrel{\rightharpoonup }{f}{}_{\mid }\stackrel{\rightharpoonup }{P}$ est une rotation d'angle distinct de $0$ et
	${\stackrel{\rightharpoonup }{f}}_{\mid \stackrel{\rightharpoonup }{P}}$ est une rotation d'angle distinct de $0$ et .	${\stackrel{\rightharpoonup }{f}}_{\mid \stackrel{\rightharpoonup }{P}}$ $=-{\text{Id}}_{\stackrel{\rightharpoonup }{P}}$
	$\stackrel{\rightharpoonup }{f}=\rho (\stackrel{\rightharpoonup }{D},\stackrel{\rightharpoonup }{e},\theta )$, rotation vectorielle d'axe $\stackrel{\rightharpoonup }{D}$ orienté par $\stackrel{\rightharpoonup }{e}$ et d'angle distinct de $0$ et .	$\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est le demi-tour d'axe $\stackrel{\rightharpoonup }{D}$ ou symétrie par rapport à $\stackrel{\rightharpoonup }{D}$		$\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ est la réflexion vectorielle par rapport à $\stackrel{\rightharpoonup }{P}$	$\stackrel{\rightharpoonup }{f}=-{\text{Id}}_{\stackrel{\rightharpoonup }{E}}$	$\stackrel{\rightharpoonup }{f}=\phi (\stackrel{\rightharpoonup }{D},\stackrel{\rightharpoonup }{e},\theta )$, l' antirotation vectorielle d'axe $\stackrel{\rightharpoonup }{D}$ orienté par $\stackrel{\rightharpoonup }{e}$ et d'angle distinct de $0$ et
$f$ a au moins un point fixe	Les points fixes de $f$ forment une droite $D$ de direction $\stackrel{\rightharpoonup }{D}$. Les plans perpendiculaires à $D$ sont stables par $f$.		Tous les points sont fixes. $f$ est l'identité.	$f$ a un plan $P$ de points fixes de direction $\stackrel{\rightharpoonup }{P}$.	$f$ a un unique point fixe $c$.
	$f$ est la rotation affine d'axe $D$ orienté par $\stackrel{\rightharpoonup }{e}$ et d'angle distinct de $0$ et de .	$f$ est le demi-tour (ou la symétrie) d'axe $D$.		$f$ est la réflexion par rapport à $P$	$f$ est la symétrie centrale de centre $c$.	$f$ est l' antirotation affine de centre $c$, d'axe $c+\stackrel{\rightharpoonup }{D}$ orienté par $\stackrel{\rightharpoonup }{e}$ et d'angle distinct de $0$ et $f=s_P\circ \rho (D,\stackrel{\rightharpoonup }{e},\theta )$ où $P$ est le plan passant par $c$ orthogonal à $D$
$f$ n'a aucun point fixe	$f$ est un vissage . Sa décomposition canonique est : $f=\rho (D,\stackrel{\rightharpoonup }{e},\theta )\circ t_{\stackrel{\rightharpoonup }{u}}$ $=t_{\stackrel{\rightharpoonup }{u}}\circ \rho (D,\stackrel{\rightharpoonup }{e},\theta )$ où $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ est un vecteur non nul de $\stackrel{\rightharpoonup }{D}$.		$f$ est une translation de vecteur non nul.	$f$ est une réflexion glissée . $f=t_{\stackrel{\rightharpoonup }{u}}\circ s_P$ où $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ est un vecteur non nul de $\stackrel{\rightharpoonup }{P}$.	Comme $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ n'admet pas la valeur propre 1, $f$ a un unique point fixe.