Réduction rationnelle des endomorphismes

Soit une forme linéaire appartenant à $W^o$. Pour $b\in W$, puisque $u(b)\in W$ ( $W$ est stable par $u$). Donc, $u^{*}(\lambda )$ est nul sur $W$ et appartient donc à $W^o$.

D'abord $\tilde{\lambda }$ est bien définie car $\lambda (a+w)=\lambda (a)+\lambda (w)=0$. Montrons l'injectivité : si $\tilde{\lambda }(amodW)=0$ pour tout $a\in V$, alors $\lambda (a)=0$ aussi. Montrons la surjectivité : Soit $\tilde{\lambda }$ une forme linéaire de ${\displaystyle V/W}$ dans $K$. Posons $\lambda (a)=\tilde{\lambda }(amodW)$. Alors, on a évidemment $\lambda (a)=0$ pour $a\in W$ et donc appartient à $W^o$.

On a Pour démontrer la dernière égalité, choisissons un supplémentaire $W\prime$ de $W$ dans $V$, la projection $W\prime \to V/W$ est une application linéaire,

• injective car $W\prime \cap W=\{0\}$ ;
• surjective car tout vecteur $v$ est la somme d'un vecteur $w\prime$ de $W\prime$ et d'un vecteur $w$ de $W$ ;

donc un isomorphisme entre $W\prime$ et ${\displaystyle V/W}$. D'où

Par récurrence :

1. On choisit un vecteur $a$ tel que ${\mu }_{u,a}={\mu }_u$.
2. On cherche un supplémentaire $W\prime$ de $W=V_{u,a}$ stable par $u$.
3. On applique l'hypothèse de récurrence à $W\prime$.

Cherchons un sous-espace cyclique dans le dual $V^{}$ de $V$. Pour cela, prenons une forme linéaire qui ne s'annule pas sur $W$ et telle que ${\mu }_{{}^{t}u,\phi }$ soit égal à ${\mu }_u={\mu }_{u,a}$ : par exemple, prenons telle que $\phi (a)=0$, $\cdots$, $\phi (u^{d-2}(a))=0$, $\phi (u^{d-1}(a))=1$ avec $d=°{\mu }_{u,a}=\dim W$. Cela est possible car les vecteurs $a,\cdots ,u^{d-2}(a),u^{d-1}(a)$ forment un système libre.
Note
Calculons ${\mu }_{{}^{t}u,\phi }$.
Si $P\in K[x]$, on a $P{(}^{t}u)(\phi )=\phi \circ P(u)$ et $P{(}^{t}u)(\phi )(b)=\phi \circ P(u)(b)=\phi (P(u)(b))$. Remarquons que si $P=a_{\alpha }{x}^{\alpha }+\cdots +{\alpha }_0$ avec $a_{\alpha }\ne 0$ et $\alpha <d$, on a et donc Donc pour $P$ de degré strictement inférieur à $d$, $P{(}^{t}u)$ est non nul. Donc $°{\mu }_{{}^{t}u,\phi }\ge °{\mu }_{u,a}=°{\mu }_u$. D'autre part, ${\mu }_{{}^{t}u,\phi }$ est un diviseur de ${\mu }_{{}^{t}u}={\mu }_u$. Tout cela implique que ${\mu }_{{}^{t}u,\phi }={\mu }_u$.
On a ainsi trouvé un sous-espace cyclique $Y$ pour ${}^{t}u$, qui est stable par ${}^{t}u$ de polynôme minimal ${\mu }_u$.
Montrons que $W$ est d'intersection nulle avec l'orthogonal $Y^0$ de $Y$.
Soit $b$ un élément de $W$. Il est de la forme $b=P(u)(a)$ avec $°P<d$ ou $P=0$. Supposons $P$ non nul. Pour tout polynôme $Q$, Supposons de plus que $b\in Y^0$. Alors, comme $Q({}^{t}u)(\phi )$ est un élément de $Y$, on a pour tout polynôme $Q$. Prenons $Q=x^{d-1-°P}$. Dans ce cas, $(P{x}^{d-1-°P})({}^{t}u)(\phi )(a)$ est non nul si $P$ est non nul (c'est le coefficient dominant de $P$). Ce qui n'est pas possible. Donc $P=0$ ainsi que $b$.
Une fois démontré que $W\cap Y^0=0$, la comparaison des dimensions implique que $V=W\oplus Y^0$. Et le sous-espace $Y^0$ est stable par $u$.

Il est toujours vrai que $u(V)=u(W_1)+u(W_2)$. Calculons l'intersection de $u(W_1)$ et de $u(W_2)$. On

Supposons qu'on ait deux décompositions $V=V_1\oplus \cdots \oplus V_r=V_1\prime \oplus \cdots \oplus V_s\prime$ d'invariants respectifs ${\mu }_1,\cdots ,{\mu }_r$ et $\mu {\prime }_1,\cdots ,\mu {\prime }_s$. On a ${\mu }_1={\mu }_1\prime$ puisqu'ils sont tous deux égaux au polynôme minimal de $u$. Supposons qu'on ait montré que jusqu'à l'indice $j-1$, ${\mu }_i={\mu }_i\prime$. On désire montrer que ${\mu }_j={\mu }_j\prime$. On applique l'endomorphisme ${\mu }_j(u)$ : (la somme reste directe d'après le lemme). Or ${\mu }_j(u)$ annule $V_k$ pour $k\ge j$. Donc Or les restrictions de $u$ à $V_i$ et à $V_{i\prime }$ sont semblables pour $i<j$ (même matrice dans des bases différentes). Il en est de même pour la restriction de $u$ à ${\mu }_j(u)(V_i)$ et à ${\mu }_j(u)(V_i\prime )$ pour $i<j$. On en déduit que ${\mu }_j(u)(V_j\prime )=0$ et donc que ${\mu }_j$ est un multiple de ${\mu }_j\prime$. En échangeant les rôles, ${\mu }_j\prime$ est aussi un multiple de ${\mu }_j$ et donc que ${\mu }_j={\mu }_j\prime$.

Reprenons la démonstration du théorème.

• Les restrictions de $u$ à $W$ et de $u^{}$ à $Y$ ont même matrice dans les bases respectives $(a,u(a),\cdots u^{d-1}(a))$ et $(\phi ,u(\phi ),\cdots {u^{*}}^{d-1}(\phi ))$.
  
• $W^o$ s'identifie au dual de $Y^o$ grâce à l'application linéaire $\lambda \mapsto {\lambda }_{Y^o}$ qui est une bijection (injection + même dimension). On a donc $V=W\oplus Y^o$, $V^{*}=Y\oplus W^o$ et $(u_{\mid Y^o}{)}^{*}=(u{*}_{\mid W^o})$. On raisonne alors par induction.

Il suffit de remarquer que deux endomorphismes cycliques de même polynôme minimal sont semblables puisqu'ayant même matrice dans des bases convenables.

Nous avons déjà vu que si $V$ est $u$-cyclique, on a ${\chi }_u={\mu }_u$. Réciproquement, supposons que ${\chi }_u={\mu }_u$. Il existe un vecteur $a$ tel que ${\mu }_{u,a}$ est égal à ${\mu }_u$. La dimension de $V_{u,a}$ est égale au degré de . La dimension de $V$ est égale au degré de ${\chi }_u$. Donc $\dim V_{u,a}=\dim V$ et $V=V_{u,a}$.