OEF- Funció derivada --- Introducció ---

Aquest mòdul agrupa de moment 50 exercicis sobre el concepte de derivada d'una funció en un punt, el càlcul de derivades i unes primeres aplicacions.

Aproximació afí 1

Una funció de corba representativa és tal que:

i

Quina és l'aproximació afí de a ?


Aproximació afí 2

Troba un valor aproximat de sabent que:

i


Aproximació afí 3

Sigui la funció definida a per .
Determinar per aproximació afí, un valor aproximat de .

  1. Trobar l'expressió de
  2. Després calculeu i
  3. Deduir un valor aproximat de

Aproximació afí 4

Sigui la funció definida a per .
Determinar per aproximació afí, un valor aproximat de .

  1. Trobar l'expressió de
  2. Després calculeu i
  3. Deduir un valor aproximat de

Aproximació afí 5

Sigui la funció definida a per .
Determinar per aproximació afí, un valor aproximat de .

  1. Trobar l'expressió de
  2. Després calculeu i
  3. Deduir un valor aproximat de

Derivada producte o inversa 1

Sigui la funció definida a per:

Marqueu la o les respostes correctes:



Derivada producte o inversa 2

Calcular per


Derivada producte o inversa 3

Calcular per


Derivada producte o inversa 4

Calcular per


Derivada producte o inversa 5

Calcular per


Derivada d'un quocient 1

Sigui la funció definida a per:

Marqueu les respostes correctes:

Derivada d'un quocient 2

En quins casos podem utilitzar la fórmula ?


Derivada d'un quocient 3

Calcular per


Derivada d'un quocient 4

Calcular per


Derivada d'un quocient 5

Sigui la funció definida a per:

  1. Calcular
  2. Verificar que per a qualsevol ,
    Determinar els reals i
  3. Calcular a partir d'aquesta nova expressió de = +

Derivada de suma o producte per un real 1

Calcular per


Derivada de suma o producte per un real 2

Calcular per


Derivada de suma o producte per un real 3

Calcular per


Derivada de suma o producte per un real 4

Calcular per


Derivada de suma o producte per un real 5

Calcular per


Optimització 1

El con més gran
Es construeix un con dins d'una esfera de centre O i de radi R, com es mostra a la figura.

Volem determinar la distància de manera que el con tingui un volum màxim.

  1. Anomenem .
    Donar l'expressió algebraica de que representa el volum del con en funció de i de R :
    =
  2. Determinar l'altura en funció de R per la qual el volum del con és màxim:
    =
En un disc de radi R, es talla un sector circular de radians.
En unir les dues vores rectes del sector angular restant, es construeix un con.

Volem determinar quin valor de fa màxim el volum del con:

  1. Anomenem l'altura del con.
    Donar l'expressió algebraica de que representa el volum del con en funció de i de R:
    =
  2. Calcular l'altura per la qual el volum del con és màxim:
    =
  3. Expressar , radi de la base del con corresponent a l'altura =
  4. Expressa que la circumferència del sector angular ha de coincidir amb la circumferència de la base del con, per donar un valor exacte de =
Posar "pi" per i "sqrt(a)" per .

Optimització 2

Una caixa de joieria té forma de paral·lelepípede rectangle de base quadrada i un volum de L ( dm3).

El material utilitzat per construir les bases costa € per metre quadrat i l'utilitzat per construir la superfície lateral costa € per metre quadrat.

  1. Expressar el cost en funció del costat (en dm) de la base quadrada:
  2. Deduir la mida de la caixa de manera que el cost sigui mínim.
    Costat de la base: dm
    Altura de la caixa: dm

Optimització 3

El pla està dotat d'un sistema de referència ortonormal .

Considerem una recta no paral·lela als eixos i de pendent negativa que passa pel punt , talla l'eix d'abscisses a i l'eix d'ordenades a .

Determinar l'equació explícita per tal que el triangle tingui una àrea mínima.


Optimització 4

Considerem un quadrat de costat .
Anomenem el punt mitjà de [AB] i el de [AD].
Un punt es desplaça pel segment [AI], anomenem .
Sigui el punt de [BC] tal que el triangle sigui rectangle en .

  1. Determinar en funció de l'àrea del triangle
  2. Quin és el valor de que fa aquesta àrea mínima?
    =
Nota: observa que els triangles i són semblants!

Optimització 5

El parc d'atraccions Totoland ha obert aquest any i ha rebut un total de visitants amb un preu de l'entrada de €.
Un estudi de mercat ha demostrat que si el preu de l'entrada augmenta €, el nombre de visitants disminuirà un 10 %, i que si el preu baixa €, el nombre de visitants augmentarà un 10 %.

Se suposa que l'estudi de mercat s'estén a qualsevol augment o disminució del preu de l'entrada.

Volem determinar quin ha de ser el preu de l'entrada l'any que ve per tal d'aconseguir el màxim d'ingressos:

  1. Expressar els ingressos obtinguts en funció del preu de l'entrada:
    =
  2. Deduir el preu corresponent al màxim d'aquests ingressos:
    =

Derivada d'una funció elemental 1

Calcular per i Posar "sqrt(a)" per .


Derivada d'una funció elemental 2

Calcular per i Posar "sqrt(a)" per .


Derivada d'una funció elemental 3

Calcular per i Posar "sqrt(a)" per .


Derivada d'una funció elemental 4

Calcular per i Posar "sqrt(a)" per .


Derivada d'una funció elemental 5

Calcular per i Posar "sqrt(a)" per .


Derivada d'una funció en un punt 1

Sigui la funció definida a , per : .
Es vol calcular la derivada de en el punt d'abscissa , utilitzant la definició.

  1. Calcular =
  2. Expressar en funció de
  3. Calcular en funció de h:
  4. Deduir el valor de la derivada de en

Derivada d'una funció en un punt 2

Sigui la funció definida a , per : .
Es vol calcular la derivada de en el punt d'abscissa , utilitzant la definició.

  1. Calcular =
  2. Expressar en funció de
  3. Calcular en funció de h:
  4. Deduir el valor de la derivada de en

Derivada d'una funció en un punt 3

Sigui la funció definida a , per : .
Es vol calcular la derivada de en el punt d'abscissa , utilitzant la definició.

  1. Calcular =
  2. Expressar en funció de
  3. Calcular en funció de h:
  4. Deduir el valor de la derivada de en
  5. Completar:
    La tangent a la corba que representa al punt d'abscissa és la recta
    que passa per A(; )
    i que té pendent

    Derivada d'una funció en un punt 4

    Sigui la funció definida a , per : .
    Es vol calcular la derivada de en el punt d'abscissa , utilitzant la definició.

    1. Calcular =
    2. Expressar en funció de
    3. Calcular en funció de h:
    4. Deduir el valor de la derivada de en
    5. Completar:
      La tangent a la corba que representa al punt d'abscissa és la recta
      que passa per A(; )
      i que té pendent

      Derivada d'una funció en un punt 5

      S'ha traçat la gràfica d'una funció i algunes de les seves tangents.
      Llegir gràficament:
      1. =
      2. =
      3. =
      S'ha traçat la gràfica d'una funció .
      Desplaceu el punt A sobre la corba i llegiu gràficament els valors de per completar la següent taula:

      Donar els valors decimals amb 2 decimals o fraccions irreductibles.

      Nombre de solucions i enquadrament 1

      Considerem la funció definida a per :

      Es coneixen i amb .

      Es vol determinar sense calculadora el nombre de solucions de l'equació:

      1. Completar le taula de variació de   sg     0 0     ? ?

      2. Sigui l'arrel no nul·la de . Quin és el signe de ?
      3. Enquadra entre dos enters consecutius:
        < <
      4. Deduir una raonada de
    6. Deduir el nombre de solucions de l'equació

Nombre de solucions i enquadrament 2

Considerem la funció definida a per :

Es coneixen i amb .

Es vol determinar sense calculadora el nombre de solucions de l'equació:

  1. Completar la taula de variació de   sg     0 0    

  2. Deduir el nombre de solucions de

Nombre de solucions i enquadrament 3

Considerem la funció definida a per :

Es coneixen i amb .

Es vol determinar sense calculadora el nombre de solucions de l'equació:

  1. Completar la taula de variació de   sg     0 0 0    

  2. Deduir el nombre de solucions de

Nombre de solucions i enquadrament 4

Considerem la funció definida a per :

Es coneixen i amb .

Es vol determinar sense calculadora el nombre de solucions de l'equació:

  1. Completar les dues primeres línies de la taula de variació de
     
    sg     0 0  
     

  2. Es coneixen i , amb els dos valors de que anul·len la derivada .
    Enquadrar i entre dos enters consecutius:
  3. Deduir els signes de i i completar la darrera línia de la taula de variació.
  4. Deduir el nombre de solucions de

Nombre de solucions i enquadrament 5

Considerem la funció definida a per :

Es coneixen i amb .

Es vol enquadrar a l'interval [;]:

  1. Calcular = i =
  2. Completar la taula de variació de   sg     0 0    

  3. Deduir l'enquadrament buscat:

Signe de la derivada i variació 1

Considerem una funció definida a [ ; ], de la que coneixem la taula de variació:

 
 
 
 

Quin és el signe de

  • a [;]:
  • a [;]:

  • Signe de la derivada i variació 2

    Completar la taula de variació d'una funció derivable a sabent que:

    i

     
    sg     0 0  
         

    Signe de la derivada i variació 3

    Completar la taula de variació d'una funció derivable a sabent que:

    i ,

     
    sg      
     

    Signe de la derivada i variació 4

    Tenim les corbes que representen 4 funcions (en roig) i les de les seves derivades (en blau).

    Associeu la corba de cada funció, amb la de la seva derivada.



    Signe de la derivada i variació 5


    Considerem que la part visible de la gràfica respecta le taula de variació de .

    Marqueu les proposicions correctes:







    Equació de la tangent 1

    Una funció de corba representativa és tal que:

    i

    Escriu l'equació de la tangent a al punt d'abscissa :


    Equació de la tangent 2

    Sigui la funció , de corba representativa , definida a per:
    .
    Escriu l'equació de la tangent a al punt d'abscissa :

    Equació de la tangent 3

    Sigui la funció definida a per :

    Quants punts hi ha a on la tangent té de pendent ?

    Hi ha de on la tangent té de pendent .

    Indiqueu l'abscissa d'aquest punt:

    Indiqueu les abscisses i d'aquests punts amb

    Equació de la tangent 4

    Sigui la funció definida a per i la seva representació gràfica.

    Determinar les coordenades dels punts següents:

    1. A, punt en què té una tangent horitzontal:
      =( , )
    2. B, punt en què té una tangent paral·lela a la recta d'equació =( , )

    Equació de la tangent 5

    Sigui la funció , de corba representativa , definida a per:

    .

    Es tracta de determinar l'equació d'una recta de pendent que sigui tangent a en dos punts diferents.

    1. Quina és l'equació de ?
    2. Quines són les abscisses i amb d'aquests punts de tangència?
      =
      =
    The most recent version


    Description: autopositionnement Premiere S: Fonctions dérivées. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games

    Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, , dérivation dérivée tangente variation approximation affine