Funcions trigonomètriques a 1r de BAT

Funcions trigonomètriques

En aquesta unitat estudiarem les funcions trigonomètriques.

Ja saps que la trigonometria ens permet relacionar els costats i els angles d'un triangle. Però amb les funcions trigonomètriques farem unes passes endavant, ens allunyarem dels triangles i veurem que les funcions trigonomètriques ens permetran modelitzar molts fenòmens de la natura, amb una especial atenció a aquells que són periòdics.
  • Marees
  • Ones de so.
  • Raigs de llum.
  • Òrbites dels planetes.
  • Cordes vibrants.
  • Pèndols.
  • Òrbites de les partícules atòmiques.
Abans de començar pots fer un repàs de:

  • Angles
  • Graus
  • Radians
  • Equivalència entre graus i radians
  • Línies trigonomètriques
imatge

Preparat per començar? Endavant, doncs: Funcions trigonomètriques !!!!!!!!!!!!!!!!

Funcions trigonomètriques

  1. Funció sinus
  2. Funció cosinus
  3. Funció tangent
  4. Funcions inverses de les funcions trigonomètriques
  5. Altres funcions trigonomètriques
  6. Identitats i equacions trigonomètriques

Funció sinus

Anomenem funció sinus a la funció que a cada nombre real x li fa correspondre el valor del sinus de l'angle que mesura x radians, i l'expressem així:

f(x)=sinx

Ara ens toca estudiar aquesta funció. Volem saber com és el seu gràfic i les seves principals característiques.

Podríem començar fent una taula de valors aprofitant les raons trigonomètriques dels principals angles que ja coneixem. Aquí la tens:

raons trigonomètriques

(cosx,sinx)

x (en rad) f(x)=sin(x)
0 0
π60.52 12=0.5
π40.79 220.71
π31.05 320.87
π21.57 1
2π32.09 320.87
3π42.36 220.71
5π62.62 12=0.5
π3.14 0
7π63.67 12=0.5
5π43.93 220.71
4π34.19 320.87
3π24.71 1
5π35.24 320.87
7π45.5 220.71
11π65.76 12=0.5
2π6.28 0

I representant gràficament aquests punts tenim:

I, dibuixant la corba que passa per tots ells, obtenim:

També podem obtenir el gràfic amb l'ajuda del Geogebra:

Mou el punt de color blau (pots fer-ho clicant i arrossegant amb el ratolí) i observa què passa i mira d'entendre-ho.

Característiques de la funció sinus

És important fixar-nos en que qualsevol valor de x té imatge, ja ho has pogut observar en el gràfic de Geogebra. Perquè donat qualsevol nombre real sempre hi ha un angle amb aquesta mesura (en rad, recordem), i aquest angle pot donar poques o moltes voltes, però segur que tindrà sinus. El que passarà és que els valors del sinus, molt sovint, apareixeran repetits.

Per exemple: com que π6+2π=13π6 vol dir que els angles 13π6 i π6 són coterminals, és a dir, tenen el mateix costat final, només que 13π6 ha donat una volta sencera i un tros final de π6. És per això que, tenint el mateix costat final, tindran el mateix sinus:

sin13π6=sinπ6

Passaria el mateix amb els infinits angles que obtindríem després de dues, tres, quatre, ... voltes senceres i un tros final de π6. També amb voltes negatives, és a dir, girant en sentit horari.

...=sin(23π6)=sin(11π6)=sinπ6=sin13π6=sin25π6=...

Ho podem escriure així:

sinπ6=sin(π6+2kπ)k
I el que passa amb π6 passa també amb qualsevol altre valor, per això, de forma general podem escriure:


sinx=sin(x+2kπ)x k k representa el nombre de voltes.


De manera informal podem dir que els valors del sinus es repeteixen cada 2π. I de manera formal diem que:

f(x)=sin(x) és una funció periòdica i el seu període és 2π.

Observa i manipula la figura següent:

Anem ara a fixar-nos en els punts importants de la funció:

Els punts de tall amb l'eix OX es troben en els punts d'abscissa

...,π,0,π,2π,3π,4π,...
Les podem expressar totes de la forma següent:

kπk

Els màxims es troben en els punts d'abscissa

...,π2,5π2,9π2,...
Les podem expressar totes de la forma següent:

π2+2kπk
Els mínims es troben en els punts d'abscissa
...,π2,3π2,7π2,...
Les podem expressar totes de la forma següent:

3π2+2kπk

Així que les característiques de la funció f(x)=sin(x) que ens interessa destacar ara són:

f(x)=sin(x)
  • Domini:
  • Recorregut: [1,1]
  • Funció contínua
  • Funció periòdica de període 2π
  • Funció simètrica respecte l'origen
  • Punts importants
sinus punts importants

El gràfic de la funció sinus es coneix com sinusoide.

Transformacions de la funció sinus

La funció sinus molt sovint apareix combinada amb altres funcions (recorda les operacions amb funcions: multiplicar-les per un nombre, sumar-les, restar-les, multiplicar-les, dividir-les, i la composició de funcions)

Les noves funcions obtingudes fent alguna/es d'aquestes combinacions tenen gràfics relacionats amb el de la funció sinus, per això diem que són transformacions de la funció sinus.

  1. Translació vertical
  2. Dilatació-Contracció vertical
  3. Translació horitzontal
  4. Dilatació-Contracció horitzontal
  5. Altres transformacions

En els apartats anteriors s'han estudiat per separat cadascuna d'aquestes transformacions, però molt sovint apareixen combinades algunes d'elles. Per exemple la funció g(x)=3sin(2x+1).

De forma més general analitzarem funcions amb expressions de la forma:

g(x)=msin(n(x+k))m,n,k

Al gràfic següent pots modificar els valors de k,m,n.

Translació vertical

Començarem amb funcions com g(x)=sin(x)+4 que es pot interpretar com una suma g(x)=f(x)+h(x), on f(x)=sin(x) i h(x)=4.

Només cal observar que la imatge de qualsevol x 0 per la funció g(x) serà la de la funció sin(x) més 4 unitats.

Què provocarà aquest fet en el gràfic de la funció? Doncs, que el gràfic de g(x) estarà format pels punts de sin(x) però desplaçats 4 unitats cap amunt.

De forma més general analitzarem funcions amb expressions de la forma:

g(x)=sinx+kk

Al gràfic següent pots modificar el valor de k i moure el punt blau.

RECORDA

Podem obtenir el gràfic de g(x)=sin(x)+k a partir del de f(x)=sin(x) fent:

una translació vertical cap amuntsik>0 avallsik<0 de k unitats.

Dilatació-Contracció vertical

Començarem amb funcions com g(x)=2sinx que es pot interpretar com el producte d'una funció per una constant g(x)=kf(x), on f(x)=sin(x) i k=2.

Només cal observar que la imatge de qualsevol x 0 per la funció g(x) serà la de la funció sin(x) multiplicada per 2.

Què provocarà aquest fet en el gràfic de la funció? Doncs, que el gràfic de g(x) estarà format pels punts de sin(x) però situats el doble de lluny de l'eix OX. Observa que els punts de tall amb l'eix OX no s'han mogut, perquè el doble de 0 és 0.

De forma més general analitzarem funcions amb expressions de la forma:

g(x)=ksinxk>0

Al gràfic següent pots modificar el valor de k i moure el punt blau x 0.

RECORDA

Podem obtenir el gràfic de g(x)=ksinx a partir del de f(x)=sin(x) fent:

una dilatació (si k>1) o contracció (si 0<k<1) vertical de factor k.

Translació horitzontal

Començarem amb funcions com g(x)=sin(x+2) que es pot interpretar com una composició de funcions g(x)=(fh)(x)=f(h(x)), on f(x)=sin(x) i h(x)=x+2.

Comprovem-ho:

g(x)=(fh)(x)=f(h(x))=f(x+2)=sin(x+2)

Cal observar que la imatge de qualsevol x 0 per la funció g(x) serà la de la funció sin(x) de x 0+2, és a dir del que està 2 unitats a la seva dreta.

Què provocarà aquest fet en el gràfic de la funció? Doncs, que el gràfic de g(x) estarà format pels punts de sin(x) però desplaçats 2 unitats cap a l'esquerra.

De forma més general analitzarem funcions amb expressions de la forma:

g(x)=sin(x+k)k

Al gràfic següent pots modificar el valor de k i moure el punt blau. Mira d'entendre perquè quan k>0 és una translació cap a l'esquerra i quan k<0 ho és cap a la dreta.


RECORDA

Podem obtenir el gràfic de g(x)=sin(x+k) a partir del de f(x)=sin(x) fent:

una translació horitzontal cap a lesquerrasik>0 ladretasik<0 de k unitats.

Dilatació-Contracció horitzontal

Començarem amb funcions com g(x)=sin(2x) que es pot interpretar com la composició de dues funcions g(x)=(fh)(x)=f(h(x)), on f(x)=sin(x) i h(x)=2x.

Comprovem-ho:

g(x)=(fh)(x)=f(h(x))=f(2x)=sin(2x)

Cal observar que la imatge de qualsevol x 0 per la funció g(x) serà la de la funció sin(x) per a 2x 0, és a dir, tindrà la imatge del que està el doble de lluny que ell de l'eix OY.

Què provocarà aquest fet en el gràfic de la funció? Doncs, que el gràfic de g(x) estarà format pels punts de sin(x) però situats la meitat de lluny de l'eix OY. El punt de tall amb l'eix OY no s'ha mogut, perquè la meitat de 0 és 0.

De forma més general analitzarem funcions amb expressions de la forma:

g(x)=sin(kx)k>0

Al gràfic següent pots modificar el valor de k i moure el punt blau. Mira d'entendre perquè quan k>1 és una contracció i quan 0<k<1 és una dilatació, de factor k. En aquests casos tenim la sinusoide però més atapeïda o més allargassada, canvia per tant el període, cosa que en les transformacions anteriors no passava. El període és ara 2πk.

RECORDA

Podem obtenir el gràfic de g(x)=sin(kx) a partir del de f(x)=sin(x) fent:

una contracció (si k>1) o dilatació (si 0<k<1) horitzontal de factor k.

El període de g(x)=sin(kx) és 2πk.

Altres transformacions

Començarem amb la funció g(x)=sin(x).


És molt fàcil veure que la imatge de qualsevol x 0 per la funció g(x) serà la de la funció sin(x) però canviada de signe.

Què provocarà aquest fet en el gràfic de la funció? Doncs, que el gràfic de g(x) estarà format pels punts de sin(x) però situats simètricament respecte de l'eix OX. Els punts de tall amb l'eix OX no s'han mogut.


Al gràfic següent pots moure el punt blau x 0.

RECORDA

Podem obtenir el gràfic de g(x) = -sin x a partir del de f(x)=sin(x) fent:

una reflexió respecte l'eix OX.

Continuarem amb la funció g(x)=sin(x).


És molt fàcil veure que la imatge de qualsevol x 0 per la funció g(x) serà la de la funció sin(x) però de x 0. La imatge dels positius amb g(x) serà la dels negatius amb f(x)=sin(x) i viceversa.

Què provocarà aquest fet en el gràfic de la funció? Doncs, que el gràfic de g(x) estarà format pels punts de sin(x) però situats simètricament respecte de l'eix OY. El punt de tall amb l'eix OY no s'ha mogut.


Al gràfic següent pots moure el punt blau x 0.

RECORDA

Podem obtenir el gràfic de g(x)=sin(x) a partir del de f(x)=sin(x) fent:

una reflexió respecte l'eix OY.

Cal dir que, com has pogut observar, en el cas de la funció f(x)=sin(x) aquestes dues darreres transformacions han donat el mateix resultat. Però per motius diferents. Amb altres funcions (la funció cosinus, per exemple) es podrà veure que les dues transformacions porten a resultats diferents.

Per anar acabant, veurem la funció g(x)=sin(x). En aquest cas només posarem el gràfic. Analitzeu vosaltres què passa.

Finalment veurem la funció g(x)=sinx. També posarem només el gràfic. Analitzeu vosaltres què passa.

En tots dos casos han desaparegut trossos de la funció vermella. Analitza què ha passat.

Funció cosinus

Anomenem funció cosinus a la funció que a cada nombre real x li fa correspondre el valor del cosinus de l'angle que mesura x radians, i l'expressem així:

f(x)=cosx

Com en el cas de la funció sinus volem saber com és el seu gràfic i les seves principals característiques.

Comencem també fent una taula de valors aprofitant les raons trigonomètriques dels principals angles que ja coneixem. Aquí la tens:

raons trigonomètriques

(cosx,sinx)

x (en rad) f(x)=cos(x)
0 1
π60.52 320.87
π40.79 220.71
π31.05 12=0.5
π21.57 0
2π32.09 12=0.5
3π42.36 220.71
5π62.62 320.87
π3.14 1
7π63.67 320.87
5π43.93 220.71
4π34.19 12=0.5
3π24.71 1
5π35.24 12=0.5
7π45.5 220.71
11π65.76 320.87
2π6.28 1

I representant gràficament aquests punts tenim:

Posar l'exercici "Punts del cosinus", encara per fer!!!!

I, dibuixant la corba que passa per tots ells, obtenim:

També podem obtenir el gràfic amb l'ajuda del Geogebra:

Mou el punt de color blau (pots fer-ho clicant i arrossegant amb el ratolí) i observa què passa i mira d'entendre-ho.

Transformacions de la funció cosinus

Les transformacions aplicades a la funció sinus tenen exactament el mateix comportament amb el cosinus. Així que només cal que practiquis.

g(x)=Acos(B(x+C))+DA,B,C,D

Al gràfic següent pots modificar els valors de A,B,C,D.

Característiques de la funció cosinus

Les consideracions que hem fet amb la funció sinus pel que fa al domini i la periodicitat són també aplicables a la funció cosinus.


cosx=cos(x+2kπ)x k k representa el nombre de voltes.

f(x)=cos(x) és una funció periòdica i el seu període és 2π.

Sí que hem de fixar-nos en els punts importants de la funció cosinus:

Els punts de tall amb l'eix OX es troben en els punts d'abscissa

...,π2,π2,3π2,5π2,7π2,9π2,...
Les podem expressar totes de la forma següent:

π2+kπk

Els màxims es troben en els punts d'abscissa

...,2π,0,2π,4π,...
Les podem expressar totes de la forma següent:

2kπk
Els mínims es troben en els punts d'abscissa
...,π,π,3π,5π...
Les podem expressar totes de la forma següent:

(2k+1)πk

Així que les característiques de la funció f(x)=cos(x) que ens interessa destacar ara són:

f(x)=cos(x)
  • Domini: RR
  • Recorregut: [1,1]
  • Funció contínua
  • Funció periòdica de període 2π
  • Funció simètrica respecte l'eix d'ordenades
  • Punts importants
cosinus punts importants

Funció tangent

Anomenem funció tangent a la funció que a cada nombre real x li fa correspondre el valor de la tangent de l'angle que mesura x radians, i l'expressem així:

f(x)=tanx o també f(x)=tgx

Com en el cas de la funció sinus i cosinus volem saber com és el seu gràfic i les seves principals característiques.

Comencem també fent una taula de valors aprofitant les raons trigonomètriques dels principals angles que ja coneixem. Aquí la tens:

raons trigonomètriques

(cosx,sinx)

tanx=sinxcosx

x (en rad) f(x)=tan(x)
0 0
π60.52 330.58
π40.79 1
π31.05 31.73
π21.57
2π32.09 31.73
3π42.36 1
5π62.62 330.58
π3.14 0
7π63.67 330.58
5π43.93 1
4π34.19 31.73
3π24.71
5π35.24 31.73
7π45.5 1
11π65.76 330.58
2π6.28 0

A destacar que, a diferència de les funcions sinus i cosinus, la funció tangent no assigna imatge a tots els nombres reals. Veiem a la taula que π2 i 3π2 no tenen imatge. De fet, hi haurà infinits nombres com aquests. Tots els de la forma π2+kπ,k . Això suposarà un gran canvi en el gràfic d'aquesta funció.

Provem de representar gràficament aquests punts:

Posar l'exercici "Punts del cosinus", encara per fer!!!!

Ara és molt perillós fer passar una línia per tots aquests punts perquè ja hem vist que π21.57 i 3π24.71 no tenen imatge i per tant aquesta funció no pot ser contínua. En aquest cas ens va molt bé el Geogebra perquè amb ell situarem una "infinitat" de punts i podrem veure molt bé com és el gràfic de la funció tangent.

Mou el punt de color blau x 0 (pots fer-ho clicant i arrossegant amb el ratolí) i observa què passa i mira d'entendre-ho. Ja te n'hauràs adonat que les discontinuïtats són asimptòtiques. De fet, en té infinites d'asímptotes. A continuació en pots veure unes quantes.

tangent

Característiques de la funció tangent

Ja hem comentat a l'apartat anterior que, a diferència de les funcions sinus i cosinus, la funció tangent no assigna imatge a tots els nombres reals, π2 i 3π2 no tenen imatge, i n'hi haurà infinits de nombres com aquests. Tots els de la forma π2+kπ,k . Així que mentre el domini de les funcions sinus i cosinus era , ara el domini de la tangent serà:

D f={π2+kπ},k

El que passarà també és que els valors de la tangent apareixeran repetits. Però es repetiran amb amb un període diferent.

Per exemple:

tan7π6=tanπ6

Ara es repeteixen cada mitja volta, és a dir cada π rad.

...=tan(11π6)=tan(5π6)=tanπ6=tan7π6=tan13π6=...

Ho podem escriure així:

tanπ6=tan(π6+kπ),k
I el que passa amb π6 passa també amb qualsevol altre valor, per això, de forma general podem escriure:

tanx=tan(x+kπ)x k k representa el nombre de mitges voltes.


De manera informal podem dir que els valors de la tangent es repeteixen cada π. I de manera formal diem que:

f(x)=tan(x) és una funció periòdica i el seu període és π.

Observa i manipula la figura següent:

Anem ara a fixar-nos en els punts importants, que ara seran només punts de tall amb l'eix OX i discontinuïtats de la funció. És prou evident que no té màxims ni mínims.

Els punts de tall amb l'eix OX es troben en els punts d'abscissa

...,2π,π,0,π,2π,3π,...
Les podem expressar totes de la forma següent:

kπk

Les discontinuïtats es troben en els punts d'abscissa

...,3π2,π2,π2,3π2,5π2,...
Les podem expressar totes de la forma següent:

π2+kπk

Ja hem dit que les discontinuïtats són asimptòtiques i per tant la funció tangent té infinites asímptotes verticals d'equacions:

x=π2+kπk

Així que les característiques de la funció f(x)=tan(x) que ens interessa destacar ara són:

f(x)=tan(x)
  • Domini: {π2+kπ},k
  • Recorregut:
  • Funció creixent
  • Té infinites discontinuïtats asimptòtiques
  • Funció periòdica de període π
  • Funció simètrica respecte l'origen
  • Punts importants
tangent punts importants

Les discontinuïtats asimptòtiques les haguéssim pogut estudiar com fèiem en el tema de límits i continuïtat, analitzem per exemple en x=π2:


  1. f(π2)=tan(π2)=sin(π2)cos(π2)=10=
  2. lim xπ2f(x)=lim xπ2tanx=lim xπ2sinxcosx=sin(π2)cos(π2)=10=

    I, per tant, caldria fer límits laterals per tenir més informació de l'asímptota.

    • per l'esquera: lim xπ2 f(x)=lim xπ2 tanx=lim xπ2 sinxcosx=sin(π2 )cos(π2 )=10 +=+

    • per la dreta: lim xπ2 +f(x)=lim xπ2 +tanx=lim xπ2 +sinxcosx=sin(π2 +)cos(π2 +)=10 =

Funcions inverses de les funcions trigonomètriques

Funció inversa

Donada una funció f, la funció inversa de f és una altra funció, que representem per f 1, que desfà l'acció que ha fet f.

imatge imatge

Per exemple, si tenim una funció f que al 3 li assigna el 8, la seva funció inversa f 1 al 8 li assignarà el 3, Dit d'una altra manera, si la funció f passa pel punt (3,8), la seva funció inversa f 1 passarà pel punt (8,3).

També, si tenim una funció f que assigna imatges multiplicant per 3, és a dir, f(x)=3x, la seva funció inversa f 1 assignarà imatges dividint per 3, és a dir, f 1(x)=x3.

Concretant, això vol dir que si la imatge de 5 per f és 15, la imatge de 15 per f 1 ha de ser 5. Expressant-ho formalment:

f(5)=35=15 i f 1(15)=153=5.

Dit d'una altra manera, quan actua una funció darrera de l'altra (recorda: això és una composició de funcions) sobre el 5 obtenim el mateix 5.

(f 1f)(5)=f 1(f(5))=f 1(15)=5.

També:

(ff 1)(15)=f(f 1(15))=f(5)=15.

I això s'ha de complir no només per al 5 sinó per a qualsevol nombre real x.

(f 1f)(x)=f 1(f(x))=f 1(3x)=3x3=x.

També:

(ff 1)(x)=f(f 1(x))=f(x3)=3x3=x.

DEFINICIÓ

Diem que una funció f 1 és la inversa d'una altra f quan es compleixen:

  • (f 1f)(x)=x
  • (ff 1)(x)=x

Cal tenir en compte que hi ha funcions que no tenen inversa. I que si una funció f té inversa, la inversa d'aquesta inversa és la mateixa f. Ès a dir: (f 1) 1=f.

Càlcul de la funció inversa

En els casos més senzills podem trobar la funció inversa directament.

EXEMPLE

Troba la funció inversa de f(x)=4x. Després comprova que (f 1f)(x)=x i (ff 1)(x)=x.

Solució

Exercici: Càlcul de la funció inversa - I

Pot ser que ens interessi comprovar si una funció és inversa d'una altra.

EXEMPLE

Quina de les funcions g(x) o h(x) és la funció inversa de f(x)=6x6.

g(x)=x66h(x)=6x+6

Solució

Quan l'expressió de la funció f és més complexa, no és tan fàcil trobar l'expressió de la inversa. En aquests casos podem seguir els següents passos:

  1. Igualar l'expressió de la funció f(x) a y.
  2. Aïllar la x a la igualtat anterior.
  3. Canviar x per y i viceversa.
EXEMPLE

Troba la inversa de la funció f(x)=.

Solució

Si ens demanen que després de trobar la funció inversa comprovem que ho és, hem de comprovar, tal com hem fet als dos primers exemples, que:

(f 1f)(x)=x i (ff 1)(x)=x

Gràfic de la funció inversa

Ara ens interessa veure quina relació hi ha entre el gràfic d'aquestes dues funcions, f i f 1. Començarem dient que si f passa pel punt (5,15), llavors f 1 passa pel punt (15,5). És a dir, el punt amb les mateixes coordenades però canviades d'ordre. I això què suposarà pel que fa al gràfic?

En el gràfic següent s'ha construït un punt B amb les mateixes coordenades que un altre A però canviades de lloc. Mou el punt blau A i te n'adonaràs quina relació hi ha.

Així, doncs, podem dir que els gràfics de les funcions f i f 1 són simètrics respecte de la bisectriu del primer i tercer quadrants (la recta d'equació y=x).

imatge

Quines funcions no tenen inversa?

Ja hem dit que no totes les funcions tenen inversa. Però, quines són les que no en tenen?

Doncs aquelles que tenen algun/s valor/s de la variable dependent amb més d'una antiimatge. Perquè la seva inversa assignaria a aquest valor més d'una imatge i recordem que les funcions a cada valor de la variable independent els hi assignen un ÚNIC valor de la variable dependent.

Això ho podem veure en qualsevol de les formes en que pot venir donada una funció. En forma de taula.

x-123589
f(x)3-51320

Observa que el 3 té dues antiimatges, el -1 i el 5. Llavors f 1 li assignaria, al 3, dues imatges i per tant no seria funció. Diem que f no té inversa, f 1. El mateix passa en les següents situacions:

g(x)={(1,9),(2,13),(3,15),(4,15),(5,12),(6,10)} imatge
g 1 h 1

Són especialment interessants els casos en que la funció ens la donen en forma de gràfic o de fórmula. Els analitzem conjuntament.

Donada la funció f(x)=x 2. En intentar trobar la inversa fem: y=x 2x=±yy=±x i això ja ens indica que f 1, qualsevol x + tindria dues imatges i això no pot ser.

Analitzem-ho ara gràficament. Saps molt bé que el gràfic de la funció f(x)=x 2 és la paràbola següent, i el gràfic de la inversa hauria de ser el que veus, però ... clar, no seria funció!!

La idea és la següent: si es pot dibuixar alguna línia recta horitzontal que talli el gràfic de la funció f en més d'un punt, llavors la funció f no té inversa. És a dir, f 1.

Dit d'una altra manera, si totes les línies rectes horitzontals que es poden dibuixar tallen el gràfic de la funció f com a màxim en un punt, llavors la funció f té inversa. És a dir, f 1.

Però les funcions que no tenen inversa podem desfer-les en trossos de manera adequada per tal que en cada tros sí que tinguin inversa. I, com ho fem això de fer trossos d'una funció? Doncs, restringint el domini. Agafant una part només del domini inicial de la funció. És per això que aquestes inverses s'anomenen inversa parcial o inversa local .

En el cas de la funció anterior f(x)=x 2 faríem el següent:

imatge imatge
g 1 h 1


La funció arc cosinus

La funció arc cosinus és la funció inversa de la funció cosinus. És a dir:

f(x)=cos(x)f 1(x)=arccos(x)

f(x)=arccos(x)f 1(x)=cos(x)

cos 1(x)=arccos(x)

arccos 1(x)=cos(x)

Són diferents maneres d'expressar aquesta idea. Aprofitem per dir que moltes calculadores utilitzen l'expressió cos 1, i molts programes d'ordinador acos(x).

Però, pot ser hem anat massa de pressa!!! Primer ens hauríem d'haver plantejat si la funció cosinus té inversa!!!!

Ja deus haver observat que no en té, és de les que té inversa local o inversa parcial, són les que hem de restringir el domini per tal que tinguin inversa.

Arrossega el punt A, en el gràfic següent, i te n'adonaràs que el gràfic simètric de la funció f(x)=cos(x) respecte la recta y=x no correspondria a una funció.

Per tant, cal fer una restricció en el domini de la funció cosinus per tal que això no passi.

Ens quedem amb el tros 0xπ=[0,π]

Si haguéssim fet taula de valors tindríem:

x f(x)=arccos(x)
1 π3.14
320.87 5π62.62
220.71 3π42.36
12=0.5 2π32.09
0 π21.57
12=0.5 π31.05
220.71 π40.79
320.87 π60.52
1 0

Finalment podem fer un recull de les característiques d'aquesta funció.

f(x)=arccos(x)
  • Domini: [-1, 1]
  • Recorregut: [0,π]
  • És una funció contínua
  • És una funció decreixent
  • Punts importants
arccosinus_punts_importants

La funció arc tangent

La funció arc tangent és la funció inversa de la funció tangent. És a dir:

f(x)=tan(x)f 1(x)=arctan(x)

f(x)=arctan(x)f 1(x)=tan(x)

tan 1(x)=arctan(x)

arctan 1(x)=tan(x)

Són diferents maneres d'expressar aquesta idea. Aprofitem per dir que moltes calculadores utilitzen l'expressió tan 1, i molts programes d'ordinador atan(x).

Però, pot ser hem anat massa de pressa!!! Primer ens hauríem d'haver plantejat si la funció tangent té inversa!!!!

Ja deus haver observat que no en té, és de les que té inversa local o inversa parcial, són les que hem de restringir el domini per tal que tinguin inversa.

Arrossega el punt X, en el gràfic següent, i te n'adonaràs que el gràfic simètric de la funció f(x)=tan(x) respecte la recta y=x no correspondria a una funció.

Per tant, cal fer una restricció en el domini de la funció tangent per tal que això no passi.

Ens quedem amb el tros π2<x<π2=(π2,π2)

Si haguéssim fet taula de valors tindríem:


x f(x)=arctan(x)
31.73 π31.05
1 π40.79
330.58 π60.52
0 0
330.58 π60.52
1 π40.79
31.73 π31.05

Finalment podem fer un recull de les característiques d'aquesta funció.

f(x)=arctan(x)
  • Domini: (,+)=
  • Recorregut: (π2,π2)
  • És una funció contínua
  • És una funció creixent
  • Punts importants
arctangent_punts_importants

Fixa't que aquestes assímptotes horitzontals ens indiquen:

  • lim xf(x)=lim xarctanx=π2
  • lim x+f(x)=lim x+arctanx=π2

La funció arc sinus

La funció arc sinus és la funció inversa de la funció sinus. És a dir:

f(x)=sin(x)f 1(x)=arcsin(x)

f(x)=arcsin(x)f 1(x)=sin(x)

sin 1(x)=arcsin(x)

arcsin 1(x)=sin(x)

Són diferents maneres d'expressar aquesta idea. Aprofitem per dir que moltes calculadores utilitzen l'expressió sin 1, i molts programes d'ordinador asin(x).

Però, pot ser hem anat massa de pressa!!! Primer ens hauríem d'haver plantejat si la funció sinus té inversa!!!!

Ja deus haver observat que no en té, és de les que té inversa local, són les que hem de restringir el domini per tal que tinguin inversa.

Arrossega el punt A, en el gràfic següent, i te n'adonaràs que el gràfic simètric de la funció f(x)=sin(x) respecte la recta y=x no correspondria a una funció.

Per tant, cal fer una restricció en el domini de la funció sinus per tal que això no passi. Ens quedem amb el tros π2xπ2

Si haguéssim fet taula de valors tindríem:

x f(x)=arcsin(x)
1 π21.57
320.87 π31.05
220.71 π40.79
12=0.5 π60.52
0 0
12=0.5 π60.52
220.71 π40.79
320.87 π31.05
1 π21.57

Finalment podem fer un recull de les característiques d'aquesta funció.

f(x)=arcsin(x)
  • Domini: [-1, 1]
  • Recorregut: [π2,π2]
  • És una funció contínua
  • És una funció creixent
  • Punts importants
arcsinus_punts_importants

Altres funcions trigonomètriques

Cotangent

Recorda que cotα=1tanα=cosαsinα

Anomenem funció cotangent a la funció que a cada nombre real x li fa correspondre el valor de la cotangent de l'angle que mesura x radians, i l'expressem així:

f(x)=cotx

També volem saber com és el seu gràfic i les seves principals característiques.

Comencem també fent una taula de valors aprofitant les raons trigonomètriques dels principals angles que ja coneixem. Aquí la tens:

raons trigonomètriques

(cosx,sinx)

cotx=cosxsinx

x (en rad) f(x)=cot(x)
0
π60.52 31.73
π40.79 1
π31.05 330.58
π21.57 0
2π32.09 330.58
3π42.36 1
5π62.62 31.73
π3.14
7π63.67 31.73
5π43.93 1
4π34.19 330.58
3π24.71 0
5π35.24 330.58
7π45.5 1
11π65.76 31.73
2π6.28

Com la funció tangent, la funció cotangent no assigna imatge a tots els nombres reals. Veiem a la taula que 0 , π i 2π no tenen imatge. De fet, hi haurà infinits nombres com aquests. Tots els de la forma kπ,k . Això suposarà que aquesta funció també tindrà discontinuïtats.

Provem de representar gràficament aquests punts:


Posar l'exercici "Punts del cosinus", encara per fer!!!!

Ara és molt perillós fer passar una línia per tots aquests punts perquè ja hem vist que 0 , π i 2π no tenen imatge i per tant aquesta funció no pot ser contínua. En aquest cas ens va molt bé el Geogebra perquè amb ell situarem una "infinitat" de punts i podrem veure molt bé com és el gràfic de la funció cotangent.

Mou el punt de color blau x 0 (pots fer-ho clicant i arrossegant amb el ratolí o amb les tecles del cursor) i observa què passa i mira d'entendre-ho. Ja te n'hauràs adonat que les discontinuïtats són asimptòtiques. De fet, en té infinites d'asímptotes.

Així que les característiques de la funció f(x)=cot(x) que ens interessa destacar ara són:

f(x)=cot(x)
  • Domini: {kπ},k
  • Recorregut:
  • Funció decreixent
  • Té infinites discontinuïtats asimptòtiques
  • Funció periòdica de període π
  • És simètrica respecte l'origen
  • Punts importants
cotangent punts importants

És important que miris conjuntament els gràfics de les funcions tanx i cotx. Observa que en els punts de tall amb l'eix OX d'una és on hi té les asímptotes verticals l'altra i viceversa.

funcions_tan_cot

Analitzem-ho amb detall utilitzant els límits. Analitzem per exemple f(x)=cotx en x=0 que és un punt de tall de la tangent amb l'eix OX:

  1. f(0)=cot0=1tan0=10=

  2. lim x0f(x)=lim x0cotx=lim x01tanx=1tan0=10=

    I, per tant, caldria fer límits laterals per tenir més informació de l'asímptota.

    • per l'esquera: lim x0 f(x)=lim x0 cotx=lim x0 1tanx=1tan0 =10 =

    • per la dreta: lim x0 +f(x)=lim x0 +cotx=lim x0 +1tanx=1tan0 +=10 +=+

El mateix ens passaria en qualsevol dels punts on s'anul·la la funció f(x)=tanx, que recordem que són x=kπk

Podeu analitzar vosaltres el que li passaria a la funció f(x)=tanx en els punts on s'anul·la la funció f(x)=cotx. Per exemple f(x)=tanx en x=π2 que és un punt de tall de la cotangent amb l'eix OX:

Secant

Recorda que secα=1cosα.

Anomenem funció secant a la funció que a cada nombre real x li fa correspondre el valor de la secant de l'angle que mesura x radians, i l'expressem així:

f(x)=secx

També volem saber com és el seu gràfic i les seves principals característiques.

f(x)=sec(x)
  • Domini: {π2+kπ},k
  • Recorregut: (,1][1,+)
  • Té infinites discontinuïtats asimptòtiques
  • Funció periòdica de període 2π
  • És simètrica respecte l'eix OY
  • Punts importants
secant punts importants

És important que miris conjuntament els gràfics de les funcions secx i cosx. Observa que en els punts de tall amb l'eix OX de cosx és on hi té les asímptotes verticals la secx. I en els punts on cosx=1 també és secx=1

funcions_sec_cos

Analitzem-ho amb detall utilitzant els límits. Analitzem per exemple f(x)=secx en x=π2 que és un punt de tall del cosinus amb l'eix OX:

  1. f(π2)=secπ2=1cosπ2=10=

  2. lim xπ2f(x)=lim xπ2secx=lim xπ21cosx=1cosπ2=10=

    I, per tant, caldria fer límits laterals per tenir més informació de l'asímptota.

    • per l'esquera: lim xπ2 f(x)=lim xπ2 secx=lim xπ2 1cosx=1cosπ2 =10 +=+

    • per la dreta: lim xπ2 +f(x)=lim xπ2 +secx=lim xπ2 +1cosx=1cosπ2 +=10 =

El mateix ens passaria en qualsevol dels punts on s'anul·la la funció f(x)=cosx.

Analitzem ara que val f(x)=secx en els punts on el cosinus val 1. Per exemple, en x=0.

  • f(0)=sec0=1cos0=11=1
És a dir, cos(0) és 1 i sec(0) també és 1. Això és el que passa en tots els 2kπk.

Anàlogament on cosx és 1, secx també és 1. Pots analitzar el cas x=π.

Cosecant

Recorda que cscα=1sinα

Anomenem funció cosecant a la funció que a cada nombre real x li fa correspondre el valor de la cosecant de l'angle que mesura x radians, i l'expressem així:

f(x)=cscx

També volem saber com és el seu gràfic i les seves principals característiques.

f(x)=csc(x)
  • Domini: {kπ},k
  • Recorregut: (,1][1,+)
  • Té infinites discontinuïtats asimptòtiques
  • Funció periòdica de període 2π
  • És simètrica respecte l'origen
  • Punts importants
cosecant punts importants

És important que miris conjuntament els gràfics de les funcions cscx i sinx. Observa que en els punts de tall amb l'eix OX de sinx és on hi té les asímptotes verticals la cscx. I en els punts on sinx=1 també és cscx=1

funcions_csc_sin

Analitzem-ho amb detall utilitzant els límits. Analitzem per exemple f(x)=cscx en x=π que és un punt de tall del sinus amb l'eix OX:

  1. f(π)=cscπ=1sinπ=10=

  2. lim xπf(x)=lim xπcscx=lim xπ1sinx=1sinπ=10=

    I, per tant, caldria fer límits laterals per tenir més informació de l'asímptota.

    • per l'esquera: lim xπ f(x)=lim xπ cscx=lim xπ 1sinx=1sinπ =10 +=+

    • per l'esquera: lim xπ +f(x)=lim xπ +cscx=lim xπ +1sinx=1sinπ +=10 =

El mateix ens passaria en qualsevol dels punts on s'anul·la la funció f(x)=sinx.

Analitzem ara que val f(x)=cscx en els punts on el sinus val 1. Per exemple, en x=π2.

  • f(π2)=csc(π2)=1sin(π2)=11=1
És a dir, sin(π2) és 1 i csc(π2) també és 1. Això és el que passa en tots els x=π2+2kπk.

Anàlogament on sinx és 1, cscx també és 1. Pots analitzar el cas x=π2.

Identitats i equacions trigonomètriques

De les igualtats matemàtiques on apareixen funcions trigonomètriques en diem igualtats trigonomètriques.

Ja saps que tenim dos tipus d'igualtats, les que són certes sempre, posem el que posem al lloc de les variables, i diem que són identitats i les que no són sempre certes, que anomenem equacions, poden ser certes per algun/s valor/s que posem al lloc de les variables, que ara anomenem incògnites.

Per exemple, la igualtat sin 2x+cos 2x=1 saps que és certa sempre, independentment del valor que posem al lloc de la x. És la relació fonamental de la trigonometria. És una identitat trigonomètrica. En canvi, sinx=12 no és sempre certa. És certa si la x la substituïm per π6, o per 5π6. És, per tant, una equació trigonomètrica, i els valors x=π6 i x=5π6 són solucions de l'equació. Però aquesta equació en té moltes més de solucions, més endavant mirarem d'escriure-les totes.

Hi ha equacions que no tenen solució, per exemple: sinx=2. Això vol dir que no hi ha cap valor que puguem posar al lloc de la x que faci certa la igualtat.

Les identitats les hem de demostrar, comprovar o verificar. Les equacions les hem de resoldre.

Ja coneixes moltes identitats trigonomètriques, per exemple les identitats Pitagòriques:

sin 2x+cos 2x=1 tan 2x+1=sec 2x 1+cot 2x=csc 2x

Les relacions entre les raons trigonomètriques:

tanx=sinxcosx cotx=cosxsinx secx=1cosx cscx=1sinx cotx=1tanx

Podríem continuar amb totes les fórmules que relacionen raons trigonomètriques d'angles complementaris, suplementaris, ..., les raons trigonomètriques de la suma d'angles, de la resta, de l'angle doble, ...

Podem utilitzar les identitats per simplificar expressions trigonomètriques. A vegades és possible reescriure una expressió trigonomètrica que sembla complicada d'una altra manera molt més simple. És com si nosaltres haguèssim de trobar una identitat trigonomètrica.

Demostrar identitats trigonomètriques

És fàcil decidir que una igualtat no és una identitat. N'hi ha prou en trobar algun valor que posat al lloc de la variable faci falsa la igualtat.

Per exemple, la igualtat:

sinx+cosx=1
no és una identitat, perquè quan x=π4, tenim que:

sinπ4+cosπ4=1
és fals. Vegem-ho:

sinπ4+cosπ4=22+22=222=21

Recordem que una identitat ha de ser certa per a qualssevol valors que posem al lloc de la variable. Per tant, si en trobem un pel qual no és certa, ja podem afirmar que no és una identitat.

Per a demostrar que una igualtat és una identitat, hem de transformar un membre de la igualtat en l'altre en una sèrie d'etapes, cadascuna de les quals ha de ser una identitat.

RECOMANACIONS
  1. Començar amb un membre. L'objectiu és transformar-lo en l'altre. Normalment és més fàcil començar amb el membre més complicat.
  2. Utilitzar identitats conegudes. Utilitzar l'àlgebra i les identitats que ja coneixes per anar canviant el membre amb el que has començat. Si hi ha fraccions pot ser hauràs de fer les operacions, factoritzar, simplificar, ...
  3. Convertir a sinus i cosinus. Si quedes encallat i no saps què fer, pot ajudar-te canviar totes les funcions trigonomètriques pel seu equivalent en sinus i cosinus.

EXEMPLE 1

Demostra algebraicament la següent identitat:

cost(sectcost)=sin 2t

Solució

A l'exemple anterior hem fet la demostració algebraica, que és la millor. També ens pot ajudar fer una Comprovació gràfica o una Comprovació numèrica . Però com hem dit, la manera correcta de demostrar identitats és la demostració algebraica.

Tornem, doncs, amb més exemples de demostracions algebraiques.

Comprovació gràfica

Aquesta comprovació gràfica consisteix en representar gràficament, amb algun programa d'ordinador, calculadora, ..., els dos membres de la igualtat. Si els gràfics no coincideixen, no és una identitat. Aquesta comprovació gràfica no té el valor de la demostració algebraica perquè podria ser que coincidissin en la part que veiem a la pantalla però no coincidissin en alguna part que en queda fora. I, també, perquè els gràfics, a vegades, ens enganyen.

A continuació pots veure que la igualtat:

sin 2xcos 2x=(sinxcosx) 2

no és una identitat. (Només ens cal posar al lloc adequat cada membre de la igualtat)

De fet, aquí també podríes comprovar si has fet bé una simplificació d'una expressió trigonomètrica. Pots practicar-ho amb la simplificació que s'ha vist a l'Exemple 1 de l'apartat anterior.

cosx+tanxsinx=secx

Comprovació numèrica

Amb la comprovació numèrica, aquí pots veure una identitat que abans hem obtingut en una simplificació.

Aquesta comprovació numèrica té els mateixos perills que la gràfica, podria passar que coincidissin en els valors que posem però no en d'altres. És per això que la manera correcta de demostrar identitats és la demostració algebraica.

Exemple 2

EXEMPLE 2

Demostra la identitat:

2tanαsecα=11sinα11+sinα

Solució

Exemple 3

EXEMPLE 3

Demostra la identitat:

cosu1sinu=secu+tanu

Solució

Exemple 4

EXEMPLE 4

Demostra la identitat:

1+cosαcosα=tan 2αsecα1

Solució

Resoldre equacions trigonomètriques

Ja hem dit que les equacions trigonomètriques són igualtats trigonomètriques que a diferència de les identitats trigonomètriques no són certes per a tots els valors que posem al lloc de la variable.

A les equacions, les variables, les anomenem incògnites.

Ja hem posat l'exemple de sinx=12. És certa si la x la substituïm per π6, o per 5π6. És una equació trigonomètrica, i els valors x=π6 i x=5π6 són solucions de l'equació. Però aquesta equació en té moltes més de solucions, ara mirarem d'escriure-les totes. Aquí, donarem sempre les solucions en radians.

Hi ha equacions que no tenen solució, per exemple: sinx=2. Això vol dir que no hi ha cap valor que puguem posar al lloc de la x que faci certa la igualtat.

Les equacions trigonomètriques acabaran reduïdes a uns tipus bàsics, que són els que veurem en aquests primers exemples. Aquests els podrem fer sense calculadora i trobarem solucions exactes, has de recordar el valor exacte de les raons trigonomètriques dels angles importants de cada quadrant. Pots consultar aquesta Ajuda .

Anem a veure ara equacions també bàsiques però en les que necessitarem calculadora i donarem solucions aproximades.

En cas que l'equació trigonomètrica sigui més complexa, la resolució requereix, en general, la transformació en una altra equació equivalent més senzilla, semblant a una dels tipus bàsics.

També ens podem trobar equacions trigonomètriques on les funcions trigonometriques actuen sobre múltiples d'un angle, per exemple 2x,3x,x2, ... Resoldrem l'equació per aquest múltiple d'angle i finalment trobarem l'angle x dividint o multiplicant.

Altres vegades cal utilitzar identitats trigonomètriques o elevar al quadrat els dos membres per poder resoldre l'equació. En aquest darrer cas, recordeu que s'han de comprovar les solucions.

Ajuda

Circumferència trigonomètrica

raons trigonomètriques

Exemple 1

EXEMPLE 1

Resol l'equació:

sinθ=12

Solució

Exemple 2

EXEMPLE 2

Resol l'equació:

cosθ=22
i dóna vuit solucions concretes.

Solució

Exemple 3

EXEMPLE 3

Resol l'equació:

tanθ=3
i dóna vuit solucions concretes.

Solució

Exemple 4

EXEMPLE 4

Resol l'equació:

cosx=0.28

i dóna quatre solucions concretes aproximades.

Solució

Exemple 5

EXEMPLE 5

Resol l'equació:

tanx=0.58

i dóna quatre solucions concretes aproximades.

Solució

Exemple 6

EXEMPLE 6

Resol l'equació:

sinx=0.57

i dóna quatre solucions concretes aproximades.

Solució

Exemple 7

EXEMPLE 7

Resol l'equació:

cosx=cotx

Solució

Exemple 8

EXEMPLE 8

Resol l'equació:

2cos 2x=7cosx3

Solució

Exemple 9

EXEMPLE 9

Resol l'equació:

5cosxsinx=2sinx

Solució

Exemple 10

EXEMPLE 10

Resol l'equació:

2sin3θ1=0

Solució

Exemple 11

EXEMPLE 11

Resol l'equació:

3tanθ21=0

Solució

Exemple 12

EXEMPLE 12

Resol l'equació:

1+sinθ=2cos 2θ

Solució

Exemple 13

EXEMPLE 13

Resol l'equació:

sin2θcosθ=0

Solució

Exemple 14

EXEMPLE 14

A l'interval [0,2π), resol l'equació:

cosθ+1=sinθ

Solució

Simplificar expressions trigonomètriques

Ja hem dit que simplificar una expressió trigonomètrica és reescriure l'expressió trigonomètrica que sembla complicada d'una altra manera molt més simple.

EXEMPLE 1

Simplifica l'expressió:

cosx+tanxsinx

Solució

EXEMPLE 2

Simplifica l'expressió:

sinθcosθ+cosθ1+sinθ

Solució

  1. Funció sinus
  2. Funció cosinus
  3. Funció tangent
  4. Funcions inverses de les funcions trigonomètriques
  5. Altres funcions trigonomètriques
  6. Identitats i equacions trigonomètriques

funcions, identitats i equacions trigonomètriques.
: , interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

The most recent version