OEF application linéaire --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 17 exercices sur les applications linéaires.

Il comporte deux QCM présentés chacun en deux versions :

Les deux versions utilisent la même liste de questions et chaque question peut exister en plusieurs versions. Pour cette raison, ils peuvent être renouvelés plusieurs fois.

Image and Kernel

Let be the canonical basis of and the endomorphism in whose matrix with respect to the basis is
.

1. Give the rank of . 2. The rank of is . Give a basis of Im( ). 3. Give a basis of Ker( ).



Basis of the image

Let be the canonical basis of and the endomorphism in whose matrix with respect to the basis is

Give a basis of Im( ).


Enter the components of the vectors in the basis of Im( ) in columns.


Basis of Kernel (f)

Let be the canonical basis of and an endomorphism of whose matrix with respect to the basis is

Give a basis of Ker( ).


Enter the components of the vectors in this basis in columns.


Décomposition sur des supplémentaires

Soient une base de . On considère le plan d'équation et la droite engendrée par le vecteur . Décomposez le vecteur comme somme d'un vecteur de et d'un vecteur de .
Entrez les composantes de et dans la base .

Endomorphisme du plan

Il existe endomorphisme(s) du -espace vectoriel tel que

   et   

Endomorphism in the space

There exists endomorphism(s) in which verifies

,     and  

Image d'un plan

Soit l'endomorphisme de donné par

et soit le sous-espace vectoriel engendré par les deux vecteurs et .

L'image de par est . Vous avez trouvé que l'image de par est . Que signifie ce résultat ?

Image d'un plan (avec paramètres)

Soit l'endomorphisme de donné par

Pour quelles valeurs du paramètre l'application linéaire n'est-elle pas un isomorphisme ? (les réponses toujours ou jamais sont admises).

On suppose que . Soit le sous-espace vectoriel engendré par les deux vecteurs

et .

Pour quelles valeurs de , l'image de par est-elle contenue dans une droite ? (les réponses toujours ou jamais sont admises)

Vous avez répondu que l'image de par n'est jamais contenue dans une droite. Pourquoi ?

Vous avez répondu que l'image de par est toujours contenue dans une droite. Pourquoi ?

Vous avez répondu que l'image de par est contenue dans une droite si et seulement si . Pour , qu'est-ce qui est vrai parmi les affirmations suivantes?

Choisissez toujours la réponse la plus complète.

Projection vectorielle

Soient une base de . On considère le plan d'équation et la droite engendrée par le vecteur . Donner la matrice dans la base de la projection vectorielle sur parallèlement à .

Prolongement d'un endomorphisme

On considère les vecteurs de suivants :

Il existe endomorphisme(s) de qui envoi(en)t sur , sur et sur .


Noyau, Image : QCM I

Ce QCM comporte question questions . Mais il s'arrête dès que vous avez fait une erreur.

Question k : Votre réponse :

La bonne réponse :


Noyau, Image : QCM II

Ce QCM comporte questions. Après votre réponse à une question, la bonne réponse et la question suivante s'affichent. Vos réponses seront analysées à la fin.

Question k : Votre réponse :

La bonne réponse :


Injectivité, surjectivité : QCM I

Ce QCM comporte question questions . Mais il s'arrête dès que vous avez fait une erreur.

Question k : Votre réponse :

r[k]

La bonne réponse :


Injectivité, surjectivité : QCM II

Ce QCM comporte questions. Après votre réponse à une question, la bonne réponse et la question suivante s'affichent. Vos réponses seront analysées à la fin.

Question k : Votre réponse :

r[k]

La bonne réponse :


Linéarité : QCM I

Ce QCM comporte question questions . Mais il s'arrête dès que vous avez fait une erreur.

Question k : Votre réponse :

style="color:green;text-align:center;">
La bonne réponse :


Linéarité : QCM II

Ce QCM comporte question questions . Après votre réponse à une question, la bonne réponse et la question suivante s'affichent. Vos réponses seront analysées à la fin.

Question k : Votre réponse :

style="color:green;text-align:center;">
La bonne réponse :


Symétrie vectorielle

Soient une base de . On considère le plan d'équation et la droite engendrée par le vecteur . Donner la matrice dans la base de la symétrie vectorielle par rapport à parallèlement à .

Other exercises on: espaces vectoriels   algèbre linéaire  

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Description: collection d'exercices sur les applications linéaires. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games

Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, algebra, algèbre linéaire,application linéaire, image, injectif, QCM, noyau, surjectif, projection, symétrie