Los números relativos

Guía

Actividades gráficas, comparaciones
- La recta
- El plano
Actividades numéricas, operaciones

La recta

Egiptología y cronología
Leer la abscisa de un punto dado
Ordenar por orden creciente números relativos
Situar un punto, distancia
Distancia y posición con respecto al origen
Localización de puntos de una recta, construyamos el punto

Egiptología y cronología

Para las fechas anteriores a J.C., podemos escribir simplemente "-200" en lugar de "200 antes de Cristo", "-52" en lugar de "52 a.C.".

Indicar sobre esta recta graduada el lugar de los siguientes hechos:

[T] : Reinado de Tutankamón, hacia -1350;
[K] : Construcción de la pirámide de Keops, hacia -2600;
[C] : Muerte de Cleopatra, en -30;
[R] : Reinado de Ramsés II, hacia -1250;
[S] : Inicio del culto a Osiris, hacia -2100;
[A] : Alejandro Magno invade Egipto, hacia -350.

Solución

Para practicar

La fecha -350 es anterior a -200. Por tanto se escribe -350 < -200.

Utilizando la recta graduada, colocar por orden creciente los números siguientes:

-1350 -2600 -30 -1250 -2100 -350

-2600 -2100 -1350 -1250 -350 -30

Para practicar

Leer la abscisa de un punto dado

Recta graduada o eje graduado: Un eje graduado es una recta que tiene un origen y una unidad :

Identificamos cada punto del eje por su abscisa: la abscisa de

A

(+ 1)

, lo que se escribe como

A (+ 1)

Para poder identificar los puntos situados a la izquierda de $O$ , se utilizan nuevos números llamados números negativos. Los números a la derecha de $O$ son números positivos.

La abscisa de

B

(- 2)

Leer la abscisa de unos puntos

Ordenar por orden creciente números relativos

Un número negativo es un número inferior o igual a 0

Comparar números

Ordenar números por orden creciente o decreciente.

Situar un punto, distancia

Situar un punto del que se conoce la abscisa

Determinar la distancia de dos puntos de los que se conoce la abscisa. ¿Qué podemos decir de las distancias

AB

BA

Retendremos la regla siguiente:

La distancia

AB

es igual a la abscisa más grande menos la abscisa más pequeña.

Así, la distancia entre

A (- 8)

B (+ 3)

es igual a 11.

Volveremos sobre las técnicas del cálculo en la parte dedicada a las actividades numéricas, operación sustracción de dos números relativos

Distancia y posición con respecto al origen

Dado el punto

A

que tiene de abscisa 3, ¿a qué distancia está del punto

O

A está a la distancia 3 de O

¿Está a la izquierda o a la derecha del punto $O$ ?

A está a la derecha de O

Dado el punto $D$ de abscisa -3, ¿a qué distancia está del punto $O$ ?

A está a la distancia 3 de O

¿Está a la derecha o a la izquierda del punto $O$ ?

A está a la izquierda de O

Los números 3 y -3 se llaman opuestos, no se diferencian más que por su signo.

- Retendremos la regla siguiente:

Dos números que no difieren más que por su signo se llaman opuestos

¿Qué podemos decir de dos puntos que tienen abscisas opuestas?

Practicar:

Posición con respecto al origen

Posición con respecto a otro punto

Localización de puntos de una recta, construyamos el punto

Recta graduada: Para referirnos a los puntos de una recta, elegimos:
- un origen,
- un sentido, una unidad de longitud.
Abscisa de un punto: Cada punto de una recta graduada está definido por un número relativo llamado abscisa de este punto. El origen tiene de abscisa 0.
Relativo a: Cuando conocemos la abscisa de un punto, conocemos entonces la distancia de dicho punto al punto $O$ (que tiene por abscisa 0), y su posición relativamente al punto $O$ .

Situar un punto del que se conoce la abscisa

El plano

Leer las coordenadas de un punto dado
Situar un punto del que se conocen las coordenadas
Localización de un punto en el plano con una referencia

Leer las coordenadas de un punto dado

Dada una referencia en el plano, leer las coordenadas de un punto.

Ejercicio: Itinerario en el plano

Situar un punto del que se conocen las coordenadas

Dada una referencia en el plano, situar unos puntos.

Localización de un punto en el plano con una referencia

Referencia del plano: Dos rectas graduadas perpendiculares y del mismo origen $O$ , constituyen una referencia del plano.
Coordenadas, abscisas, ordenadas: Podemos indicar la posición de un punto del plano con la ayua de dos números llamados coordenadas de dicho punto.
- El primer número, que sirve de referencia horizontal, se llama abscisa;
- el segundo número, que sirve de referencia vertical, se llama ordenada.
Al eje horizontal se le llama eje de abscisas, al eje vertical se le llama eje de ordenadas

Suma de dos números relativos

Determinamos primero el signo del resultado, y después la parte sin signo como muestran los ejemplos que siguen:

Suma de dos números relativos del mismo signo
Ejemplo
- $(+ 5) + (+ 6) = + 11$ , los dos términos " +5 " y " +6 " son positivos, el resultado es positivo " +11 ". $11$ se obtiene efectuando la suma de los números sin el signo $11 = 5 + 6$ ;
- $(- 5) + (- 6) = - 11$ , los dos números " -5 " y " $- 6$ " son negativos, el resultado es negativo " $- 11$ ". $11$ se obtiene efectuando la suma de los números sin el signo $11 = 5 + 6$ ;
La suma de dos números positivos es un número positivo, la suma de dos números negativos es un número negativo.
Suma de dos números relativos de signos contrarios
Ejemplo
- $(- 1) + (+ 5) = + 4$ , el signo del resultado es positivo " +4 ". La suma tiene el signo del mayor de los dos números sin su signo. Es el signo de " +5 " porque $5 > 1$ . Seguidamente hallamos la diferencia entre el mayor de los dos números sin el signo y el menor de los dos números sin su signo. El número $4$ se obtiene realizando $5 - 1$ ;
- $(+ 1) + (- 5) = - 4$ , el signo del resultado es negativo " -4 ". La suma tiene el signo del mayor de los dos números sin su signo. Es el signo de " -5 " porque $5 > 1$ . Seguidamente hallamos la diferencia entre el mayor de los dos números sin el signo y el menor de los dos números sin su signo. $4$ se obtiene realizando $5 - 1$ ;

Definición (números opuestos): El opuesto de (+a) es (-a); el opuesto de (-a) es (+a).

Teorema (suma de números opuestos): La suma de dos números opuestos es igual a cero. Por ejemplo

(- 14) + (+ 14) = 0

Propiedades de la suma

Si se cambia el orden de los términos de una suma, el resultado no cambia (se dice que la suma es conmutativa).
Ejemplo

$\begin{matrix} (+ 5) + (- 5) & = & 0 \\ (- 5) + (+ 5) & = & 0 \end{matrix}$
Si se agrupan los términos de una suma, el resultado no cambia (se dice que la suma es asociativa).
Ejemplo
$\begin{array}{ccl} A & = & (+ 3) + (- 8) + (- 12) + (- 4) \\ A & = & (- 5) + (- 12) + (- 4) \\ A & = & (- 17) + (- 4) \\ A & = & - 21 \\ B & = & ((+ 3) + (- 12)) + ((- 8) + (- 4)) \\ B & = & (- 9) + (- 12) \\ B & = & - 21 \end{array}$

Ejercicio sobre las reglas

Sustracción de dos números relativos

Definición de la sustracción:

a

b

son dos números relativos. La diferencia

a - b

es el número que es preciso añadir a

b

para obtener

a

Teorema (Sustracción de dos números relativos): Sustraer un número relativo equivale a añadir el opuesto de dicho número.

Dicho de otro modo, sean $a$ y $b$ dos números relativos, se tiene que

a - b = a + opuesto (b)

"Transformamos" la sustracción en una suma. Esto nos remite a las técnicas de cálculo de la suma.

Ejemplo:

\begin{array}{ccl} A & = & 3 - (- 2.5) \\ A & = & 3 + (+ 2.5) \\ A & = & 3 + 2.5 \\ A & = & 5.5 \end{array}

\begin{array}{ccl} B & = & - 0.5 - (- 4) \\ B & = & - 0.5 + (+ 4) \\ B & = & - 0.5 + 4 \\ B & = & 3.5 \end{array}

\begin{array}{ccl} D & = & 1 - (+ 2.5) \\ D & = & 1 + (- 2.5) \\ D & = & 1 - 2.5 \\ D & = & - 1.5 \end{array}

Sobre la escritura simplificada: Con el hábito se pasa directamente de la primera a la tercera línea de cada cálculo.

introducción a los números relativos
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