Résolution d'équations

I Égalité
II Équation
III Problème

Sur la résolution des équations de base

I Égalité

II Équation

III Problème

I Égalité

I Égalité
II Équation
III Problème

Définition [Égalité]

Une égalité est une phrase mathématique dans laquelle il y a un signe égal. Cette égalité peut être vraie ou fausse.

Exemple

Soit $t$ la taille du professeur. L'égalité $t = 184$ cm est vraie !
Soit $m$ la masse du professeur. L'égalité $m = 24$ kg est (heureusement) fausse.

Une égalité peut être écrite avec un nombre inconnu, le plus souvent désigné par une lettre, par exemple

2 x + 24 = 10 x

. Tester l'égalité, c'est regarder si l'égalité est vraie pour une valeur particulière donnée à

x

Exemple [ ]

Gardons l'équation ci-dessus :

2 x + 24 = 10 x

. L'égalité est-elle vraie si

x = 9

? si

x = 3

Quand $x = 9$ , on donne 9 comme valeur particulière de $x$ dans l'égalité précédente. On calcule séparément la valeur des membres de gauche et de droite de l'égalité avec cette valeur particulière.
$2 x + 24 = 2 \times 9 + 24$ , soit 42 et pour l'autre membre, $10 x = 10 \times 9$ soit 90. Les nombres 42 et 90 ne sont pas égaux donc l'égalité est fausse pour $x = 9$ . On dit aussi que 9 n'est pas solution de l'équation.
Faisons le même travail pour $x = 3$ .
Pour le membre de gauche : $2 x + 24 = 2 \times 3 + 24$ soit 30. Et pour l'autre membre, $10 x = 10 \times 3$ soit 30. Quand $x = 3$ , les deux membres sont égaux ; on dit que 3 est solution de l'équation. Mais qu'est-ce qu'une équation ?

Résolution d'équations → I Égalité

Définition [Équation]

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu désigné par une lettre.

Définition [Résoudre une équation]

Résoudre une équation, c'est déterminer la valeur (ou les valeurs) que doit prendre cette inconnue pour que l'égalité soit vérifiée.

Exercice

[ $•$ ] Quelles valeurs peut-on donner à $x$ pour que l'équation $0 \times x = 0$ soit vraie ?
[ $•$ ] Quelles valeurs peut-on donner à $x$ pour que l'équation $0 \times x = 1$ soit vraie ?

Solution

On peut donner n'importe quelle valeur, il y a une infinité de solution. Plus tard dans la scolarité, on verra d'autres équations qui ont 2, 3 ... solutions.
Il n'y a pas de solution !

On une équation comme le montre les exemples suivants, en retenant les règles générales ci-après :

Proposition

On ne change pas les solutions d'une équation quand :

On additionne un même nombre à ses deux membres ;
On soustrait un même nombre à ses deux membres ;
On multiplie par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;
On divise par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;

II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

Résolution d'équations → II Équation

II-1 Premier exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

u - 14 = 20

, on procède ainsi :

\begin{matrix} u - 14 & = & 20 \\ u - 14 + 14 & = & 20 + 14 \\ u & = & 34 \end{matrix}

La solution de l'équation est

u = 34

Résolution d'équations → II Équation → II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

f + 2 = 13

, on procède ainsi :

\begin{matrix} f + 2 & = & 13 \\ f + 2 - 2 & = & 13 - 2 \\ f & = & 11 \end{matrix}

La solution de l'équation est

f = 11

Résolution d'équations → II Équation → II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

4 g = 12

, on procède ainsi :

\begin{matrix} 4 g & = & 12 \\ \frac{4 g}{4} & = & \frac{12}{4} \\ g & = & 3 \end{matrix}

La solution de l'équation est

g = 3

Résolution d'équations → II Équation → II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

\frac{k}{6} = 12

, on procède ainsi :

\begin{matrix} \frac{k}{6} & = & 12 \\ \frac{k}{6} \times 6 & = & 12 \times 6 \\ k & = & 72 \end{matrix}

La solution de l'équation est

k = 72

Résolution d'équations → II Équation → II-4 Quatrième exemple

III Problème

I Égalité
II Équation
III Problème

Il y a trois étapes à respecter pour la rédaction des résolutions des problèmes :

Si elle n'est pas imposée par l'énoncé, le choix de l'inconnue. Généralement, soit $x$ ce que l'on cherche .
Mise en équation du problème et sa résolution.
Conclusion par une phrase au problème posé.

Exercice

Le père d'Augustin a neuf fois l'âge de son fils et si l'on ajoute 21 à la somme de leur âge, on trouve un 51.

Solution

Choix de l'inconnue Soit $x$ l'âge d'Augustin.
- Mise en équation Le père d'Augustin a neuf fois son âge, donc son âge est de : $9 x$ ;
  La somme de leur âge est donc de $9 x + x = 10 x$ .
  Si on ajoute 21 à la somme de leur âge, on trouve 51, d'où l'équation $10 x + 21 = 51$
- Résolution
  $\begin{matrix} 10 x + 21 & = & 51 \\ 10 x & = & 51 - 21 \\ 10 x & = & 30 \\ x & = & \frac{30}{10} \\ x & = & 3 \end{matrix}$
Augustin a donc 3 ans. (Bonus : son père a 27 ans !)

Résolution d'équations → III Problème

document sur la signification d'une équation et sur sa résolution (niveau élémentaire).
: equations, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne sont pas des fichiers HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE. Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.