DOC Etude de signes
Etude de signes
1. Pourquoi a-t-on besoin d'étudier le signe d'une expression ?
Les questions pour lesquelles on a besoin d'étudier le signe d'une expression sont principalement de trois types :
- Pour déterminer le sens de variation d'une fonction
, on étudie le signe de sa dérivée :
.
Pour interpréter ce signe :
Si
a le signe + sur un intervalle, alors
est croissante sur cet intervalle.
Si
a le signe - sur un intervalle, alors
est décroissante sur cet intervalle.
- Pour déterminer la position par rapport à l'axe des abscisses de la courbe représentant une fonction
, on étudie le signe de
Pour interpréter ce signe :
Si
a le signe +, alors la courbe de
est au dessus de l'axe des abscisses.
Si
a le signe -, alors la courbe de
est en dessous de l'axe des abscisses.
- Pour déterminer la position relative des courbes représentant deux fonctions
et
, on étudie le signe de
Pour interpréter ce signe :
Si
a le signe +, alors la courbe de
est au dessus de celle de
.
Si
a le signe -, alors la courbe de
est en dessous de celle de
.
Il est donc très important,
avant de commencer l'étude du signe, de bien
choisir l'expression dont on va étudier le signe.
Exercice QCM
Exercice avec réponses libres
2. Signe d'une expression de la forme ax + b
Quand une expression est de la forme
, elle s'annule pour UNE valeur de
qui est la solution de l'équation
.
Le signe de
est le
signe de
à droite de la solution de l'équation
et le signe contraire à gauche.
Autrement dit :
|
| (*) |
|
| Signe contraire au signe de
| 0 | Signe de
|
où (*) désigne la solution de l'équation
.
Exemples
Etudier le signe de
en fonction des valeurs de
.
On résout l'équation :
. Cette équation a comme solution
.
Le coefficient de
est -2. Il a le signe -.
Le tableau de signes de
est donc :
Exercice
3. Signe d'une expression de la forme ax2 + bx + c
Une expression de la forme
peut s'annuler en 0, une ou deux valeurs de
selon la valeur du
discriminant =
.
Exemple dans le cas où le discriminant est négatif
Etudier le signe de
en fonction de
.
C'est une expression de la forme
, avec
,
et
.
On calcule donc son discriminant :
.
Le signe de
est donc toujours le signe du coefficient de
, c'est-à-dire le signe -.
Exemple dans le cas où le discriminant est nul
Etudier le signe de
en fonction des valeurs de
.
C'est une expression de la forme
, avec
,
et
.
On calcule donc son discriminant :
.
s'annule pour
Pour tout
différent de , le signe de
est le signe du coefficient de
, c'est-à-dire le signe +.
Exemple dans le cas où le discriminant est positif
Etudier le signe de
en fonction des valeurs de
.
C'est une expression de la forme
, avec
,
et
.
On calcule donc son discriminant :
.
s'annule pour les deux nombres :
et
Les deux racines, en ordre croissant sont donc et .
Pour
extérieur à l'intervalle des racines, le signe de
est le signe du coefficient de
, c'est-à-dire le signe +.
Pour
compris entre et , le signe de
est le signe contraire au signe de
, c'est-à-dire -.
Exercice
4. Signe d'une expression comportant des produits et quotients
Pour étudier le signe d'un produit ou d'un quotient d'expressions, on étudie séparément le signe des différentes expressions, puis on utilise la
"règle des signes" :
-
Les règles sont les mêmes pour multiplication et division.
Ceci se fait souvent sous forme de tableau.
Tableaux de signes avec produits et quotients
Pour étudier le signe d'une expression comportant une ou plusieurs fractions où
figure au dénominateur et éventuellement d'autres termes, il faut réduire l'ensemble au même dénominateur pour n'obtenir qu'une seule fraction.
On étudie ensuite séparément le signe du numérateur et le signe du dénominateur, puis on utilise la règle des signes, comme précédemment.
Exemple
Etudier le signe de l'expression :
.
= 0 pour
x =
-2 x + 2 = 0 pour
x =
x |
| | | | |
|
|
| | + | | | + | | | - | |
-2 x + 2 | | + | | | - | | | - | |
| | + | || | - | || | + | |
Exercice pour revoir la technique de réduction au même dénominateur
Exercice
5. Signe d'une expression avec la fonction exponentielle
Nous nous limiterons à deux types d'expressions :
- celles qui peuvent se transformer en produit d'une exponentielle par un polynôme,
- celles qui peuvent se mettre sous la forme
a ecx + d + b.
Signe du produit d'une exponentielle par un polynôme
L'exponentielle étant toujours strictement positive, le signe de
est le même que le signe de
P(
x).
Si
P(x) est de degré 1 ou 2, on est donc ramené aux cas étudiés dans les § 2 et 3.
Exemples
Etudier le signe de
en fonction des valeurs de
x.
Pour tout
x, on sait que
> 0.
Donc
a le même signe que
.
On doit étudier le signe d'une expression de la forme
ax +
b.
L'équation :
= 0 a comme solution
x =.
Le tableau de signes de
est donc :
Exercice
Signe d'une expression de la forme
a ecx + d + b
Méthode- on commence par regarder si le signe est "évident" en tenant compte du fait que l'exponentielle est strictement positive :
Exemples
Etudier, selon les valeurs de
x, le signe de l'expression :
-9 e() -7.
Pour tout
x, on sait que
e-7x + 2 > 0.
-9
e-7x + 2 et
-7 sont donc tous les deux strictement négatifs.
-9
e() -7 est la
somme de deux nombres strictement négatifs.
Cette expression est strictement négative pour toutes les valeurs de
x.
Dans les autres cas,
on remplace la question du signe par une résolution d'inéquation
(*** >0 pour savoir quand *** a le signe + )
La résolution de cette inéquation se fait en "débobinant" la formule construite à partir de
x.
on devra alors utiliser les formules valables pour tout
B strictement positif :
Exemples
Etudier le signe de
en fonction des valeurs de
x.
Cette expression est la somme d'un terme strictement positif et d'un terme strictement négatif. On ne peut donc pas donner son signe de manière évidente.
On résout l'inéquation :
> 0 qui va nous donner l'intervalle dans lequel le signe de
sera le signe +.
Attention aux changements de sens des inégalités si on multiplie ou divise par un nombre négatif !
> 0
2 e-x + 2 > +2
e-x + 2 >
-x + 2 > ln()
-x > ln() - 2
Le tableau de signes de
est donc :
Exercice
On se limitera ici à l'étude du signe d'expressions de la forme
E =
a ln(
cx +
d) +
b.
Cette étude n'a de sens que dans l'intervalle de définition de cette expression, c'est à dire quand
cx + d > 0.
On remplace, ici encore, la question de l'étude du signe de l'expression
E par la résolution d'une inéquation
E > 0.
Dans un intervalle où
A > 0, on aura à utiliser les équivalences :
Cas particulier :
Exemple avec logarithme
Etudier le signe de l'expression
3ln(-2t-4 ).
L'expression
3ln(-2
t-4 ) est définie si
-2
t-4 > 0, c'est à dire si
t appartient à l'intervalle ] -
; [.
Sous cette condition, on a les équivalences suivantes :
3ln(-2t-4 ) > 0
ln(
-2t-4) >
On applique la règle
:
(I)
-2t-4 > 1
(I)
-2t > 1 +4
On divise par
-2
(en inversant le sens de l'inégalité car on divise par un nombre négatif)
:
(I)
t <
Posons
.
Le tableau de signe de
3ln(-2t-4 ) sur ] - ; [ est :
t |
- | |
|
3ln(-2t-4 ) | + | 0 | - |
Exercice guidé
Exercice