Nombres complexes II
Objectifs
Documents
Voici les documents où vous pourrez travailler le cours.
- F. Liret et D. Martinais, Mathématiques pour le DEUG,
Algèbre 1ère Année (Dunod), chapitre 2
-
A. Denmat et F. Héaulme, Algèbre générale (Dunod), TD 3
et 5
Guide
Histoire
d'Alembert
est le premier à avoir énoncé, sous une forme complète, le théorème fondamental de l'algèbre, souvent nommé simplement de d'Alembert, déjà avancé par Viète et Girard mais qu'ils n'arrivèrent pas à démontrer de façon précise :
Tout polynôme d'une variable complexe, de degré
, admet
racines complexes (éventuellement égales).
(Tiré de
ChronoMath )
Equations dans les nombres complexes
Racines carrées d'un nombre complexe
Exercice :
Racine carrée
On désire trouver la
racine carrée d'un nombre complexe donné de manière algébrique, par exemple
. On cherche donc un nombre complexe
tel que
avec
et
appartenant à .
- On écrit ce que signifie l'équation
en termes de
et de
.
Comme
, l'équation est équivalente au système d'équations
On peut a priori résoudre à partir de ces deux équations.
Mais on va en utiliser une autre qui va simplifier la résolution
- On traduit donc le fait que
ce qui donne
-
Et quand on a la valeur de
et celle de
, que
voulez-vous faire d'autre que d'en déduire la valeur de
et de
en ajoutant et retranchant ces deux équations :
Au fait, voyez-vous une raison a priori pour que ces valeurs soient positives ?
-
Donc,
et
Mais cela ferait 4 solutions !
Ce qui en fait vraiment beaucoup trop, puisque l'équation
a deux solutions.
- Cela vient du fait que l'on n'a pas raisonné par conditions équivalentes. Quelle condition n'a-t-on pas utilisée ?
. Ainsi
et
sont de même signe.
Donc les solutions sont
et en approchant
et .
Equation du second degré dans C
La résolution des équations du second degré est maintenant très simple, une fois que l'on sait trouver
les racines carrées d'un nombre complexe. Par exemple,
résolvons l'équation
Le discriminant est
=
. On
calcule les racines carrées
de
par la méthode précédente :
ou
.
Les racines de l'équation sont alors
En particulier, comme dans le cas réel, l'équation a une racine "double" lorsque le discriminant
est nul.
Exercices sur les racines d'une équation de degré 2
Exercice :
Racines d'un polynôme quadratique
Exercices sur les
racines doubles
Racines et coefficients
Il est important de connaître la relation entre les racines d'une équation de degré 2 et ses racines :
Si
u et
v sont les racines de l'équation
a x2 +
b x +
c=0 avec
a non nul, alors
Exercice :
lien entre racines et coefficients
Exercice :
Que peut-on dire de la différence des racines.
Exercices : Ici, vous devez trouver le polynôme de degré 2 dont les racines sont dessinées :
le polynôme à trouver est à
coefficients complexes
ou à
coefficients réels
Profitez-en pour remarquer comment sont placées les deux racines complexes d'un polynôme à coefficients réels
et faites le mélange suivant
coefficients réels ou complexes
Racines cubiques et plus
Exercice :
Placer les racines cubiques
dans le plan complexe.
Exercice :
Calculer les racines cubiques
Exercice : Placer les racines
quatrièmes
ou
cinquièmes
dans le plan complexe.
Exercice
Exercice :
Calculer les racines carrées de
. En
déduire les valeurs de
et
.
Géométrie
Nombres complexes et géométrie
Exercice :
Résoudre dans
l'équation
z3 -
u (1+
i)
z2+
i u 2 z = 0 où
u est un nombre complexe donné non nul.
Montrer que les racines de cette équation sont les affixes des sommets
d'un triangle rectangle isocèle.
Aide
Une des racines est facile à trouver :
c'est donc en fait une équation du second degré
que vous avez à résoudre !
Exercice :
Trouver l'ensemble des nombres complexes
z tels que les
points d'affixe
1,
z et
1 + z2
soient alignés.
Aide
Ecrire que
est réel.
Exercice :
triangle équilatéral et nombres complexes
Racines n-ièmes de l'unité
Voici les racines
6-ièmes de l'unité dans le plan complexe : avec
,
vous pouvez changer la valeur aléatoirement
ou la choisir vous-même en haut (inférieure à 50).
-
Regarder les différences entre
n pair et impair
-
Essayer successivement des valeurs multiples, par exemple 2, 4, 12 ou 3, 6, 12, 24
et interpréter ce que vous remarquez.
n = 6
Racines de l'unité
Dans les exercices suivants, n'oubliez pas que si
u est une racine de l'unité d'ordre
n, par exemple
,
elle vérifie la relation
Exercices sur les
racines cubiques de l'unité
et sur les
racines cinquièmes de l'unité
Exercices sur des
sommes de racines de l'unité
Pentagone
Exercice :
Dans le plan complexe, on considère le pentagone régulier
standard dont les sommets
sont les racines cinquièmes de l'unité
1,
et
.
-
Montrer que
,
,
et
sont
les racines du polynôme
X4+X3+X2+X+1.
Utiliser l'identité : X^5 - 1=(X-1)(X^4 + X^3 + X^2 + X + 1)
- On pose
et
. Montrer que
et
sont les racines du polynôme
X2 + X - 1. En déduire
les valeurs de
et
.
Calculer la somme \alpha + \beta et le produit \alpha \beta à l'aide de la question 1 .
-
On trace le cercle
C de centre
passant par le point
.
Montrer que
C coupe l'axe des réels aux points
et
.
En déduire une construction du pentagone
régulier
à la règle et au compas. Faites-la avec le module
Règles et compas
et
proposez votre solution dans le forum si vous participez à une classe
(vous pouvez dans ce module sauver le script que vous aurez fait ).
Ecrire l'équation de C en terme d'affixes.