Ce document rédigé pour les étudiants de la licence scientifique générale (L3 pour des futurs professeurs des écoles à l'université Paris-Sud) accompagne une partie du cours de géométrie basé sur l'ouvrage de Daniel Perrin : Mathématiques d'école : nombres, mesures et géométrie publié par Editions Cassini (402 p. ISBN 978-2-84225-158-1) . On y fait référence par ME.
ME exercice 187, 185 renvoie à l'exercice 187 de la nouvelle édition, 185 de la première. De même pour les pages ou les propositions.
ME VI.1. renvoie à la partie 1 du chapitre 6.
Le but de ce document est de décrire les polyèdres convexes semi-réguliers. Dans le problème I de [ME.IX] (page 292, 283 ; corrigé page 388, 374), on montre que les polyèdres décrits ici sont les seuls satisfaisant à la définition.
Pour voir un polyèdre, cliquez sur son nom et soyez patient. Les figures mobiles utilisées pour illustrer ce document sont issues de l' outil polyèdres créé par Bernadette Perrin-Riou sans lien de parenté avec le précédent . En cas de problème avec l'affichage des figures, il faut vérifier la compatibilité entre le navigateur et la version de Java ou changer de navigateur.
Exercice : Explicitez cette définition pour un cube, une pyramide.
On appellera patron du sommet A du polyèdre P une figure plane de toutes les faces aboutissant en A obtenue après découpage selon une arête aboutissant en A et mise à plat.
Voici le patron d'un sommet de cube :
Aidez vous d'un tel patron pour visualiser la règle de la somme des angles.
Une démonstration de cette règle assez évidente visuellement est proposée dans l'annexe du chapitre IX [ME page 298, 280].
La somme des angles en un sommet de cube est 270°.
Une démonstration de cette formule basée sur la formule de Girard est donnée en [ME.IX.2]
Pour un cube, on a : , et .
Pour une pyramide à base pentagonale, on a : , et .
On dit qu'un polyèdre P convexe est régulier si les faces de P sont des polygones réguliers ayant tous le même nombre p de côtés et si en chaque sommet de P aboutissent le même nombre q de faces (ou d'arêtes).
Notation : Un polyèdre régulier est caractérisé par la liste de ses faces (notées par leurs nombres de côtés) en un sommet. On appellera symbole du polyèdre cette liste (voir la définition générale du symbole ). Par exemple, le polyèdre dont toutes les faces sont des triangles qui se groupent par 4 en chaque sommet se note (3,3,3,3) .
Histoire : Les polyèdres convexes réguliers sont aussi appelés solides de Platon (voir [ME.IX. Introduction])
En utilisant la
formule d'Euler
, on détermine à partir du
symbole
d'un polyèdre régulier (ou liste des faces en un sommet) le nombre
de ses sommets,
de ses arêtes,
de ses faces (voir démonstration de [ME.IX.3.3]). Ensuite, il reste à le construire. Le symbole
détermine complètement le polyèdre régulier et son nom dépend du nombre de ses faces :
Le polyèdre (3,3,3) est un
tétraèdre et possède 4
faces
(Le voir et le faire tourner)
.
Le polyèdre (3,3,3,3) est un
octaèdre et possède 8
faces
(Le voir et le faire tourner)
.
Le polyèdre (3,3,3,3,3) est un
icosaèdre et possède 20
faces
(Le voir et le faire tourner)
.
Le polyèdre (4,4,4) est un
cube ou hexaèdre et possède 6
faces
(Le voir et le faire tourner)
.
Le polyèdre (5,5,5) est un
dodécaèdre et possède 12
faces
(Le voir et le faire tourner)
.
Exercices :
Connaître le dual d'un polyèdre régulier permet de retenir son nombre de sommets, le nombre de faces étant indiqué par le nom d'un polyèdre régulier, il suffit de connaître la formule d'Euler pour calculer le nombre d'arêtes. Evidemment, un polyèdre et son dual ont même nombre d'arêtes ( Les nombres de sommets et de faces étant échangés, la formule d'Euler donne le même nombre d'arêtes. ).
polyèdre | dual |
---|---|
tétraèdre (3,3,3) s=4 a=6 f=4 Voir son dual |
|
cube (4,4,4) s=8 a=12 f=6 Voir son dual |
octaèdre (3,3,3,3) s=6 a=12 f=8 Voir son dual |
dodécaèdre (5,5,5) s=20 a=30 f=12 Voir son dual |
icosaèdre (3,3,3,3,3) s=12 a=30 f=20 Voir son dual |
Mémorisez les caractéristiques des polyèdres de Platon !
Un polyèdre régulier est semi-régulier.
Toutes les arêtes ont même longueur et les faces de même type sont isométriques.
Remarque : Pour se débarrasser de la paire de faux jumeaux qui ont même symbole , il faudrait affiner la définition. Mais, pour nos objectifs, cet énoncé suffit.
On gardera ces notations tout au long de ce document : est le nombre de faces aboutissant en un sommet et est le nombre de côtés de la plus petite face. La règle de la somme des angles permet d'affirmer que et sont inférieurs ou égaux à 5.
L'ordre lexicographique est l'ordre utilisé pour ranger les mots dans un dictionnaire. On trie les mots par la première lettre, puis on range ceux qui ont la même première lettre par ordre de la seconde lettre ... Le grand rhombicuboctaèdre admet pour symboles rangés dans l'ordre lexicographique : , , , , , .
Le symbole détermine complètement la combinatoire d'un polyèdre, c'est-à-dire les nombres de ses sommets, arêtes et faces de chaque type (voir ici pour un exemple).
On ne cherche pas à démontrer que le symbole détermine un polyèdre semi-régulier à similitude près.
Si on ajoute à la définition d'un polyèdre semi-régulier une condition du type "tous les sommets sont pareils", le symbole détermine le polyèdre semi-régulier à similitude près, sinon on trouve deux polyèdres différents de symbole (cherchez les différences).
Exemple : Le symbole d'un prisme droit régulier pentagonal est . Celui d'un cuboctaèdre est (3,4,3,4).
Exercice : Symbole d'un polyèdre
Démonstration : Indiquer le nombre de côtés des faces autour des sommets d'une face à nombre impair de côtés (voir [ME page 389, 375]).
Dans le problème "Les polyèdres archimédiens" ([ME page 292, 283]), on recherche les symboles possibles pour des polyèdres semi-réguliers en s'appuyant sur la règle de la somme des angles , la règle de parité et d'autres raisonnements du même type et on montre qu'il en existe au plus 13 en plus des 5 polyèdres réguliers , des prismes et antiprismes . Pour montrer qu'à chacun de ces 13 symboles correspond un polyèdre semi-régulier, il suffit de construire celui-ci. Dans la suite, on verra comment la plupart s'obtient simplement à partir des polyèdres réguliers et on dressera la liste de tous les polyèdres semi-réguliers.
Exercice 1 : Utiliser la règle de la somme des angles et la règle de parité pour faire la liste des seuls symboles possibles vérifiant : et . Même exercice avec , puis . On verra dans la suite de ce document qu'il existe pour chacun de ces symboles un polyèdre semi-régulier.
Exercice 2 : Par un raisonnement analogue à la démonstration de la règle de parité, montrer que, dans les symboles de la forme avec , les entiers et sont nécessairement égaux et déterminer tous les symboles de ce type.
Un antiprisme de base un polygone régulier à côtés ( ) est un polyèdre semi-régulier de symbole .
Un prisme régulier a sommets, arêtes et pour faces : carrés et 2 polygones à côtés. Voici un prisme à base pentagonale : |
Un antiprisme a sommets, arêtes et pour faces : triangles et 2 polygones à côtés. Voici un antiprisme à base octogonale : |
Le sommet est donc remplacé par la face .
Remarques :
Exemple : Tronquer un cube
Soyez patient au téléchargement. Répondez "se fier" ou "autoriser".
Nous allons maintenant énumérer les polyèdres archimédiens . Nous ne justifions pas toutes nos affirmations mais nous nous attachons à décrire les polyèdres pour aider l'imagination. Nous avons choisi de les classer en trois familles qui correspondent à la valeur de , le nombre d'arêtes aboutissant en un sommet, mais aussi à la façon de les obtenir par troncature à partir des polyèdres réguliers.
Les premiers exercices de chaque partie permettent de visualiser les polyèdres ainsi construits en les repérant par leurs symboles.
On verra que les seuls polyèdres semi-réguliers qui vérifient cette hypothèses sont les polyèdres réguliers, le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre.
Soit une arête de et son milieu. Les faces de aboutissant en M sont au nombre de 4 :
Voici la méthode appliquée au patron du sommet d'un octaèdre :
Les faces triangulaires bleues sont portées par les faces de l'octaèdre. Les faces carrées orange sont les bases des pyramides ôtées.
Dans le cas où est semi-régulier sans être régulier, Le polyèdre n'est pas semi-régulier, en effet ses faces à côtés, bases des pyramides ôtées, ne sont pas régulières. Pourtant il existe un polyèdre semi-régulier de même combinatoire (même symbole, mêmes nombres , et ), appelé petit rhombi...
Polyèdres réguliers | Polyèdres semi-réguliers un sommet au milieu de chaque arête |
---|---|
(3,3,3) Tétraèdre régulier 4s 6a 4 triangles |
(3,3,3,3) Octaèdre |
(4,4,4) Cube 8s 12 a 6 carrés |
(3,4,3,4)
Cuboctaèdre
12s 24a 6 carrés et 8 triangles |
(3,3,3,3) Octaèdre 6s 12a 8 triangles |
|
(5,5,5) Dodécaèdre 20s 30a 12 pentagones |
(3,5,3,5)
Icosidodécaèdre
30s 60a 12 pentagones et 20 triangles |
(3,3,3,3,3) Icosaèdre 12s 30a 20 triangles |
On peut rectifier un cuboctaèdre ou un isosidodécaèdre. Les polyèdres obtenus ne sont pas semi-réguliers mais le petit rhombicuboctaèdre et le petit rhombicosidodécaèdre sont les polyèdres semi-réguliers de même combinatoire :
Exercice : Sommets au milieu des arêtes
Soit un polyèdre régulier
admettant s sommets, a arêtes et f faces à n côtés.
Considérons deux points sur chaque arête de
posés de sorte que sur chaque face de
le polygone de sommets les nouveaux points soit régulier (
comment ?
).
Il a donc 2n côtés. Le polyèdre
dont les sommets sont les nouveaux points est appelé polyèdre tronqué de
,
il est semi-régulier par construction. Il a
sommets et
faces à
côtés.
Exemple.
Voyons, sur l'exemple de l'octaèdre, quelle est l'allure d'un sommet du polyèdre . Nous avons tracé le patron d'un sommet S de et, sur les arêtes aboutissant en , posé les sommets de . Par exemple et se trouvent sur l'arête . Les faces hexagonales de sont bleues. Autour du sommet , on a donc deux faces hexagonales et une face à côtés obtenue en tronquant le sommet , ici, c'est un carré.
En chaque sommet de
aboutissent
arêtes, pour obtenir
, on enlève une petite pyramide (on tronque le sommet de
) et
on le remplace par une face à q côtés qui est la base de la pyramide enlevée,
a donc s faces à q côtés.
Le
symbole
de
est
. Comme
vaut au moins
et
au plus
, l'ordre du symbole est bien respecté, la
règle de parité
aussi.
Exemple : Aperçu de l'
octaèdre tronqué
. Son symbole est (4,6,6).
Par la formule d'Euler on obtient le nombre d'arête de qui égale .
Les seuls polyèdres semi-réguliers qui vérifient cette hypothèses sont le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre.
) mais on est embarrassé pour placer les deux sommets sur une arête ( pourquoi ? ). Dans tous les cas, le polyèdre obtenu ne sera pas semi-régulier bien que tous ses sommets aient même aspect. Par exemple, à partir d'un cuboctaèdre, on obtient un polyèdre de symbole . Les polyèdres semi-réguliers qui ont la combinatoire de ces polyèdres tronqués sont les grands rhombi...Quand le polyèdre à tronquer est semi-régulier sans être régulier, par exemple, si en chaque sommet, aboutissent des carrés et des triangles, on ne sait plus à quelle distance tronquer pour que les nouvelles faces soient régulières. En effet, si on tronque à un tiers du sommet, les octogones obtenus sur les faces carrées ne seront pas réguliers ; si on tronque à une distance du sommet (avec longueur des arêtes), les hexagones obtenus sur les faces triangulaires ne seront pas réguliers.
Polyèdres réguliers | Polyèdres semi-réguliers deux sommets par arêtes |
---|---|
(3,3,3) Tétraèdre régulier 4s 6a 4 triangles |
(3,6,6)
Tétraèdre tronqué
12s 18a 4 triangles et 4 hexagones |
(4,4,4) Cube 8s 12 a 6 carrés |
(3,8,8)
Cube tronqué
24s 36a 8 triangles et 6 octogones |
(3,3,3,3) Octaèdre 6s 12a 8 triangles |
(4,6,6)
Octaèdre tronqué
24s 36a 6 carrés et 8 hexagones |
(5,5,5) Dodécaèdre 20s 30a 12 pentagones |
(3,10,10)
Dodécaèdre tronqué
60s 90a 20 triangles et 12 décagones |
(3,3,3,3,3) Icosaèdre 12s 30a 20 triangles |
(5,6,6)
Icosaèdre tronqué
(ballon de football) 60s 90a 12 pentagones et 20 hexagones |
Le dodécaèdre adouci a pour symbole (3,3,3,3,5). Il a 60 sommets, 150 arêtes et pour faces 80 triangles et 12 pentagones.
Pour comprendre le nom d'adouci, il faut imaginer qu'on a pris un cube par exemple et qu'on a adouci ses sommets et ses arêtes par des triangles et obtenu ainsi un cube adouci. Plus précisément, on a 6 faces carrées qui correspondent à celles du cube, 8 faces triangulaires à la place des sommets et 2 faces triangulaires par arête du cube soit en tout 32 triangles. Chaque sommet du cube adouci appartient à une face carrée et une seule (voir le symbole) donc le cube adouci a sommets. Le nombre d'arêtes calculé par la formule d'Euler est .
Exercice : Calculer du dodécaèdre adouci en utilisant les relations entre s, a et f. ( Solution )
Voici l'exemple du dodécaèdre adouci de symbole :
En chaque sommet aboutissent 5 arêtes et chaque arête compte pour 2 sommets donc on a : .
Chaque face triangulaire a 3 sommets et chaque sommet est compté pour 4 triangles (en effet en chaque sommet aboutissent 4 triangles) donc on a : où est le nombre de faces triangulaires.
Chaque face pentagonale a 5 sommets et chaque sommet est compté pour un seul pentagone donc on a : où est le nombre de faces pentagonales.
Le nombre total de faces est donc .
Ecrivons maintenant la formule d'Euler : d'où . On en déduit : , et .