Tous les calculs concernant la loi normale se font en utilisant la
table fournie dans le formulaire du BTS.
La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite est notée
, et ses valeurs se lisent dans la table du formulaire.
Les calculs peuvent se répartir en deux catégories :
- On cherche à calculer une probabilité ; dans ce cas, on aura besoin, au cours du calcul, de faire une lecture directe de la table
- On connait une probabilité, et on cherche ... autre chose (très varié !) ; dans ce cas, ce sera une lecture inverse de la table.
On cherche une probabilité
Lecture directe de la table
Si
est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite :
(0,1), on a :
Loi normale centrée réduite ; calculs utilisant la lecture directe de la table
Les calculs concernant toutes les lois normales se font tous en se ramenant à la loi normale centrée réduite.
En effet, si
suit la loi
(m,), alors
suit la loi
(0,1).
Loi normale ; calculs utilisant la lecture directe de la table
On connait une probabilité et on cherche autre chose...
Lecture inverse de la table
Loi normale centrée réduite ; calculs utilisant la lecture inverse de la table
Loi normale ; calculs utilisant la lecture inverse de la table
Synthèse
Exercice de type BTS
Valeurs positives
Lire dans la table la valeur de
.
La valeur de
se trouve dans la table à l'intersection de la ligne 0.4 et de la colonne 0.08.
On trouve donc :
Valeurs négatives
On utilise la symétrie de la courbe de densité de la loi normale, ce qui donne :
Lire dans la table la valeur de
.
La valeur de
se trouve dans la table à l'intersection de la ligne 0.3 et de la colonne 0.04.
On trouve donc :
Exercice
Formules à utiliser :
=
=
=
=
=
Exemples de calculs variés
T suit la loi
(0 ; 1). Calculer
Exercice
Principe de base :
On introduit la variable aléatoire
T définie par :
qui suit la loi normale centrée réduite.
On traduit la question pour obtenir le calcul d'une probabilité concernant T, et on est donc ramené au cas précédent.
Exemples de calculs variés
X suit la loi
(397 ; 9.4).
Calculer
X suit la loi
(397 ; 9.4), donc la variable aléatoire
T définie par :
suit la loi normale centrée réduite.
P(X > 408.938) =
Exercice
On cherche maintenant un nombre
tel que
soit égal à un nombre
donné (compris entre 0 et 1).
Il s'agit donc d'une lecture "inverse" de la table. Celle-ci se fait différemment selon que la valeur de
est comprise entre 0 et 0.5 ou entre 0.5 et 1.
avec compris entre 0.5 et 1
Déterminer la valeur de
telle que
.
On cherche le nombre 0.67 "à l'intérieur" de la table, et on lit
"en bordure".
On trouve dans la table :
et
.
0.67 est compris entre 0.5 et 0.8413, mais plus proche de 0.6915.
On prendra donc
.
Cas particulier :
Déterminer la valeur de
telle que
.
On trouve dans la table :
et
.
0.51 est compris entre 0.5 et 0.8413, et est exactement au milieu entre ces deux nombres.
On prendra donc
.
avec compris entre 0 et 0.5
On utilise la symétrie de la courbe de densité de la loi normale, ce qui donne :
Déterminer la valeur de
telle que
.
Le nombre 0.33 ne se trouve pas "à l'intérieur" de la table, car il est inférieur à 0.5.
On cherche donc le nombre
.
On a en effet :
On trouve dans la table :
et
.
0.67 est compris entre 0.5 et 0.8413, mais plus proche de 0.6915.
On prendra donc
, d'où
.
Exercice
On sait que T suit la loi normale centrée réduite, on connait une probabilité du type
,
ou
et on cherche a.
Exemples de calculs variés
T suit la loi
(0 ; 1). Déterminer
pour que :
En appliquant la formule = , on obtient :
.
Comme 0.1423 < 0.5, on cherche dans la table en lecture inverse le nombre
.
On lit :
et finalement
Conclusion : P(T < -1.07) = 0.1423
Exercice
On sait que X suit une loi normale, on connait une probabilité et on cherche soit une borne de l'intervalle, soit la moyenne, soit l'écart-type de la loi de X.
Exemple de calcul où on cherche une borne de l'intervalle (ou les deux)
Recherche d'une borne
La variable aléatoire
X suit la loi normale de moyenne
et d'écart-type
.
Déterminer
pour que
suit la loi normale de moyenne 250 et d'écart-type 0.4, donc
suit la loi normale centrée réduite.
D'après l'énoncé,
On obtient donc en soustrayant 250 puis en divisant par 0.4 :
.
Ceci donne
, d'où
Par lecture inverse de la table, on obtient alors :
et enfin :
Conclusion :
Exemple de calcul où on cherche la moyenne de la loi de
Recherche de la moyenne
La variable aléatoire
X suit la loi normale de moyenne
et d'écart-type
.
Déterminer
pour que
suit la loi normale de moyenne
et d'écart-type 16.4, donc
suit la loi normale centrée réduite.
D'après l'énoncé,
On obtient donc en soustrayant
puis en divisant par 16.4 :
.
Ceci donne
, d'où
Par lecture inverse de la table, on obtient alors :
et enfin :
d'où
Conclusion : Si X suit la loi normale de moyenne
et d'écart-type
, on a
Exemple de calcul où on cherche l'écart type de la loi de
Recherche de l'écart type
La variable aléatoire
X suit la loi normale de moyenne
et d'écart-type
.
Déterminer
pour que
.
suit la loi normale de moyenne 489 et d'écart-type
, donc
suit la loi normale centrée réduite.
D'après l'énoncé,
On obtient donc en soustrayant 489 puis en divisant par
:
, c'est à dire
.
On en déduit que
.
Par lecture inverse de la table, on obtient alors :
et enfin :
d'où
Conclusion : Si X suit la loi normale de moyenne
et d'écart-type
, on a
Exercice