DOC Equations différentielles ordre1
Plan du chapitre
Dans les exemples du cours, en cliquant sur
, vous obtiendrez un nouvel exemple avec d'autres valeurs numériques.
Dans le cours et les exemples,
est une fonction de la variable
. Dans les exercices, la variable peut être soit
, soit
.
Remarque concernant l'écriture des réponses aux exercices : entre
et
il faut écrire le signe * de multiplication, ou laisser un espace.
Pour donner la réponse
, on écrira : k*e^(3t) ou k e^(3t), ou encore k exp(3t), mais pas ke^(3t).
Introduction
I. Equations différentielles de la forme
-
Solution générale de l'équation
-
Solution vérifiant une condition initiale
II. Equations différentielles de la forme
-
Théorème fondamental
-
Vérification qu'une fonction donnée est une solution particulière
-
Recherche d'une solution particulière de forme donnée
-
Résolution de l'équation "avec second membre"
-
Conditions initiales
III Equations différentielles de la forme
-
Solution générale de
-
Exemples complets
Introduction
Une équation différentielle du premier ordre est une équation dont l'inconnue est une fonction, et où intervient la dérivée de cette fonction.
Dans ce cours l'inconnue sera une fonction
de la variable
, et sa dérivée sera donc notée
.
Pour savoir si une fonction donnée
est solution ou non d'une équation différentielle
, il suffit donc de remplacer
par
et
par
dans le premier membre de l'équation différentielle et de voir, après simplification, si on retrouve le second membre.
Un exemple :
La fonction
définie par
est-elle solution de l'équation différentielle :
.
La dérivée de
est
.
On a donc :
=
.
On ne retrouve pas le second membre de l'équation différentielle
.
Ceci prouve que la fonction
définie par
n'est pas une solution de
.
Première partie
Equations différentielles de la forme
1. Solution générale de l'équation
Théorème :
L'équation différentielle
admet comme solutions les fonctions
définies par :
où
est une constante réelle quelconque.
Il y a donc une infinité de solutions à cette équation.
Remarque importante : ce théorème permet également de résoudre toutes les équations différentielles de la forme
Un exemple :
désigne une fonction de la variable
Résoudre l'équation différentielle : .
L'équation est équivalente à
.
L'équation différentielle
est de la forme
où
.
Les solutions de sont donc les fonctions
, où
est une constante réelle.
Exercice
2. Condition initiale
Une équation différentielle de la forme
admet une infinité de solutions dépendant d'une constante
.
Parmi celles-ci, il en existe une et une seule qui vérifie une condition initiale de la forme
.
Un exemple :
Résoudre l'équation différentielle :
, puis déterminer sa solution
qui vérifie
.
Les solutions de
sont les fonctions
définies par
, où
est une constante réelle.
est une solution de cette équation, donc
.
La condition
s'écrit donc
.
On en déduit
, puis
.
Donc
Exercice
Deuxième partie
Equations différentielles de la forme
1. Théorème fondamental
Théorème :
désigne une fonction de la variable
Soit
une équation différentielle
et
l'équation différentielle homogène associée à
La solution générale de l'équation
est la somme d'une solution particulière de
et de la solution générale de
La méthode pour trouver la solution générale de
a été étudiée dans la partie I de ce cours.
Selon les sujets, la recherche de la solution particulière peut se présenter sous deux formes :
- une fonction
est donnée dans l'énoncé, et on demande de vérifier que cette fonction est solution de
méthode
- la "forme" de la fonction
est donnée (avec des paramètres
,
...) et on demande de déterminer
,
... pour que
soit solution de
méthode
2. Vérifier qu'une fonction donnée est une solution particulière
Pour vérifier que la fonction
est une solution particulière de l'équation différentielle
:
On commence par calculer la dérivée de
c'est à dire
(et on la simplifie, si possible).
On calcule ensuite
, on le simplifie au maximum et ... on retrouve comme par miracle
.
On en déduit alors que
est une solution particulière de
Un exemple :
Vérifier que la fonction
définie par
est solution de l'équation différentielle :
.
La dérivée de
est
.
On a donc :
=
.
On retrouve bien le second membre de l'équation différentielle
.
Ceci prouve que la fonction
définie par
est une solution particulière de
.
3. Déterminer une solution particulière de forme donnée
Pour trouver une solution particulière
de l'équation différentielle
quand la forme de la fonction
est donnée :
On commence par calculer la dérivée de
:
(et on la simplifie, si possible).
On calcule ensuite
, on le simplifie au maximum en regroupant les termes pour ressembler au maximum à
.
On identifie alors les coefficients entre le résultat trouvé pour
et
. On obtient ainsi un système permettant de trouver les paramètres cherchés.
On les remplace enfin dans l'expression de
pour conclure.
Un exemple :
Déterminer une fonction
de la forme
qui soit une solution particulière de l'équation différentielle :
.
La dérivée de
est
.
On a donc :
=
On identifie avec le second membre de l'équation différentielle
.
En résolvant le système obtenu, on trouve
.
La fonction
est donc une solution particulière de
.
Exercice
4. Résolution de l'équation ay' + by = g(t)
Etapes pour résoudre
:
- écrire l'équation homogène
associée :
- résoudre
: on appelle "solution générale" de
l'ensemble de toutes les solutions de
(dépendant d'une constante
)
- déterminer une solution particulière de
- la solution générale de
est la somme de cette solution particulière (étape 3) et de la solution générale de
(étape 2)
Un exemple :
Résoudre l'équation différentielle
:
, sachant qu'elle admet une solution
de la forme
.
Résolution de l'équation homogène associée
L'équation homogène associée à
est :
.
est équivalente à :
Les solutions de
sont donc les fonctions
, où
est une constante réelle.
Recherche d'une solution particulière de
La dérivée de
est
.
On a donc :
=
On identifie avec le second membre de l'équation différentielle
.
En résolvant le système obtenu, on trouve
.
La fonction
est donc une solution particulière de
.
Solution générale
On ajoute la solution générale de l'équation homogène
, c'est à dire
et une solution particulière de
, c'est à dire
.
La solution générale de
est donc définie par :
.
Exercice
5. Résolution avec condition initiale
Comme dans le cas d'une équation homogène,
une équation différentielle de la forme
admet une infinité de solutions dépendant d'une constante
.
Parmi celles-ci, il en existe une et une seule qui vérifie une condition initiale de la forme
.
En écrivant cette condition, on obtient une équation du premier degré d'inconnue
.
Un exemple :
Résoudre l'équation différentielle
:
, sachant qu'elle admet une solution
de la forme
.
Déterminer ensuite la solution
de
qui vérifie la condition initiale
Résolution de l'équation homogène associée
L'équation homogène associée à
est :
.
est équivalente à :
Les solutions de
sont donc les fonctions
, où
est une constante réelle.
Recherche d'une solution particulière de
La dérivée de
est
.
On a donc :
=
On identifie avec le second membre de l'équation différentielle
.
En résolvant le système obtenu, on trouve
.
La fonction
est donc une solution particulière de
.
Solution générale
On ajoute la solution générale de l'équation homogène
, c'est à dire
et une solution particulière de
, c'est à dire
.
La solution générale de
est donc définie par :
.
Solution
qui vérifie la condition initiale
Puisque
est une solution de
, on peut dire qu'il existe une constante
telle que
soit définie par
.
La condition
s'écrit donc :
, d'où
k = -1.
On en déduit
k =, puis
k =.
En remplaçant
k par sa valeur dans l'expression de
f, on obtient :
Exercice
III. Equations de la forme a(t) y' + b(t) y = g(t)
La seule différence de méthode de résolution entre les équations différentielles de la forme
et celles de la forme
est la résolution de l'équation homogène
.
Tout le reste est similaire.
Méthode de résolution de l'équation homogène
1. Solution générale de a(t) y' + b(t) y = 0
Théorème :
L'équation différentielle
a(t) y' + b(t) y = 0 admet comme solutions les fonctions
y définies par :
, où
k est une constante réelle quelconque et où
G désigne une primitive de
.
Remarque importante : on doit utiliser cette formule dès que les coefficients de
y' et de
y ne sont pas tous les deux constants.
Un exemple :
Résoudre l'équation différentielle
:
y' = 2
t y.
Les coefficients de
y et de
y' ne sont pas tous les deux constants.
L'équation
(E) est équivalente à y' - 2t y = 0.
On cherche une primitive de
.
Une primitive de
est :
G(t) =
ce qui donne comme solutions de
(E) les fonctions
y définies par:
où
k désigne une constante réelle quelconque.
Exercice
Parmi ces solutions, il en existe une et une seule qui vérifie une condition de la forme
f(t0) = y0
Exercice
2. Exercice complet (avec étapes)