Géométrie du plan

I-2-1 Exemples de groupes

Donnons la définition générale d'un groupe :

I-2-2 Groupes : définition

I-2-3 Exemple : les matrices d'ordre 2

Un exemple important pour la géométrie (et pour la physique) sont les groupes de symétrie ou groupes d'isométries.

I-2-4 Groupe de symétrie : un premier contact

I-2-5 Groupe de symétrie : définition

Commençons par des exemples arithmétiques ou numériques : relatifs, réels ou rationnels :

I-2-1-1 Les nombres Soit $K=\mathbb{Z}$ l'ensemble des nombres relatifs ou $K=\mathbb{Q}$ l'ensemble des nombres rationnels ou $K=ℝ$ l'ensemble des nombres réels. Pour tous éléments $x$, $y$, $z$ de $K$

1. $x+y\in K$ ;
2. $(x+y)+z=x+(y+z)$ ;
3. $0+x=x+0=x$ ;
4. il existe un élément $x\prime \in K$ tel que $x+x\prime =x\prime +x=0$.

I-2-1-2 Les racines de l'unité Soit n un entier $\ge 1$. Soit ${\mu }_n$ l'ensemble des nombres complexes

pour $k\in \mathbb{Z}$. C'est aussi l'ensemble des nombres complexes $z$ vérifiant $z^n=1$. Il vérifie pour $z$ dans ${\mu }_n$ et $k$ et $j$ enties

1. $z^k\times z^j=z^{k+j}$ ;
2. $(z^k\times z^j)\times z^r=z^k\times (z^j\times z^r)$ ;
3. $1\times z^k=z^k\times 1=z^k$ ;
4. $z^{-k}\times z^k=1$.

Autrement dit, pour tous éléments $z$, $z\prime$, $z″$ de ${\mu }_n$

1. $z\times z\prime \in {\mu }_n$ ;
2. $(z\times z\prime )\times z″=z\times (z\prime \times z″)$ ;
3. $1\times z=z$ ;
4. il existe un élément $t\in {\mu }_n$ tel que $z\times t=t\times z=1$.

Exercice

Exercice

 

Des manipulations sur trois boules permettent aussi de trouver un groupe :

I-2-1-3 Permutations
(Lire la BD de Stewart : Ah les beaux groupes - les chroniques de Rose Polymath (Belin) )
On a trois boules alignées. On peut ne pas changer leur ordre. C'est l'opération identité $S_0$. On peut changer leur ordre en échangant les deux premières (opération $S_1$ ), en faisant tourner les trois dernières (opération $S_2$) et en effectuant ces opérations successivement. Donner le résultat comme un tableau : si une opération nouvelle apparaît, lui donner un nom ( $S_3$, ...) et la rajouter.  

On appelle ces opérations des permutations de l'ensemble des trois boules.
On note $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ a& b& c\end{array}\right)$ la permutation qui transforme 1, 2, 3 en $a$, $b$, $c$. Par exemple, $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$ est la permutation qui transforme 1, 2, 3 en 2, 3, 1.

Exercice

Enfin, voici un exemple de groupe formé d'applications.

I-2-1-4 Applications Soient les applications suivantes définies sur $ℂ-ℝ$ :

On peut composer ces applications ; donner le résultat comme un tableau : si une application nouvelle apparaît, lui donner un nom et la rajouter. Pouvez-vous vous arrêter ?

Définition

Définition

Si $G$ a un nombre fini d'éléments, on représente la loi sous la forme d'un tableau.

Exercice

Exercice

Une matrice carrée de taille $n$ est un tableau à $n$ lignes et $n$ colonnes. Nous allons regarder le cas où $n=2$. Une matrice carrée $A$ de taille 2 s'écrit alors où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont les coefficients.
On définit des opérations sur l'ensemble $M_2(ℝ)$ des matrices d'ordre 2 à coefficients réels :
Addition :

Exercice

 
Multiplication :

Exercice

 

Exercice

Exercice

 

Définition

On note $\mathrm{Is}=\mathrm{Is}({ℝ}^2)$ l'ensemble des isométries du plan.
Quelques exemples dans le plan :

• l'identité ;
• les rotations ;
• les réflexions par rapport à une droite  ;
• les symétries centrales par rapport à un point .

Nous verrons qu'il y en a d'autres (par exemple, les translations , les symétries glissées ) et nous les trouverons toutes. Celles qu'on vient d'énumérer ont la propriété de laisser fixe un point du plan.

Exercice [Le rectangle]

 
Suite

Exercice [Le triangle équilatéral]

Suite

Exercice [Autres figures]

Définition

Exercice

 

Exercice

Donnons quelques rappels sur le plan complexe et les isométries dans le plan complexe.

• Un nombre complexe s'écrit $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont des réels : $x$ est la partie réelle de $z$, $y$ est la partie imaginaire de $z$.
• Le conjugué $\overline{z}$ de $z=x+iy$ est $x-iy$.
• Le module $\mid z\mid$ de $z$ est $\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{x^2+y^2}$.
• Tout nombre complexe de module 1 s'écrit $\cos \theta +i\sin \theta$ avec $\theta \in ℝ$ unique modulo $2\pi$ : c'est l'argument de $z$ (on peut par exemple prendre entre 0 et $2\pi$). On pose $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$.
• Tout nombre complexe $x+iy$ non nul s'écrit de manière unique $z=r{e}^{i\theta }$ avec $r>0$ et l'argument de $z$. On représente un point du plan par son affixe  : $(x,y)\mapsto z=x+\mathrm{iy}$

I-3-1 Quelques similitudes

I-3-2 Exercices

I-3-3 Indication pour trouver la nature géométrique

Soient $z_A$, $\theta \in ℝ$, $b\in ℂ$, $\lambda \in {ℝ}^{*}$.

• L'application $ℂ\to ℂ,z\mapsto z_A+e^{i\theta }(z-z_A)$ est une rotation de centre $z_A$ (ou $A$) et d'angle  :
  ${\displaystyle z\prime -z_A=e^{i\theta }(z-z_A)}$
• L'application $ℂ\to ℂ,z\mapsto z+b$ est une translation  :
  ${\displaystyle z\prime =z+b}$
• L'application $ℂ\to ℂ,z\mapsto \lambda (z-z_A)+z_A$ est une homothétie de centre $z_A$ (ou $A$) et de rapport  :
  ${\displaystyle z\prime -z_A=\lambda (z-z_A)}$

Représenter chacune de ces transformations.

Exercice

On dit qu'une transformation $f$ conserve les angles si pour tous points $A$, $B$, $C$, les angles de droite $\widehat{(\mathrm{AB},\mathrm{AC})}$ et $\widehat{(f(A)f(B),f(A)f(C))}$ sont égaux.

Exercice

Exercice

Une similitude conserve les rapports de distance : il existe une constante $k$ telle que

Exercice

Exercice

Exercice

Pour trouver la nature géométrique d'une application du plan complexe de la forme où $a$ et $b$ sont des complexes et pour trouver ses éléments caractéristiques :

• Si $a=1$, $f(z)=z+b$ : il s'agit d'une translation de vecteur représenté par $b$.
• Si $a\ne 1$, l'équation $z=\mathrm{az}+b$ en $z$ a une solution ${\displaystyle \frac{b}{1-a}}$ et la transformation $f$ a donc un point fixe $A$ d'affixe $z_A={\displaystyle \frac{b}{1-a}}$. On peut alors écrire
  ${\displaystyle f(z)-z_A=a(z-z_A).}$
  • Si $a$ est réel, $f$ est une homothétie de rapport $a$ et de centre $A$.
  • Si $a$ est un nombre complexe de module 1 et d'argument modulo $2\pi$, $f$ est une rotation d'angle et de centre $A$.
  • Si $a$ est un complexe de module $r$ et d'argument modulo $2\pi$, $f$ est une similitude d'angle , de centre $A$ et de rapport $r$. Dans ce cas, $f$ est le composé d'une homothétie et d'une rotation.

Le plan vectoriel est ${ℝ}^2$. C'est l'ensemble des couples de nombres réels $(x,y)$. On appelle ses éléments des vecteurs. Par exemple, le vecteur nul est $\overrightarrow{0}=(0,0)$. On note $\overrightarrow{i}=(1,0)$, $\overrightarrow{j}=(0,1)$. On peut additionner des vecteurs et multiplier un vecteur par un nombre réel.

II-1-1 Définitions et propriétés

II-1-2 Droites

II-1-3 Indépendance et colinéarité

II-1-4 Bases

Proposition

Définition

Si $v=(a,b)$, alors $D=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid bx-ay=0\}$. On dit que $bx-ay=0$ est une équation de la droite $D$. Si $a\ne 0$, on peut mettre cette équation sous la forme Le nombre ${\displaystyle \frac{b}{a}}$ est la pente (coefficient directeur) de la droite. Le vecteur nul appartient à toutes les droites vectorielles.

Définition

Pour que deux vecteurs soient colinéaires, il faut et il suffit qu'ils appartiennent à la même droite.

Définition

Proposition

Trouver $x_1$ et $x_2$ revient à résoudre un système linéaire.
 

Définition

Par exemple, les composantes de $v=(x,y)$ dans la base $(i,j)$ sont $x$ et $y$.
Soient $(p,q)$ et $(r,s)$ les composantes de $i$ et $j$ dans la base $(e,f)$. Alors, les composantes du vecteur $u=(x,y)$ dans la base $(e,f)$ sont $(X,Y)=(\mathrm{px}+\mathrm{ry},\mathrm{qx}+\mathrm{sy})$, c'est-à-dire sous forme matricielle et en colonne :

 

Proposition

 

Exercice

Exercice

Exercice

Le plan affine est toujours ${ℝ}^2$ mais vu un peu différemment (on le note ici $P$). D'abord, on va appeler ses éléments des points . Un point du plan est donc encore un couple de réels. Le point $A=(x_A,y_A)$ a pour abscisse $x_A$ et pour ordonnée $y_B$. On appelle bipoint un couple de points.

II-2-1 Translations

II-2-2 Repères du plan

II-2-3 Droites affines

II-2-4 Incidence

II-2-5 Barycentres de points

II-2-6 Polygones

II-2-7 Exercices

Définition

Remarquons qu'on vient de définir la notation $P+v$ où $P$ est un point et $v$ un vecteur.

Proposition

 

Proposition

La troisième affirmation est la bijectivité de la translation $t_v$.

Définition

Ainsi, tout point $M$ de $P$ s'écrit de manière unique $A+Xe+Yf$ et $(X,Y)$ sont les coordonnées de M dans le repère affine $(A,e,f)$.

Exemple

Exercice

Définition

Ce qu'on peut dire d'autres manières :

1. $D=\{A+\lambda u,\lambda \in ℝ\}$ ;
2. $D$ est le translaté par le vecteur $\mathrm{OA}$ d'une droite vectorielle $D_0$ de base $u$ ; la droite $D_0$ est appelée direction de $D$. La direction $D_0$ de $D$ est aussi l'ensemble des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ pour $P$ et $Q$ des points de $D$. Un vecteur directeur de $D$ est une base de la direction $D_0$ de $D$.

Définition

L'ensemble des points alignés avec deux points distincts du plan forme une droite. C'est la droite passant par ces deux points. Toute droite affine $D$ est aussi l'ensemble des points $M=(x,y)$ vérifiant une équation $ax+by+c=0$. Sa direction est d'équation $ax+by=0$.

Remarque

Exercice